专题二　数列学案

这是一份专题二　数列学案，共20页。
专题二　数列
小题专项　等差数列与等比数列
命|题|分|析
1．等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现。
2．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力。
明确考点　扣准要点
必 备 知 识
,1．等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及性质

等差数列
等比数列
通项
公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1(q≠0)
前n
项和
公式
Sn＝＝na1＋d
①q≠1，Sn＝＝；
②q＝1，Sn＝na1
性质
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
②an＝am＋(n－m)d；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列
①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
②an＝amqn－m；
③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0)
2.求数列通项公式常用的方法
(1)定义法：①形如an＋1＝an＋C(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列。
②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列。
(2)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求其通项公式。
(3)累乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·求其通项公式。
(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解。
(5)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－q)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解。
3．辨明易错易混点
(1)忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，n∈N*。
(2)证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前几项想当然得到通项公式，易出错，必须用定义证明。
(3)应用等比数列的前n项和公式时，应注意条件是否暗示了q的范围，否则，应注意讨论。
(4)等差数列的单调性只取决于公差d的正负，等比数列的单调性既要考虑公比q又要考虑首项。
精析精研　重点攻关
考 向 突 破
考向一 等差数列、等比数列的基本运算
【例1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，＋an＋1＝0，则S5＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
解析　由＋an＋1＝0，得＋Sn＋1－Sn＝0，即Sn＋1＝Sn，所以{Sn}为等比数列，又S1＝a1＝1，所以S5＝4＝。故选B。
答案　B
(2)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·a6·a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　　)
A．1　　　 B．
C．－　　 D．－
解析　因为{an}是等比数列，所以a2·a6·a10＝a＝3，所以a6＝。因为{bn}是等差数列，所以b1＋b6＋b11＝3b6＝7π，所以b6＝。故tan＝tan＝tan＝－tan＝－tan＝－。故选D。
答案　D
方法悟通
等差、等比数列的基本量问题主要涉及函数与方程的思想，难度不大，重点在于利用数列的基本性质构建方程，进而求得基本量，运算时要避免粗心的问题。
【变式训练1】　(1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1＝，则S4＝(　　)
A．　　　B． C．　　　D．
解析　因为a4＝，S3－a1＝，公比q>0且q≠1，所以解得所以S4＝＝。故选D。
答案　D
(2)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a2＋a7＋a9＝27，且S8＝S9，则d＝(　　)
A．－3　　　B．－1 C．1　　　D．3
解析　等差数列{an}中，a2＋a7＋a9＝(a1＋d)＋(a1＋6d)＋(a1＋8d)＝3(a1＋5d)＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0，所以a9－a6＝3d＝－9，解得d＝－3。故选A。
答案　A
考向二 等差数列、等比数列的性质及应用
【例2】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，an)在某条斜率存在且不为0的定直线上，同时满足2S5－13a4＋5a8＝10，则下列数中为定值的是(　　)
A．a8 B．S9
C．a17 D．S17
解析　由点(n，an)在某条斜率存在且不为0的定直线上，得{an}为等差数列。因为2S5－13a4＋5a8＝10，所以(10a1＋20d)－13(a1＋3d)＋5(a1＋7d)＝10，化简得a1＋8d＝5，即a9＝5，所以S17＝17×(a1＋a17)＝17a9＝85，为定值，故选D。
