知识讲解-单调性与最大（小）值-提高练习题

单调性与最大（小）值

【学习目标】

1.理解函数的单调性定义；

2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．

【要点梳理】

要点一、函数的单调性

 1．增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间

如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间上是增函数；

如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.

要点诠释：

(1)属于定义域A内某个区间上；

(2)任意两个自变量且；

(3)都有；

(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

2．单调性与单调区间

（1）单调区间的定义

如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.

函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

要点诠释：

①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；

②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；

③不能随意合并两个单调区间；

④有的函数不具有单调性.

(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？

3．函数的最大（小）值

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

①对于任意的，都有（或）；

②存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.

要点诠释：

①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；

②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；

③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；

④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.

4.证明函数单调性的步骤

(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；

(4)得出结论.

5.函数单调性的判断方法

(1)定义法；

(2)图象法；

(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.

要点二、基本初等函数的单调性

1．正比例函数

当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.

2．一次函数

当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.

3．反比例函数

当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；

当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.

4．二次函数

若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；

若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．

要点三、一些常见结论

(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；

(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.

【典型例题】

类型一、函数的单调性的证明

【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】

例1．已知：函数

（1）讨论的单调性.

（2）试作出的图像.

【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.

【解析】

（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1<x2，则

①当时，x1-x2<0，1<x1x2

，故，即f(x1)-f(x2)<0

∴x1<x2时有f(x1)<f(x2)

上是增函数.

②当-1<x1<x2<0   ∴x1-x2<0，0<x1x2<1

∵0<x1x2<1    

故，即f(x1)-f(x2)>0

∴x1<x2时有f(x1)>f(x2)

上是减函数.

同理：函数是减函数, 函数是增函数.

（2）函数的图象如下

【总结升华】

（1）证明函数单调性要求使用定义；

（2）如何比较两个量的大小？(作差)

（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)

■

举一反三：

【变式1】讨论函数的单调性，并证明你的结论.

【解析】设，则，.

，即.

在上单调递减.

同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减.

故函数在和上单调递增；在和上单调递减.

类型二、求函数的单调区间

例2. 判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2；  (2)

【思路点拨】 对进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。

【答案】（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.

（2）f(x)在上递增.

【解析】(1)由图象对称性，画出草图

∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.

(2)

∴图象为

∴f(x)在上递增.

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；    (2)　(3)；（4）y=|x2-2x-3|.

【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；

（2）上为减函数；

（3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；

（4）单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.

【解析】(1)画出函数图象，

∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；

(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).

【高清课堂：函数的单调性356705 例3】

（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图

所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.

【总结升华】

（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；

（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.

（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.

例3.已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有.

（1）试说明：函数是上的单调递减函数；

（2）试求函数在（且）上的值域.

【思路点拨】（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；（2）由（1）的结论可知、分别是函数在上的最大值与最小值，故求出与就可得所求的值域.

【答案】（1）证明略；（2）．

【解析】

（1）任取、，且，，于是由题设条件可知：

.

对任意的都有，

.

.

故函数是上的单调递减函数.

（2）由于函数是上的单调递减函数，

在[m,n]上也为单调递减函数，

在[m,n]上的最大值为，最小值为.

由于，同理...

因此函数在上的值域为.

【总结升华】像本例这样不知道解析式的函数，我们称为抽样函数.研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的.一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型.对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可.

举一反三：

【变式1】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性.

【答案】单调递增

【解析】设，则.

.

在上单调递增.

【变式2】已知增函数y=f（x）的定义域为且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），求满足f（x）+f（x﹣3）≤2的x的范围．

【答案】

【解析】由f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）可知，

2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），

所以f（x）+f（x﹣3）≤2等价于

f（x）+f（x﹣3）≤f（4），

因为，

所以f（x）+f（x﹣3）=f[x（x﹣3）]，

所以f[x（x﹣3）]≤f（4）．

又因为y=f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．

所以

故满足的实数x的取值范围是．

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

例4. 已知函数是定义域为的单调增函数．

（1）比较与的大小；

（2）若，求实数的取值范围．

【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。

【答案】（1）；（2）或．

【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．

（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．

例5. 求下列函数的值域：

(1)；   1)x∈[5，10]；   2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)；

(3)；

(4).

