精品解析：2020年陕西省西安市莲湖区中考二模数学试题（解析版+原卷版）

2020年陕西省西安市莲湖区中考二模数学试题

一、选择题(共10小题每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中)

1.的值为(　　)

A.  B. 8 C.  D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】

根据有理数的乘方运算法则即可得．

【详解】

故选：D．

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟记运算法则是解题关键．

2.如图，从左面看该几何体得到的形状是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据该几何体的左视图进行判断即可．

【详解】该几何体的左视图如下

故答案为：B．

【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的性质以及画法是解题的关键．

3.如图，在中，，的平分线交于点．若，则点到的距离为(　　)

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角平分线的性质即可得．

【详解】，即

为点D到AB的距离

由角平分线的性质得：点到的距离等于AD

即点到的距离为2

故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题关键．

4.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移个单位长度后恰好经过点，则的值为(　　)

A. 10 B. 8 C. 5 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

先得出向下平移后一次函数的解析式，再将点代入求解即可得．

【详解】将一次函数的图象向下平移个单位长度后的函数解析式为

将点代入得：

解得

故选：A．

【点睛】本题考查了一次函数图象的平移规律，掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．

5.下列计算正确的是（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据合并同类项、同底数幂的除法、整式的乘法运算法则、平方差公式进行计算即可．

【详解】A. ，错误；

B. ，错误；

C. ，正确；

D. ，错误；

故答案为：C．

【点睛】本题考查了整式的运算问题，掌握合并同类项、同底数幂的除法、整式的乘法运算法则、平方差公式是解题的关键．

6.如图，分别交于点，且，若，则的度数为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质和等边对等角可得，再根据两直线平行内错角相等可得．

【详解】∵，

∴

∵

∴

故答案为：A．

【点睛】本题考查了平行线的角度问题，掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解题的关键．

7.在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过两点，则一定满足的关系式为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

设正比例函数的解析式为，将两点代入解析式中求解即可．

【详解】设正比例函数的解析式为

将代入函数解析式中

可得

即

故答案为：C．

【点睛】本题考查了正比例函数的问题，掌握正比例函数的解析式是解题的关键．

8.如图，在矩形中，对角线交点为，过点作的垂线交于点，若，则长是(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据勾股定理、矩形的性质求出BD的长，从而可得OB的长，再求出的余弦值，从而可得的余弦值，然后根据余弦值可求出BE的长，最后根据线段的和差即可得．

【详解】四边形ABCD是矩形

，，，

在中，

，即

解得

故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的性质、余弦等知识点，掌握矩形的性质是解题关键．

9.如图，在半径为的中，弦与交于点，，，则的长是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

过点作于点，于，连接，由垂径定理得出，得出，由勾股定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．

【详解】解：过点作于点，于，连接，如图所示：

则，

∴，

在中，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在中，，

∴；

故选C．

【点睛】考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.

10.若二次函数的最小值为，则方程的不相同实数根的个数是(　　)

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可得．

【详解】由题意可知，二次函数的图象开口向上，经过定点，最小值为

则二次函数的大致图象如图1所示

函数的图象则是由二次函数位于x轴上方的图象不变，位于x轴下方的图象向上翻转得到的，如图2所示

由图象可知，方程的不相同实数根的个数是3个

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，得到函数的图象，并掌握利用图象法解答是解题关键．

二、填空题(共4小题每小题3分，计12分)

11.比较两数的大小：_____．(用“＞”、“＜”、“=”填空)

【答案】<

【解析】

【分析】

根据无理数的估算、算术平方根即可得．

【详解】

，即

，即

故答案为：．

【点睛】本题考查了无理数的估算、算术平方根，掌握无理数的估算方法是解题关键．

12.如图，八边形是正八边形，是等边三角形，连接，则的度数为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据多边形的内角和公式、正八边形的性质求出其每个内角的度数，从而可得的度数，再根据等边三角形的性质可得，从而可得的度数，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理即可得．

【详解】八边形是正八边形

其每条边均相等，每个内角均相等，且度数为

是等边三角形

故答案：．

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式、正八边形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟记多边形的内角和公式、正八边形的性质是解题关键．

13.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，，四边形是菱形，且，若反比例函数在第一象限的图象经过的中点，则的值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

如图（见解析），过点C作轴于点F，先根据直角三角形的性质求出OB的长，从而可得点B的坐标，再根据菱形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得出点C的坐标，最后根据中点的定义可得点E的坐标，代入反比例函数的解析式求解即可得．

【详解】如图，过点C作轴于点F

点的坐标为

在中，

点B的坐标为

四边形ABCD菱形

在和中，

点C的坐标为

点E是BC的中点

点E的坐标为，即

将代入反比例函数得：

解得

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定定理与性质、反比例函数等知识点，利用菱形的性质得出两个三角形全等的判定条件是解题关键．

14.如图，在矩形中，，是延长线上一点，连接交于点，连接，若与的面积相等，则长为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据矩形的性质得出，设，可得，再根据相似三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据“与的面积相等”建立等式可求出x的值，由此即可得出答案．

