解析几何小题专练解析版

这是一份解析几何小题专练解析版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法中正确的是( )
A．过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C．直线x－eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角为60°
D．过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0
解析 因为过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0或y＝2x，故A错误；因为直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B不正确；因为直线x－eq \r(3)y＋1＝0的斜率为eq \f(\r(3),3)，所以它的倾斜角为30°，故C错误；因为过点(5,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0，故D正确。故选D。
答案 D
2．从点A(1，－2)射出的光线经直线l：x＋y－3＝0反射后到达点B(－1,1)，则光线所经过的路程是( )
A．eq \r(11)B．eq \r(13)
C．2eq \r(13)D．eq \r(37)
解析 设A(1，－2)关于直线l：x＋y－3＝0的对称点为C(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x－1)＝1，,\f(x＋1,2)＋\f(y－2,2)－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝2，))所以C(5,2)，则光线所经过的路程CB＝eq \r(5＋12＋2－12)＝eq \r(37)。故选D。
答案 D
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0。故选C。
答案 C
4．若双曲线x2－eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是2，则m的值是( )
A．2B．eq \r(2)
C．1D．4
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点设为(c,0)，渐近线方程设为bx±ay＝0，可得d＝eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b，由题意可得b＝m＝2。故选A。
答案 A
5．已知P为圆C：(x－5)2＋y2＝36上任意一点，A(－5,0)。若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则点Q的轨迹方程为( )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1B．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
C．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1(x0)
解析 如图，由题意知|QA|＝|QP|，||QA|－|QC||＝||QP|－|QC||＝|PC|＝6b>0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若eq \(NM,\s\up16(→))·eq \(NF,\s\up16(→))＝0，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(2)－1,2)
C．eq \f(\r(3)－1,2)D．eq \f(\r(5)－1,2)
解析 由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c,0)，所以eq \(NM,\s\up16(→))＝(－a，－b)，eq \(NF,\s\up16(→))＝(c，－b)，因为eq \(NM,\s\up16(→))·eq \(NF,\s\up16(→))＝0，所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac。又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac。所以e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍)。所以椭圆的离心率为eq \f(\r(5)－1,2)。故选D。
答案 D
8．圆C：x2＋y2－10y＋16＝0上有且仅有两点到双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A．(eq \r(2)，eq \r(5))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(5,2)))D．(eq \r(5)，eq \r(2)＋1)
解析 双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线方程为bx－ay＝0，圆C：x2＋y2－10y＋16＝0的圆心坐标为(0,5)，半径为3。因为圆C上有且仅有两点到直线bx－ay＝0的距离为1，所以圆心(0,5)到直线bx－ay＝0的距离d的范围为20)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，准线的方程为y＝－eq \f(p,2)。因为|MF|等于点M到准线的距离，所以当p>eq \f(1,2p)时，|MA|＋|MF|的最小值为点A到准线y＝－eq \f(p,2)的距离，而|MA|＋|MF|的最小值为3，所以eq \f(3p,2)＝3，解得p＝2，满足p>eq \f(1,2p)；当p≤eq \f(1,2p)时，|MA|＋|MF|的最小值为|AF|，而|MA|＋|MF|的最小值为3，所以eq \r(1－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(p,2)))2)＝3，解得p＝4eq \r(2)，不满足p≤eq \f(1,2p)。综上所述，p＝2。因此抛物线的方程为x2＝4y。由p＝2得，点A(1,2)，焦点F(0,1)，则线段AF的垂直平分线的方程为x＋y－2＝0，且|AF|＝eq \r(1－02＋2－12)＝eq \r(2)。设线段AF的垂直平分线与抛物线的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)。由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x2＝4y，))整理得x2＋4x－8＝0，x1＋x2＝－4，x1x2＝－8，则|PQ|＝eq \r(1＋1)eq \r(－42－4×－8)＝4eq \r(6)。所以四边形APFQ的面积S＝eq \f(1,2)|AF|·|PQ|＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4eq \r(6)＝4eq \r(3)。
答案 x2＝4y 4eq \r(3)