知识讲解-函数及其表示方法-提高练习题

函数及其表示方法

【学习目标】

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

【要点梳理】

要点一、函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.

记作：y=f(x)，xA．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.

要点诠释：

（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.

3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

     {x|a≤x≤b}=[a，b]；

；    ；

.

要点二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．  优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．        优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．    优点：不需计算就可看出函数值.

2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

要点三、映射与函数

1.映射定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.

象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.

要点诠释：

(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).

2.函数与映射的区别与联系：

设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).

要点诠释：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.

3.函数定义域的求法

(1)确定函数定义域的原则

①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.

③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。

（2）抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。

（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

4.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：

观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.

求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.

【典型例题】

类型一、函数的概念

例1.已知集合，，则从到的函数有       个.

【答案】8

【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.

由表可知，这样的函数有8个，故填8.

【总结升华】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键.

举一反三：

【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？

（1）；

（2），；

（3），对任意的.

【解析】（1）对于任意一个非零实数被唯一确定，所以当时，是函数，可表示为.

（2）当时，，得或，不是有唯一值和对应，所以（）不是函数.

（3）不是，因为当时，在集合中不存在数值与之对应.

【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例2】

例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.

【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是

【解析】

(1) 的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；

(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；

(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；

(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.

【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.

(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.

举一反三：

【变式1】判断下列命题的真假

(1)y=x-1与是同一函数；

(2)与y=|x|是同一函数；

(3)是同一函数；

(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.

【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.

类型二、函数定义域的求法

例3.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)；       (2)；　　　　(3).

【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

(1)的定义域为x2-3≠0，；

(2)；

(3).

【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：

(1)； (2)；（3）.

【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．

【解析】

(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；

(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；

(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.

【总结升华】小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

例4.（2016春 陕西期中）（1）已知函数y=f（x）的定义域为[―1，2]，求函数y=f（1―x2）的定义域．

（2）已知函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，求函数y=f（x）的定义域．

【思路点拨】（1）要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围；（2）根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．

【答案】（1）；（2）（―7，―1]

【解析】（1）因为函数y=f（x）的定义域是[―1，2]，

所以函数f（1―x2）中―1≤1－x2≤2，

∴－1≤x2≤2，

即，

∴f（1－x2）的定义域为．

（2）∵函数y=f（2x―3）的定义域为（―2，1]，

∴－2＜x≤1，－4＜2x≤2，－7＜2x－3≤―1，

即函数y=f（x）的定义域为（―7，―1]．

【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的.

举一反三：

【变式1】已知的定义域为，求的定义域.

【答案】

【解析】的定义域为，，，，解得：或，所以的定义域为.

例5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.

【思路点拨】确定的取值范围，使之对任意，都有，即方程无实根.

【答案】

【解析】

当时，对任意恒成立.

当时，要使恒成立，即方程无实根.只需判别式，于是.

综上，的取值范围是.

【总结升华】（1）函数有意义，分母恒成立，转化为时，二次方程无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里应分、两种情况讨论.（3）本题是求定义域的逆向问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.

类型三、求函数的值及值域

例6. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；   (2)f(g(2))，g(f(2))；  (3)f(g(x))，g(f(x))

【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．

【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．

【解析】

(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.

【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.

例7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.

【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).

【解析】(1)法一：配方法求值域．

，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．

法二：图象法求值域

二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．

(2)；

(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).

【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．

（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．

举一反三：

【变式1】 求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1），即所求函数的值域为；

（2），，，即函数的值域为；

（3）

函数的定义域为

，，，即函数的值域为．

（4）

所求函数的值域为．

类型四、映射与函数

【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例1】

例8. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？

（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．

（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；

（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；

（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：

（5）A={0，1，2}，B={0，1， }，对应法则是f：

【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．

【解析】 

(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；

(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．

(3)是映射，也是函数，函数解析式为．

（4）是映射，也是函数．

（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．

【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．

举一反三：

【变式1】（2015秋 云南昭通月考）判断下列对应是否是实数集R上的函数：

（1）f：把x对应到3x+1；

（2）g：把x对应到|x|+1；

（3）h：把x对应到；

（4）r：把x对应到．

【解析】（1）是．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R，3x+1都有唯一确定的y值与之对应．如x=―1，则3x+1=―2与之对应；

（2）是．它的对应关系f是：把x取绝对值再加1，对于任一x∈R，|x|+1都有唯一确定的y值与之对应．如x=－1，则|x|+1=2与之对应；

（3）不是．当时，根据对应关系，没有值与之对应；

（4）不是．当x＜－2时，根据对应关系，找不到实数与之对应．

类型五、函数解析式的求法

例9.求函数的解析式

(1)已知是二次函数，且，求；

(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

（3）已知，求.

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】求函数的表达式可由两种途径.

(1)设，由得

由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，故所求函数的解析式为.

(2) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则

（3）因为，①

用代替得，②

由①②消去，得.

【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择.

（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.

（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程.

举一反三：

【变式】求下列函数的解析式

（1）已知，求；（2）已知，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）令，则

∴

∴

（2）将已知式子中的x换成得

消去，得

【总结升华】求函数解析式常用方法：

（1）换元法；（2）配凑法；（3）定义法；（4）待定系数法等．注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围．

类型六、函数的图象

例10.作出下列函数的图象.

（1）；（2）；（3）．

【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。

【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．

（2），

先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．

（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．

类型七、分段函数

例11.设函数若，则=          ．

【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换．

【答案】

【解析】由题意，当时，，则

又，∴ （舍）或

∴ ，∴ （舍负）

∴

【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．

例12．如图所示，等腰梯形的两底分别为，作直线交于，交折线于.设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数.

【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式，这样就需准确揭示之间的变化关系.依题意，可知随着直线的移动，点分别落在梯形的边、及边上，有三种情况，所以需要分类解答.

【答案】

【解析】

作，为垂足，，为垂足，依题意，则有

（1）当位于点的左侧时，，

由于

（2）当位于点、之间时，由于

（3）当位于点的右侧时，

由于

   =

   =

综上有

【总结升华】（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可.

（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.

举一反三：

【变式1】如图，在边长为4的正方形的边上有一点，沿着边线

由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.

（1）求与之间的函数关系式；

（2）画出的图象.

【解析】（1）

（2）当点在边上运动时，即当时，

当点在边上运动时，即当时，

当点在边上运动时，即当时，，故为分段函数.