专题09 函数（图象）与方程、函数模型及应用 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

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专题09 函数（图象）与方程、函数模型及应用

目录
常考点01 函数图象的识别 1
常考点02 根据函数图象推解析式 5
常考点03 函数零点所在区间的判定 10
常考点04 求解函数零点 13
常考点05 确定函数零点的个数 16
常考点06 根据函数零点情况求参数 20
常考点07 函数零点的综合应用 25
常考点08 已知函数模型求解实际问题 29
常考点09 构造函数模型求解实际问题 32
易错点01 误用零点存在定理 36
易错点02 应用题理解题意有误 37
易错点03 关于方程根考虑不全 37
专项训练 （全卷共22题） 39
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写

常考点01 函数图象的识别
【典例1】（2021·天津高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.故选：B.
【典例2】（2021·山东高三三模）函数的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，然后再判断当或时的函数值即可得出选项.
【详解】由，定义域为
，所以函数为奇函数，故排除BD；
当时，；当时，函数的增长速度比的增产速度快，所以，故排除C；故选：A
【点睛】本题考查了函数图像的识别，熟练掌握函数的奇偶性，对称性，单调性是解题关键.
【技巧点拨】识图的三种常用方法：
（1）抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域、值域；②从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从周期性，判断图象的循环往复。
⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象.
(2)抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．
（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：
①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)；
②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．
【变式演练1】（2021·江苏徐州市·高三模拟）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过奇偶性可排除，通过时，对应的函数值符号可排除C，进而可得结果.
【详解】由题意可知，，则函数为奇函数，则排除选项AB，
又因为，，则排除选项C，故选：D.
【变式演练2】（2021·广东高三三模）已知函数，则的大致图像为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】对函数求导，利用导数求出函数的极值和单调区间，然后利用排除法可得结果
【详解】解：由，得，
令，则，得或，
所以当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以为极大值点，为极小值点，所以排除BD，
因为时，且，所以排除C，故选：A.
【变式演练3】（2020·浙江高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A BC D
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

常考点02 根据函数图象推解析式
【典例1】（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.故选：D.

【典例2】（2021·江苏省前黄高级中学高三一模）函数的大致图像如图所示，则的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先根据图象可判断函数的定义域为，当时，函数有两个零点，当时，函数有一个零点，然后依次对四个选项进行分析计算即可得出正确答案.
【详解】由图可知，函数的定义域为，当时，函数有两个零点，当时，函数有一个零点，依次对四个选项进行分析：
对于A：，令得：，解得或，
对于B：令得：或，解得或或或，
对于C：令得：或，解得或或，
对于D：，令得：，解得或，
综上，只有选项C满足题意.故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查由函数图象判断解析式，通常做法是从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、零点等方面入手去分析，从而得出正确的答案.
【技巧点拨】根据图象找解析式，一般先找差异，再对具体图象的特征值验证.
【变式演练1】（2021·河南高三月考（理））已知函数，，则下列图象对应的函数可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A.当时，，不符合题意；B.其图象不关于轴对称，不符合题意；
C.其图象不关于轴对称，不符合题意；D.其图象关于轴对称，当时，，符合题意.
【详解】A.，当时，，不符合题意；
B.，其图象不关于轴对称，不符合题意；
C.，其图象不关于轴对称，不符合题意；
D.，其图象关于轴对称，当时，，符合题意.故选：D.
【变式演练2】（2021·浙江温州中学高三其他模拟）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数为非奇非偶函数排除A，C；设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且，利用数形结合分别判断的零点可得出.
【详解】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.
设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且.
对于B，令，即，作出和的函数图象，如图所示：

由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，符合题意；
对D，令，即，作出和的函数图象，如图所示：

由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，故D不符合题意.故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数图象选择解析式，解题的关键是先判断奇偶性，再数形结合根据函数零点情况判断.
【变式演练3】（2021·福建高三三模）若函数的大致图象如图所示，则的解析式可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案
【详解】解：由图可知，当时，，
取，则对于B，，所以排除B，对于D，，所以排除D，
当时，对于A，，此函数是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以时，恒成立，而图中，当 时，可以小于1，所以排除A,故选：C

常考点03 函数零点所在区间的判定
【典例1】（2021·北京清华附中高三模拟）函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据零点存在性定理，若在区间有零点，则，逐一检验选项，即可得答案.
【详解】由题意得为连续函数，且在单调递增，
，，，
根据零点存在性定理，，所以零点一定位于区间.故选：C
【典例2】（2021·山东高三模拟）已知函数在上有唯一零点，若，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】对函数求导得，再对k分类讨论以确定函数的单调性，函数有唯一零点的条件，转化为函数最值即可作答.
【详解】因，，则，
时，恒有，在上单调递增，，在上无零点，
时，，而在上单调递增，从而在上单调递减，在上单调递增，，
因函数在上有唯一零点，则，即，
令，则，在单调递减，而，于是得的零点，所以.故选：B
【技巧点拨】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：
（1）解方程，直接求出零点；
（2）利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)1)的切线，此时共有两个交点，
当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确. 填①②④.
【典例2】（2021·山东高三模拟）已知，，则方程的解的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程因式分解，求得或，结合的图象判断出正确选项.
【详解】因为，所以，
所以或，画出的大致图象，如图，
因为，所以，因为直线与函数的图象有1个交点，
直线与函数的图象有2个交点，故方程的解的个数是3.
故选：B.

【点睛】含参数研究方程的解，可结合图象，利用数形结合的数学思想方法来进行求解.
【技巧点拨】函数零点个数的判断方法：
（1）直接法：直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；
（2）定理法：零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)