2021年高考数学真题分类汇编：专题（10）解析几何（纯Word版，含解析）
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2021年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何
一、单选题
1.已知F1 ， F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
2.点 到双曲线 的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
3.设B是椭圆C： （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.设B是椭圆C： 的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
5.已知F1,F2是椭圆C： 的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
6.抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
7.已知圆 ，直线 ，当 变化时， 截得圆 弦长的最小值为2，则 （ ）
A. B. C. D.
8.双曲线 过点 ，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9.已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B两点，交双曲钱的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
二、多选题
10.已知点P在圆 + =16上，点A（4,0），B（0,2），则（ ）
A. 点P到直线AB的距离小于10
B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时，|PB|=3
D. 当∠PBA最大时，|PB|=3
11.已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
三、填空题
12.已知F1 ， F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为________。
13.双曲线 的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为________.
14.已知双曲线C： （m>0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为________.
15.已知O为坐标原点，抛物线C: 的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP,若|FQ|=6，则C的准线方程为________
16.已知双曲线 ，离心率 ，则双曲线C的渐近线方程为________．
17.已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是________．
18.已知抛物线 ，焦点为 ，点 为抛物线 上的点，且 ，则 的横坐标是________；作 轴于 ，则 ________．
19.已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P ， 且 轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.
20.若斜率为 的直线与y轴交于点A ， 与圆 相切于点B ， 则 ________．
四、解答题
21.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且 M与L相切，
（1）求 M的方程；
（2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2 ， A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由.
22.已知抛物线C： (p>0)的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程.
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线OQ斜率的最大值.
23.己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值.
24.在平面直角坐标系xOy中，己知点 (- 7,0)， ( 7,0),点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M 的轨迹为C.
（1）求C的方程;
（2）设点T在直线 上，过T 的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ| ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和
25.已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是 ．
26.已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k ， 交椭圆E于不同的两点B ， C ， 直线AB ， AC交y=-3于点M、N ， 直线AC交y=-3于点N ， 若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
27.如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P ， Q ， R ， N ， 且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
28.已知椭圆 的右焦点为F,上顶点为B,离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M ， 与y轴的正半轴交于点N ， 过N与BF垂直的直线交x轴于点P ． 若 ，求直线l的方程．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得 |PF1|=3a，|PF2|=a
在△F1PF2中，由|F1F2|2= |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
得(2c)2=(3a)2+a2-2×3a×a×cos60°
解得
所以
故答案为：A
2.【答案】 A
解：不妨取双曲线的一条渐近线为： ， 即3x-4y=0，
则所求距离为
故答案为：A
3.【答案】 C
【解】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有
移项并用十字相乘法得到：
因为恒成立，即恒 成立，
据此解得 ，
故答案为：C。
4.【答案】 A
【解】由题意知B(0,1),设P(x,y)则|PB|2=(x-0)2+(y-1)2=x2+y2-2y+1=5(1-y2)+y2-2y+1
=-4y2-2y+6=-4(y+4)2+,因为所以当时，|PB|2max=,此时，|PB|max
＝ ，
故答案为：A
5.【答案】 C
解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，
则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤ ，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.
故答案为：C
6.【答案】 B
解：抛物线的焦点坐标为 ， 则其到直线x-y+1=0的距离为 ， 解得p=2或p=-6(舍去)，故p=2.
故答案为：B
7.【答案】 C
解：由题意可设弦长为n，圆心到直线l的距离为d，
则 ，
则当n取最小值2时，d取得最大值为 ，
则
当k=0时，d取得最大值为 ，
则
解得
故答案为：C
8.【答案】 A
解：由得c=2a，则b2=c2-a2=3a2
则可设双曲线方程为： ，
将点 代入上式，得
解得a2=1,b2=3
故所求方程为：
故答案为：A
9.【答案】 A
解：设双曲线 与抛物线 的公共焦点为（c,0），
则抛物线 的准线为x=-c
将x=-c代入 ， 得 ， 解得 ， 所以 ，
又因为双曲线的渐近线为 ， 所以 ，
所以 ， 则
所以
所以双曲线的离心率为
故答案为：A
二、多选题
10.【答案】 A,C,D
解：直线AB为： ， 即x+2y-4=0，
设点P（5+4cosθ，5+4sinθ），则点P到直线AB的距离为 ， 则
所以A正确B错误；
又圆心O为（5,5），半径为4，则 ，
所以当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值，此时，
所以CD正确
故答案为：ACD.
11.【答案】 A,B,D
解：由题意得圆心C（0,0）到直线l：ax+by-r2=0的距离
对于A，若点A在圆C上，则a2+b2=r2 ， 则 ， 则直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A在圆C内，则a2+b2r2 ， 则 ， 则直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，若点A在直线l上，则a2+b2-r2=0 ， 即a2+b2=r2 ， 则 ， 则直线l与圆C相切，故D正确.
