2021年高考数学真题分类汇编：专题（04）数列（纯Word版，含解析）

 2021年高考数学真题分类汇编专题04：数列一、单选题1.记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 (   )            A. 7                                           B. 8                                           C. 9                                           D. 102.数列 是递增的整数数列，且 ， ，则 的最大值为（    ）            A. 9                                         B. 10                                         C. 11                                         D. 123. 和 是两个等差数列，其中 为常值， ， ， ，则 （    ）            A. 64                                       B. 128                                       C. 256                                       D. 5124.已知 ，函数 .若 成等比数列，则平面上点 的轨迹是（    ）            A. 直线和圆                      B. 直线和椭圆                      C. 直线和双曲线                      D. 直线和抛物线5.已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（    ）            A.                    B.                    C.                    D. 二、填空题6.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和 S1 =240 dm2  ， 对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180dm2。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么 =________dm.    三、解答题7.记 为 的前 项和，已知 ，且数列 是等差数列．证明： 是等差数列．            8.已知数列{an｝的各项均为正数，记Sn为{an｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an｝是等差数列：②数列{ ｝是等差数列；③a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.    9.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知 =2.    （1）证明：数列{bn}是等差数列；    （2）求{an}的通项公式.         10.设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ，3 ，9 成等差数列.    （1）求 和 的通项公式；    （2）记 和 分别为 和 的前n项和.证明： < .         11.已知数列{ }满足 =1，     （1）记 = ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；    （2）求 的前20项和          12.记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．    （1）求数列 的通项公式 ；    （2）求使 成立的n的最小值．          13.定义 数列 ：对实数p  ， 满足：① ， ；② ；③ ， ．    （1）对于前4项2，-2，0，1的数列，可以是 数列吗？说明理由；    （2）若 是 数列，求 的值；    （3）是否存在p  ， 使得存在 数列 ，对 ？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．        14.已知数列 的前n项和为 ， ，且 .    （1）求数列 的通项；    （2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求 的范围.               15.已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比数列， ．    （1）求 和 的通项公式；    （2）记 .  （i）证明 是等比数列；（ii）证明
答案解析部分一、单选题1.【答案】 A   【解】由题意知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，
即4,2，S6-6成等比数列，
则4×（S6-6）=22 解得S6=7
故答案为：A2.【答案】 C   解：∵ 数列  是递增的整数数列 ，
∴n要取最大，d尽可能为小的整数，
故可假设d=1
∵a1=3，d=1
∴an=n+2
∴
则S11=88<100，S12=102>100，
故n的最大值为11.
故答案为：C
3.【答案】 B   解：由题意得  ， 则  ， 则  ， 所以.
故答案为：B
4.【答案】 C   【解】因为 成等比数列， 所以 ，
即 ， 整理得: ， ， ， ，
所以所以 或 ，所以 或
其中 是双曲线, 是直线.故答案为：C. 
5.【答案】 A   【解】因为 ，所以 ，且  
由      可得   ，即 由 所以  ，当且仅当 时取等号， ，
所以   
即 ．故答案为：A． 
【分析】由递推公式，先得到  ， 进一步推导出  ， 然后用累加法等推导出。二、填空题6.【答案】 5；   解：对折3次有2.5×12，6×5，3×10，20×1.5共4种，面积和为S3=4×30=120dm2;
对折4次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5种，面积和为S4=5×15=75dm2;
对折n次有n+1中类型，,
因此  ，
上式相减，得
则
故答案为：5，
三、解答题7.【答案】 ∵数列 是等差数列，设公差为 ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 当 时， ，满足 ，∴ 的通项公式为 ， ∴ ∴ 是等差数列.8.【答案】 选①②作条件证明③： 设 ，则 ，当 时， ；当 时， ；因为 也是等差数列，所以 ，解得 ；所以 ，所以 .选①③作条件证明②：因为 ， 是等差数列，所以公差 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 是等差数列.选②③作条件证明①：设 ，则 ，当 时， ；当 时， ；因为 ，所以 ，解得 或 ；当 时， ，当 时， 满足等差数列的定义，此时 为等差数列；当 时， ， 不合题意，舍去.综上可知 为等差数列.9.【答案】 （1）由已知 + =2，则 =Sn(n≥2) + =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n≥2)，b1= 故｛bn｝是以 为首项， 为公差的等差数列。
（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn= n=1时，a1=S1= n≥2时，an=Sn-Sn-1= - = 故an= 10.【答案】 （1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列， 所以 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，所以 .
（2）证明：由（1）可得 ， ，① ，②① ②得 ，所以 ，所以 ，所以 .11.【答案】 （1） 为偶数，  则 ， ， ，即 ，且 ， 是以 为首项，3为公差的等差数列， ， ， ．
（2）当 为奇数时， ，  的前 项和为 ．由（1）可知，    ． 的前20项和为 ．12.【答案】 （1）由等差数列的性质可得： ，则： ，  设等差数列的公差为 ，从而有： ， ，从而： ，由于公差不为零，故： ，数列的通项公式为： .
（2）由数列的通项公式可得： ，则： ，  则不等式 即： ，整理可得： ，解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为7.13.【答案】 （1）由性质③结合题意可知 ，  矛盾，故前4项 的数列，不可能是 数列.
（2）性质① ，  由性质③ ，因此 或 ， 或 ，若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；若 ，由 有 ，矛盾.因此只能是 .又因为 或 ，所以 或 .若 ，则 ，不满足 ，舍去.当 ，则 前四项为:0，0，0，1，下面用纳法证明 ：当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，当 时：若 ，则 ，利用性质③： ，此时可得： ；否则，若 ，取 可得： ，而由性质②可得： ，与 矛盾.同理可得： ，有 ； ，有 ； ，又因为 ，有 即当 时命题成立，证毕.综上可得： ， .
（3）令 ，由性质③可知：      ，由于 ，因此数列 为 数列.由（2）可知:若 ； ， ，因此 ，此时 ， ，满足题意.14.【答案】 （1）解：当 时， ，  ，当 时，由 ①，得 ②，① ②得 ，又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
（2）解：由 ，得 ，  所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，由 得 恒成立，即 恒成立， 时不等式恒成立； 时， ，得 ； 时， ，得 ；所以 15.【答案】 （1）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．  所以 ，所以 ，所以 ；设等比数列 的公比为 ，所以 ，解得 （负值舍去），所以 ；
（2）（i）由题意， ，  所以 ，所以 ，且 ，所以数列 是等比数列；（ii）由题意知， ，所以 ，所以 ，设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，所以 .