【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．

【解析】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.

(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图

1)f(x)在[5，10]上单增，；

2)；

(2) ；

(3)经观察知，，；

(4)令.

举一反三：

【变式1】（2015 哈尔滨期末）已知

（1）画出这个函数的图象；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数f（x）的最大值和最小值．

【答案】（1）略；（2）单调递减区间为[―3，―2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[―2，0），[1，3]；（3）当x=3时，f（x）取得最大值为4，当x=6时，f（x）取得最小值―5

【解析】（1）∵，作出其图象如下：

（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为[―3，―2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[―2，0），[1，3]．

（3）由f（x）的图象可得，当x=3时，f（x）取得最大值为4，当x=6时，f（x）取得最小值―5．

例6.（2016 浙江东阳市模拟）设a∈R，函数

（1）若f（x）在[0，1]上单调递增，求a的取值范围；

（2）记M（a）为f（x）在[0，1]上的最大值，求M（a）的最小值．

【思路点拨】（1）分类讨论当a=0时，当a＞0时，当a＜0时，运用单调性，判断求解；

（2）对a讨论，分a≥0时，a＜0，再分a≤－2时，，运用单调性，求得最大值；再由分段函数的单调性，求得最小值．

【解析】（1）设，

，为对称轴，

①当a=0时，，

∴｜g（x）｜在x∈[0，1]上单调递增，

∴a=0符合题意；

②当a＞0时，g（0）=0，，

∴｜g（x）｜在x∈[0，1]上单调递增，

∴a＞0，符合题意；

③当a＜0时，，g（0）=0，

∴｜g（x）｜在上单调递增，

即只满足，即有a≤－2；

∴a≤－2，符合题意．

综上，a≥0或a≤－2；

（2）若a≥0时，，对称轴为，

f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=1+a；

若a＜0，则f（x）在递增，在递减，在（－a，+∞）递增，

若，即a≤－2时，f（x）在[0，1]递增，可得M（a）=－a－1；

若，即，可得f（x）的最大值为；

若，即，可得f（x）的最大值为M（a）=1+a．

即有；

当时，；

当a≤－2时，M（a）≥1；

当，可得．

综上可得M（a）的最小值为．

【总结升华】本题考查了含绝对值函数的单调性和最值的求法，考查分类讨论的思想方法，以及不等式的解法，有一定的难度．

举一反三：

【变式1】 求在区间[0，2]上的最大值和最小值.

【解析】，对称轴为．

（1）当时，由上图①可知，，

（2）当时，由上图②可知，，

（3）当时，由上图③可知，，

（4）当时，由上图④可知，，

类型四、抽象函数的单调性及应用 

例7．已知：函数对一切实数x，y都有成立，且f（1）=0．

（1）求f（0）的值．

（2）求f（x）的解析式．

（3）已知a∈R，设P：当时，不等式恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]时，是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁RB（R为全集）．

【思路点拨】（1）令x=﹣1，y=1，由条件，结合f（1）=0，即可得到f（0）；

（2）令y=0，结合，即可求出的解析式；

（3）化简不等式，得到，求出左边的范围，由恒成立得到a的范围；由二次函数的单调性，即可得到集合B，从而求出A∩∁RB．

【答案】（1）﹣2；（2）；（3）A∩CRB={a|1≤a＜5}．

【解析】（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1×（﹣1+2+1）

∵f（1）=0，∴f（0）=﹣2；

（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2，∴ ；

（3）不等式，即即，

当时，，

又恒成立，故A={a|a≥1}，

又在[﹣2，2]上是单调函数，故有，或，

∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，

∴A∩CRB={a|1≤a＜5}．

【总结升华】本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查不等式的恒成立问题转化为求最值的问题，以及函数的单调性及运用，属于中档题．