故答案为：ABD三、填空题
12.【答案】 8
解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1⊥PF2 ，
所以
故答案为：8
13.【答案】
【解】由题意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以椭圆的右焦点是(3,0)，则右焦点(3,0)到直线x+2y-8的距离为.
14.【答案】 4
【解】因为又曲线方程C：,一条渐近线是 ，
所以双曲线方程是,
故答案为：4
15.【答案】
解：由题意可设 ， 则,
因此直线PQ的方程为：
令y=0，得
因此
则p=3
因此抛物线C的准线方程为：
16.【答案】
解：由得 ， 所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为：
17.【答案】
解：由题意得 ， 则 ，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1 ， KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以 ，
同理
所以
故答案为：（0,1）
18.【答案】 5；
解：由题意知焦点F为（1,0），准线为x=-1，设点M为（x0,y0）,
则有|FM|=x0+1=6，解得x0=5，则 ，
不妨取点M为
则点N为
则|FN|=5-1=4
则
故答案为：5，
19.【答案】 ；
【解】如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
因为圆B方程:,所以|AB|=C, BF1= 所以
所以直线PF1的斜率为k=
将x=c代入椭圆方程, ,可得P点的坐标:
由 ，所以 ， 于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
20.【答案】
解：设直线AB的方程为 ， 则点A(0,b)
∵直线AB与圆 相切
∴ ， 解得b=-1或b=3
所以|AC|=2
又∵|BC|=1
∴
故答案为：
四、解答题
21.【答案】 （1）依题意设抛物线 ，
，
所以抛物线 的方程为 ，
与 相切，所以半径为 ，
所以 的方程为 ；
（2）
设
若 斜率不存在，则 方程为 或 ，
若 方程为 ，根据对称性不妨设 ，
则过 与圆 相切的另一条直线方程为 ，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在 ，不合题意；
若 方程为 ，根据对称性不妨设
则过 与圆 相切的直线 为 ，
又 ，
，此时直线 关于 轴对称，
所以直线 与圆 相切；
若直线 斜率均存在，
则 ，
所以直线 方程为 ，
整理得 ，
同理直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
与圆 相切，
整理得 ，
与圆 相切，同理
所以 为方程 的两根，
，
到直线 的距离为：
，
所以直线 与圆 相切；
综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.
22.【答案】 （1）抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2）设 ，则 ，
所以 ，
由 在抛物线上可得 ，即 ，
所以直线 的斜率 ，
当 时， ；
当 时， ，
当 时，因为 ，
此时 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
当 时， ；
综上，直线 的斜率的最大值为 .
23.【答案】 （1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.
（2）抛物线 ，设A(x1 ， y1），B(x2 ， y2)，P(x0 ， y0)，则
，
，且 .
， 都过点P(x0 ， y0），则 故 ，即 .
联立 ，得 ， .
所以 = ， ，所以
= = = .
而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .
24.【答案】 （1） ，
轨迹 为双曲线右半支， ， ，
， ，
．
（2）设 ，
设 ： ，
联立 ，
，
，
，
，
，
，
设 ： ，
同理 ，
，
， ，
，即 ，
，
.
25.【答案】 （1）由题意，椭圆半焦距 且 ，所以 ，
又 ，所以椭圆方程为 ；
（2）由（1）得，曲线为 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 ，不合题意；
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，所以 ，
所以 ,
所以必要性成立；
充分性：设直线 即 ，
由直线 与曲线 相切可得 ，所以 ，
联立 可得 ，
所以 ，
所以
，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线 或 ，
所以直线 过点 ，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是 ．
26.【答案】 （1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .
直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
27.【答案】 （1）解：因为 ，故 ，故抛物线的方程为：
（2）解：设 ， ， ，
所以直线 ，由题设可得 且 .
由 可得 ，故 ，
因为 ，故 ，故 .
又 ，由 可得 ，
同理 ，
由 可得 ，
所以 ，
整理得到 ，
故 ，
令 ，则 且 ，
故 ，
故 即 ，
解得 或 或 .
故直线 在 轴上的截距的范围为 或 或
28.【答案】 （1）易知点 、 ，故 ，
因为椭圆的离心率为 ，故 ， ，
因此，椭圆的方程为 ；
（2）设点 为椭圆 上一点，
先证明直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ， ，
因此，椭圆 在点 处的切线方程为 .
在直线 的方程中，令 ，可得 ，由题意可知 ，即点 ，
直线 的斜率为 ，所以，直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
因为 ，则 ，即 ，整理可得 ，
所以， ，因为 ， ，故 ， ，
所以，直线 的方程为 ，即 .