答案　D
(2)(多选)已知数列{an}为等比数列，则(　　)
A．{an＋an＋1}为等比数列
B．{anan＋1}为等比数列
C．{a＋a}为等比数列
D．{Sn}不为等比数列(Sn为数列{an}的前n项和)
解析　因为数列{an}为等比数列，所以设其公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*)。对于A，an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝a1(1＋q)qn－1(n∈N*)，当q＝－1时，an＋an＋1＝0(n∈N*)，故{an＋an＋1}不一定为等比数列，所以A不正确；对于B，anan＋1＝a1qn－1·a1qn＝aq2n－1(n∈N*)，所以＝＝q2(常数)对一切n∈N*都成立，故{anan＋1}为等比数列，所以B正确；对于C，a＋a＝(a1qn－1)2＋(a1qn)2＝aq2n－2＋aq2n＝a(1＋q2)q2n－2(n∈N*)，所以＝＝q2(常数)(n∈N*)，故{a＋a}为等比数列，所以C正确；对于D，因为数列{an}的前n项和为Sn，所以当q＝－1时，Sn＝＝(其中k∈N*)，此时{Sn}不为等比数列，故D正确。故选BCD。
答案　BCD
方法悟通
等差、等比数列性质使用的注意点
(1)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q∈N*)，则对于等差数列有am＋an＝ap＋aq＝2ak，但是不存在am＋an＝a2k；对于等比数列有aman＝apaq＝a，但是不存在aman＝a2k。
(2)对等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，且仅在q≠－1或q＝－1且m为奇数时满足。
【变式训练2】　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S21＝63，则a3＋a11＋a19＝(　　)
A．12 B．9
C．6 D．3
解析　由等差数列的性质可知，S21＝＝＝21a11＝63，解得a11＝3，所以a3＋a11＋a19＝3a11＝9。故选B。
答案　B
(2)设数列{an}满足a＝anan＋2，其前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A． B．－
C． D．
解析　由a＝anan＋2知{an}为等比数列。
解法一：(性质法)易知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，(7－8)2＝8(S9－S6)，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝。故选A。
解法二：(整体法)由S6＝S3＋q3S3＝8＋8q3＝7，可得q3＝－，故＝q6＝2＝，又a1＋a2＋a3＝S3＝8，所以a7＋a8＋a9＝。故选A。
答案　A
考向三 利用函数性质研究数列
【例3】　(多选)已知等比数列{an}的首项a1>1，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数f(x)＝x(x＋a1)(x＋a2)…(x＋a7)，若f′(0)＝1，则(　　)
A．{lg an}为递增的等差数列
B．01，所以00，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1a6a7＋1>2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项中正确的是(　　)
A．01 D．T13>1
解析　由于等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)1，a71，T13＝a1的最大正整数n的值为12，C正确，D错误。
答案　ABC
三、填空题
11．(2021·济南市模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝28，则a2＋a3＋a7的值为________。
解析　解法一：设等差数列{an}的公差为d，则S7＝7a1＋×d＝7(a1＋3d)＝28，所以a1＋3d＝4，所以a2＋a3＋a7＝a1＋d＋a1＋2d＋a1＋6d＝3(a1＋3d)＝3×4＝12。
解法二：由等差数列的性质知a1＋a7＝2a4，a2＋a3＝a1＋a4，得S7＝＝7a4＝28，所以a4＝4，则a2＋a3＋a7＝a1＋a4＋a7＝3a4＝12。
答案　12
12．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝________。
解析　由题知Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)＋(n≥2)，若n为偶数，则Sn－1＝(n≥2)，所以Sk＝(k＝1,3,5，…)，则S1＋S3＋S5＝＋＋＝。
答案　
13．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝100，则{an}的通项公式为an＝________；设数列{lg an}的前n项和为Tn，则Tn＝________。
解析　设等比数列{an}的公比为q，由题知q>0。因为a1＝1，a3＝100，所以q＝＝10，所以an＝10n－1。因为lg an＝lg 10n－1＝n－1，所以Tn＝。
答案　10n－1　
14．已知a－1，a＋1，a＋5三个数成等比数列，则a＝________；若a－1，a＋1，a＋5的倒数重新排列后为递增的等比数列{an}的前3项，则能使不等式a1＋a2＋…＋an≤＋＋…＋成立的正整数n的最大值为________。