【详解】四边形ABCD是矩形，

设，则

由得

，即

解得

又与的面积相等

，即

解得或（不符题意，舍去）

经检验，是方程的解

则

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．

三、解答题(共11小题计78分．解答应写出过程)

15.计算：．

【答案】4．

【解析】

【分析】

先计算绝对值运算、立方根、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的乘法、加减法即可．

【详解】原式

．

【点睛】本题考查了绝对值运算、立方根、零指数幂、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．

16.化简：．

【答案】2．

【解析】

【分析】

先计算括号内的分式加法，再将分式的除法即可．

【详解】原式

．

【点睛】本题考查了分式的加法与除法，熟记分式的运算法则是解题关键．

17.如图，在中，是边上的一点请用尺规作图法，在内，作出，使交于点．(保留作图痕迹，不写作法)

【答案】答案见解析．

【解析】

【分析】

利用三角形全等的判定定理与性质进行作图即可得．

【详解】作法如下：

（1）在BD上任取一点F，以点B为圆心，BF长为半径画弧，交BC于点G

（2）以点D为圆心，BF长为半径画弧，交AD于点M

（3）以点M为圆心，FG长为半径画弧，与（2）中的弧交于点N

（4）连接DN，并延长交AC于点E

则即为所作

理由如下：

由作图可知：

在和中，

即．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质的应用，理解题意，灵活运用三角形全等的判定定理与性质是解题关键．

18.如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED=AE.求证：BD=CD.

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据平行线性质得∠EDA=∠DAC，由ED=AE，得∠EAD=∠EDA．证△ADB≌△ADC（SAS）可得.

【详解】证明：∵ED∥AC，

∴∠EDA=∠DAC，

∵ED=AE，

∴∠EAD=∠EDA．

∴∠EAD=∠DAC．

在△ADB和△ADC中，

∴△ADB≌△ADC（SAS）． 

∴BD=CD．

【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等腰三角形性质.判定三角形全等是关键.

19.西安市某学校在“我们如何预防感染新型冠状病毒”宣讲培训后，对学生知晓情况进行了一次测试，其测试成绩按照标准划分为四个等级：优秀，良好，合格，不合格．为了了解该校学生的成绩状况，对在校学生进行随机抽样调查，并对调查结果进行统计，如图所示．

请结合统计图回答下列问题：

（1）该校抽样调查的学生人数为___________．

（2）请补全条形统计图．

（3）样本中，学生成绩的中位数所在等级是______．(填“”、“”、“”或“”)

（4）该校共有学生2500人，估计全校测试成绩为优秀和良好的学生共有______人．

【答案】（1）50人；（2）答案见解析；（3）；（4）1800．

【解析】

【分析】

（1）根据等级为C的学生的扇形统计图和条形统计图的信息即可得；

（2）利用（1）的结论，减去其他三个等级的人数可得等级为B的学生人数，再补全条形统计图即可；

（3）根据中位数的定义即可得；

（4）先求出抽样中，测试成绩为优秀和良好的学生的占比，再乘以2500即可．

【详解】（1）（人）

故答案为：50人；

（2）等级为B的学生人数为（人）

补全条形统计图如图所示：

（3）由中位数的定义，抽样中50人的成绩从大到小排列后，处在第25、26位都落在等级内，因此中位数所在等级是

故答案为：；

（4）抽样中，测试成绩为优秀和良好的学生的占比为

则（人）

故答案为：1800．

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、中位数的定义，掌握统计调查的相关概念是解题关键．

20.如图是一支新蜡烛点燃以后，其长度与时间的函数图象，请解答以下问题：

（1）求出与的函数表达式，并写出的取值范围．

（2）当这支新蜡烛已经燃烧了时，求蜡烛还能燃烧的时间．

【答案】（1），的取值范围是；（2）蜡烛还能燃烧的时间．

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求解可求出函数表达式，再求出时，t的值即可得出答案；

（2）先求出当这支新蜡烛已经燃烧了时，y的值，再根据（1）的函数表达式可得此时t的值，据此即可得．

【详解】（1）设与的函数表达式为

将点代入得，解得

则函数表达式为

当时，，解得

故与的函数表达式为，的取值范围是；

（2）当这支新蜡烛已经燃烧了时，其长度为

当时，，解得

则蜡烛还能燃烧的时间为

答：蜡烛还能燃烧的时间．

【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用，理解题意，正确求出函数的解析式是解题关键．

21.西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为，测得教学楼楼顶点处的俯角为．又经过人工测量得到操控者和教学楼的距离为57米，求教学楼的高度．(注：点都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：)

【答案】教学楼的高约为13米．

【解析】

【分析】

如图（见解析），过点作于点，过点作于点，先在中，利用正切函数值求出AE的长，从而可得BE的长，再根据矩形的判定与性质可得CF的长，然后在中可求出DF的长，最后根据线段的和差即可得．

【详解】如图，过点作于点，过点作于点，则四边形BCFE是矩形

由题意得：

在中，

，即

四边形矩形

在中，

答：教学楼的高约为13米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的方法是解题关键．

22.小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上．

（1）小红从4张牌中抽取一张，这张牌的数字为4的倍数的概率是_____；

（2）小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张，把两人抽取的牌面上的数字相加．若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获胜．请用画树状图或列表法的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．

