知识讲解_对数函数及其性质_基础练习题

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对数函数及其性质【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型； 2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量．要点诠释：（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象与性质 a＞10＜a＜1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0 要点诠释：关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.要点三、底数对对数函数图象的影响1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)要点四、反函数1．反函数的定义设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．要点诠释：   并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．【典型例题】类型一、对数函数的概念例1.下列函数中，哪些是对数函数？（1）；（2）（3）；（4）；（5）．【答案】（5）【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数．（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数．（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件． 类型二、对数函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例2. 求下列函数的定义域：(1)；   (2).【答案】（1）；（2）．【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.(1)因为，即，所以函数；(2)因为，即，所以函数.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．举一反三：【变式1】求函数的定义域.【答案】(1，)(，2]【解析】因为，  所以，所以函数的定义域为(1，)(，2].类型三、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例3. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)；(2)；(3)与；(4) 与．(5)（）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以； (2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．(4) (5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且4.2<4.8，所以，当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令，则，令，则当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，所以，b1<b2，即当时，在R上是减函数，且4.2<4.8所以，b1>b2，即.【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．【高清课堂：对数函数369070 例1】例4．利用对数函数的性质比较、、的大小．【答案】【解析】，，，只需比较与的大小即可            【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于的一个结论，，得出三个数的大小．举一反三：【变式1】设，，，则（    ） A． a＜b＜c B． a＜c＜b C． b＜c＜a D． b＜a＜c 【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．【答案】D【解析】∵，，．∴b＜a＜c．故选：D．【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一个重要应用．例5．已知函数在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（） A． （－∞，4） B． （－4，4] C． （－∞，－4）∪[2，+∞） D． [－4，2）【思路点拨】由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0即可．【答案】B【解析】令，由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0又a∈R+解得：－4＜a≤4则实数a的取值范围是（－4，4]故选B．【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．举一反三：【变式1】求函数的值域和单调区间．【答案】；减区间为，增区间为．【解析】设，则，∵ y=为增函数，的值域为．再由：的定义域为在上是递增而在上递减，而为增函数∴ 函数y=的减区间为，增区间为.类型四、函数的奇偶性例6. 判断下列函数的奇偶性.(1) (2).【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.(1)由所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称又所以函数是奇函数；【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型五、利用函数图象解不等式例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。【答案】【解析】 要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．举一反三：【变式1】 当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】1＜a≤2【解析】设，，要使当x∈（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，只需，即，，∴1＜a≤2．类型六：对数函数性质的综合应用例8．（2016春 广东揭阳月考）已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（3），求使f（x）＞0成立的x的集合．【思路点拨】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求f（x）的定义域；（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；（3）根据，可得：a=2，根据对数函数的性质即可求使f（x）＞0的x的解集．【答案】（1）－1＜x＜1；（2）f（x）是奇函数；（3）（0，1）．【解析】（1）要使函数有意义，则，解得－1＜x＜1，（2）∵，∴f（x）是奇函数．（3）若，∴，解得：a=2，∴，若f（x）＞0，则，∴x+1＞1－x＞0，解得0＜x＜1，故不等式的解集为（0，1）．【总结升华】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．举一反三：【变式1】已知函数.（1）若函数的定义域为R，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为R，求实数的取值范围.【答案】（1）a＞1；（2）0≤a≤1．【解析】（1）的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1.（2）f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.