解答题专练之三角函数解析版

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(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))时，求函数f(x)的值域。
解 (1)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x－\f(1,2)cs 2x))＋4×eq \f(\r(2),2)(cs x－sin x)×eq \f(\r(2),2)(cs x＋sin x)
＝eq \r(3)sin 2x－cs 2x＋2cs 2x
＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
解得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，
令2kπ＋eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
解得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z，
单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z。
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,12)))时，
2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，
可得－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤eq \f(\r(3),2)，
可得－1≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤eq \r(3)，
故函数f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\r(3)))。