【答案】（1）；（2）这个游戏规则对双方公平，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）数字为4的倍数的牌只有8，利用简单事件的概率公式计算即可得；

（2）先画出树状图，再分别求出小红获胜和小丁获胜的概率，由此即可得出答案．

【详解】（1）小红从4张牌中抽取一张有4种等可能的结果，其中数字为4的倍数的牌只有一种，即牌的数字为8

则所求的概率为

故答案为：；

（2）根据题意，画树状图如下：

结果相加依次为

由此可知，两人抽取的牌面上的数字相加共有12种等可能的结果，其中是偶数的结果为6种，是奇数的结果为6种

则小红获胜的概率为，小丁获胜的概率为

因为，即小红和小丁获胜的概率相等

所以这个游戏规则对双方公平．

【点睛】本题考查了利用列举法求概率，较难的是题（2），依据题意，正确画出树状图是解题关键．

23.如图，是的内接三角形，是的直径．过点作，交于点，连接，且是的切线．

（1）求证：．

（2）若的半径为5，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）如图（见解析），连接OA，先根据圆的切线的性质得出，再根据角互余、对顶角相等可得，然后根据等腰三角形的性质即可得证；

（2）先根据圆周角定理、勾股定理求出AC的长，再根据相似三角形的判定与性质求出OE的长，然后在中，利用勾股定理即可得．

【详解】（1）如图，连接

是的切线

，即

又

；

（2）的半径为5

是的直径

在中，，由勾股定理得

在和中，

，即

解得

由（1）可知，设，则

在中，由勾股定理得

即

解得

故AF的长为．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，属于中等难度，熟记各定理与性质是解题关键．

24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．

（1）当a＝1时，

①抛物线G的对称轴为x＝　   　；

②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是　   　；

（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．

【答案】（1）①1；②m＞2或m＜0；（2）﹣＜a≤﹣或a＝4．

【解析】

【分析】

（1）当a＝1时，①根据二次函数一般式对称轴公式，即可求得抛物线G的对称轴；

②根据抛物线的对称性求得关于对称轴的对称点为，再利用二次函数图像的增减性即可求得答案；

（2）根据平移的性质得出、，由题意根据函数图象分三种情况进行讨论，即可得解．

【详解】解：（1）①∵当a＝1时，抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）为：

∴抛物线G的对称轴为；

 ②画出函数图象：

∵在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，，

∴①当时，随的增大而增大，此时有；②当时，随的增大而减小，抛物线G上点关于对称轴的对称点为，此时有．

∴m的取值范围是或；

（2）∵抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的对称轴为x＝1，且对称轴与x轴交于点M

∴点M的坐标为（1，0）

∵点M与点A关于y轴对称

∴点A坐标为（﹣1，0）

∵点M右移3个单位得到点B

∴点B的坐标为（4，0）

依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点

把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得；

把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得；

把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4．

根据所画图象可知抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得：或．

故答案：（1）①1；②m＞2或m＜0；（2）或

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、二次函数图象上的点的坐标特征以及坐标平移，解决本题的关键是综合利用二次函数图象的性质．

25.问题提出

（1）如图1，已知三角形，请在边上确定一点，使得的值最小．

问题探究

（2）如图2，在等腰中，，点是边上一动点，分别过点，点作线段所在直线的垂线，垂足为点，若，求线段的取值范围，并求的最大值．

问题解决

（3）如图3，正方形是一块蔬菜种植基地，边长为3千米，四个顶点处都建有一个蔬菜采购点，根据运输需要，经过顶点处和边的两个三等分点之间的某点建设一条向外运输的快速通道，其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道，分别为、、．若你是此次项目设计的负责人，要使三条运输轨道的距离之和最小，你能不能按照要求进行规划，请通过计算说明．

【答案】（1）答案见解析；（2）的取值范围是，当取最小值时，取得最大值，最大值是5；（3）可以按照要求进行规划（点P选在点E处），三条输送轨道之和最小为千米．

【解析】

【分析】

（1）根据垂线段最短即可得；

（2）如图2（见解析），先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，再根据等面积法可求出，由此即可得线段的取值范围；然后根据可得当取最小值时，取得最大值，将BP的最小值代入求解即可得；

（3）如图3（见解析），连接，先参照（2）的方法求出AP的取值范围，再根据得出，由此即可得出答案．

【详解】（1）如图1，过点作，垂足为点

由垂线段最短可知，此时的值最小；

（2）如图2，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点

是等腰三角形

由等面积法得：，即

解得

点在边上，

，即

则的取值范围是

当取最小值时，取得最大值

将代入得：

解得

则的最大值是5；

（3）如图3，连接

正方形边长为3，为边的三等分点

参考（2）可知，

即

，即

又

即

当取最大值时，取得最小值

将代入得：

解得

则的最小值为

综上，可以按照要求进行规划（点P选在点E处），三条输送轨道之和最小为千米．

【点睛】本题考查了垂线段最短、等腰三角形的性质、正方形的性质等知识点，较难的是题（3），学会题（1）和（2）的思路，并运用到题（3）是解题关键．