解析　因为a－1，a＋1，a＋5三个数成等比数列，所以(a＋1)2＝(a－1)(a＋5)，所以a＝3。倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{an}的前3项，则{an}的前3项为，，，所以{an}是首项为，公比为2的等比数列，数列是以8为首项，为公比的等比数列，则不等式a1＋a2＋…＋an≤＋＋…＋等价于≤，整理得2n≤27，所以n≤7，n∈N*，即n的最大值为7。
答案　3　7
B级　素养落实
15.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＝＋2(n－1)(n∈N*)，则nSn－2n2的最小值为(　　)
A．－2 B．－1
C． D．3
解析　由题知，当n≥2时，Sn－Sn－1＝＋2(n－1)，整理得－＝2，即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，故Sn＝2n2－n，所以nSn－2n2＝2n3－3n2。令f(x)＝2x3－3x2，x≥1，则f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)≥0，故f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以数列{nSn－2n2}是一个递增数列，当n＝1时，nSn－2n2取得最小值1－2＝－1。故选B。
答案　B
16．(2021·浙江高考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则(　　)
A．1。由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8。
解得q＝(舍去)，q＝2。由题设得a1＝2。
所以{an}的通项公式为an＝2n。
(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤man成立的n的最小值。
解　(1)设{an}的公差为d(d≠0)，
所以
解得
所以an＝－4＋2(n－1)＝2n－6。
(2)Sn＝－4n＋·2＝n2－5n。
由Sn>an得n2－5n>2n－6，
所以n2－7n＋6>0，即(n－1)(n－6)>0，
所以n>6或n80×2n，即(9×2n＋1)(2n－9)>0，
所以2n－9>0，又n∈N*，
所以正整数n的最小值为4。
3．(2021·沈阳市质量监测)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＝2Sn＋n＋1，a2＝2。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>2 021的最小的正整数n的值。
解　(1)由题意，a＝2Sn＋n＋1，
当n≥2时，a＝2Sn－1＋n－1＋1，
两式相减，得a－a＝2an＋1，
即a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2(n≥2)，
因为数列{an}为正项数列，
所以an＋1＝an＋1(n≥2)，
当n＝1时，a＝2a1＋1＋1＝4，
所以a1＝1，a2＝a1＋1，符合上式，
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n。
(2)bn＝an·2n＝n·2n，
则Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
两式相减，得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2。
易知{Tn}为递增数列，
当n＝7时，T7＝6×28＋2＝1 5382 021，
所以使Tn>2 021的最小的正整数n的值为8。
4．已知函数f(x)＝cos πx－sin πx(x∈R)的所有正的零点构成递增数列{an}(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝n，求数列{bn}的前n项和Tn。
解　(1)f(x)＝cos πx－sin πx＝2cos，
由题意令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝k＋(k∈Z)。
又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列{an}，
所以{an}是首项a1＝，公差d＝1的等差数列，因此an＝(n－1)×1＋＝n－(n∈N*)。
(2)由(1)知bn＝n＝n·n，
则Tn＝1·1＋2·2＋3·3＋…＋(n－1)·n－1＋n·n　①，
Tn＝1·2＋2·3＋3·4＋…＋(n－1)·n＋n·n＋1　②，
由①－②得
Tn＝＋＋＋…＋－
＝－＝1－(n＋2)·n＋1，
所以Tn＝2－。
5．(2021·江西省六校联考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)。
(1)求证：是等差数列；
(2)若cn＝anan＋1，且bn＝，数列{bncn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围。
解　(1)证明：证法一：因为an＋1＝(n∈N*)，
所以＝＝＋2，
所以－＝2，又＝1，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列。
证法二：因为an＋1＝，所以－＝－＝－＝2，
＝1，所以是以1为首项，2为公差的等差数列。
(2)由(1)可知＝2n－1，an＝，
所以cn＝，
bncn＝＝－，
所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－。
因为Tn＋1－Tn＝－＝>0，
所以{Tn}是递增数列，
所以Tn的最小值为T1＝，又Tn