2021年高考数学真题分类汇编：专题（08）导数及应用（纯Word版，含解析）

 2021年高考数学真题分类汇编专题08：导数及应用一、单选题1.若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（   ）            A. eb<a                                B. ea<b                                C. 0<a<eb                                D. 0<b<ea二、填空题2.曲线 在点（-1，-3）处的切线方程为________。    3.函数f(x) =|2x-l|-2lnx的最小值为________    4.已知函数 ，函数 的图象在点 和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 取值范围是________．    三、解答题5.设函数 ，其中a>0．    （1）讨论f(x)的单调性；    （2）若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．       6.己知a＞0且a≠1，函数f（x）= （x＞0），    （1）当a=2时，求f（x）的单调区间；    （2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.        7.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。    （1）求a；    （2）设函数g（x）= ，证明：g（x）＜1.             8.已知函数 .    （1）讨论 的单调性；    （2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标.          9.已知函数f(x)=x（1-lnx)    （1）讨论f(x)的单调性    （2）设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b证明:          10.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．    （1）已知 ，求 ；    （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程： 的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；    （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．               11.已知函数 ．    （1）讨论 的单调性；    （2）从下面两个条件中选一个，证明： 有一个零点  ① ；② ．      12.已知函数 ．    （1）若 ，求 在 处切线方程；    （2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．           13.设a  ， b为实数，且 ，函数    (注： 是自然对数的底数)（1）求函数 的单调区间；    （2）若对任意 ，函数 有两个不同的零点，求a的取值范围；    （3）当 时，证明：对任意 ，函数 有两个不同的零点 ，满足 .     14.已知   ， 函数 ．    （1）求曲线 在点 处的切线方程：    （2）证明 存在唯一的极值点    （3）若存在a  ， 使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．   
答案解析部分一、单选题1.【答案】 D   解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为x=0，当x趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.
故答案为：D
二、填空题2.【答案】 5x-y+2=0   解：由题意得  ， 所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0
故答案为：5x-y+2=0
3.【答案】 1   解：①当时，f（x）=2x-1-2lnx，则  ，
当x>1时，f'(x)>0，当时，f'(x)<0，所以f（x）min=f（1）=1；
②当时，f（x）=1-2x-2lnx，则  ，
此时函数f（x）=1-2x-2lnx在上为减函数，则f（x）min=  ，
综上，f（x）min=1
故答案为：1
4.【答案】    解：由题意得  ， 则  ，
所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1  ， KBN=ex2
所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0， 所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，
所以  ，
同理
所以
故答案为：（0,1）
三、解答题5.【答案】 （1）函数的定义域为 ， 又 ，因为 ，故 ，当 时， ；当 时， ；所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点， 所以 的图象在 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得 ，故 即 .6.【答案】 （1）当 时， , 令 得 ,当 时， ,当 时， ,∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2） ,设函数 , 则 ,令 ，得 ,在 内 , 单调递增；在 上 , 单调递减； ,又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要条件是 ,这即是 ,所以 的取值范围是 .7.【答案】 （1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x) 当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0，所以a=1
（2）由f(x)=ln(1-x)，得x＜1 当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，则f′(t)=-1- -[(-1)lnt+ ]=-1+ +lnt- =lnt所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0，得证。8.【答案】 （1）由函数的解析式可得： ， 导函数的判别式 ，当 时， 在R上单调递增，当 时， 的解为： ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；综上可得：当 时， 在R上单调递增，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由题意可得： ， ， 则切线方程为： ，切线过坐标原点，则： ,整理可得： ，即： ，解得： ，则 ，即曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 .9.【答案】 （1）   在 单调递增， 在 单调递减
（2）由 ，得    即 令 ， 则 为 的两根，其中 ．不妨令 ， ，则 先证 ，即证 即证 令 则 恒成立， 得证同理，要证 即证 令 则 ，令 又 ， ，且 故 ， ， 恒成立 得证 10.【答案】 （1） .
（2）设 ，  因为 ，故 ，若 ，则 ，故 . ，因为 ， ，故 有两个不同零点 ，且 ，且 时， ； 时， ；故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，若 ，因为 在 为增函数且 ，而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，故 为 的一个最小正实根，若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，综上，若 ，则 .若 ，则 ，故 .此时 ， ，故 有两个不同零点 ，且 ，且 时， ； 时， ；故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，而 ，故 ，又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .所以 为 的一个最小正实根，此时 ，故当 时， .
（3）每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.   11.【答案】 （1）由函数的解析式可得： ，  当 时，若 ，则 单调递减，若 ，则 单调递增；当 时，若 ，则 单调递增，若 ，则 单调递减，若 ，则 单调递增；当 时， 在 上单调递增；当 时，若 ，则 单调递增，若 ，则 单调递减，若 ，则 单调递增；
（2）若选择条件①： 由于 ，故 ，则 ，而 ，而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点. ，由于 ， ，故 ，结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于 ，故 ，则 ，当 时， ， ，而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.当 时，构造函数 ，则 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：  ，当 时， ，取 ，则 ，即： ，而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点. ，由于 ， ，故 ，结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.综上可得，题中的结论成立.12.【答案】 （1）当 时， ，则 ， ， ，  此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，  由题意可得 ，解得 ，故 ， ，列表如下： -1 4 +0-0+ 增极大值减极小值增所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .当 时， ；当 时， .所以， ， .13.【答案】 （1）解： ，  ①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；②若 ，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.综上可得， 时， 在 上单调递增； 时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为
（2）解： 有2个不同零点 有2个不同解 有2个不同的解，  令 ，则 ，记 ，记 ，又 ，所以 时， 时， ，则 在 单调递减， 单调递增， ， .即实数 的取值范围是
（3）解： 有2个不同零点，则 ，故函数的零点一定为正数.  由(2)可知有2个不同零点，记较大者为 ，较小者为 ， ，注意到函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，故 ，又由 知 ， ，要证 ，只需 ， 且关于 的函数 在 上单调递增，所以只需证 ，只需证 ，只需证 ， ，只需证 在 时为正，由于 ，故函数 单调递增，又 ，故 在 时为正，从而题中的不等式得证.14.【答案】 （1） ，则 ，  又 ，则切线方程为 ；
（2）令 ，则 ，  令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，当 时， ，则 ， 单调递增，当 时， ，则 ， 单调递减，  为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（3）由（II）知 ，此时 ，  所以 ，令 ，若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ， ， ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 ，故 ，所以实数b的取值范围 .