专题03 不等式 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题03 不等式 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共37页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc75954046" 常考点01 不等式的性质 PAGEREF _Tc75954046 \h 1
\l "_Tc75954047" 常考点02 利用均值不等式 PAGEREF _Tc75954047 \h 4
\l "_Tc75954048" 常考点03 一元二次不等式的解法 PAGEREF _Tc75954048 \h 8
\l "_Tc75954049" 常考点04 绝对值不等式的解法 PAGEREF _Tc75954049 \h 12
\l "_Tc75954050" 常考点05 其他不等式的解法 PAGEREF _Tc75954050 \h 16
\l "_Tc75954051" 易错点01 分式不等式转化致误 PAGEREF _Tc75954051 \h 18
\l "_Tc75954052" 易错点02 忽视基本不等式成立的前提“正数” PAGEREF _Tc75954052 \h 18
\l "_Tc75954053" 易错点03 忽视基本不等式取等的条件 PAGEREF _Tc75954053 \h 19
\l "_Tc75954054" 易错点04 多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立 PAGEREF _Tc75954054 \h 20
\l "_Tc75954055" 易错点05 解含有参数的不等式分类不当致误 PAGEREF _Tc75954055 \h 21
\l "_Tc75954056" 专项训练 (共22题) PAGEREF _Tc75954056 \h 23
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 不等式的性质
【典例1】
1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由给定条件分析出a>0，b0，b0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.
【典例2】
2．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三三模）设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为2
C．的最小值为D．恒成立.
【答案】BC
【分析】根据已知等式，应用基本不等式“1”的代换求各选项的最小值，注意等号是否能成立，进而判断各项的正误.
【详解】由得：，A：，当且仅当时等号成立，错误；
B：，当且仅当时等号成立，正确；
C：，当且仅当时等号成立，正确；
D：，又，则，当且仅当时等号成立，而，显然不能恒成立，错误.故选：BC.
【技巧点拨】
在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.用函数y＝x＋eq \f(m,x)(m>0)的单调性.
【变式演练1】
1．（2021·重庆高三三模）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4 C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】解：因为，当且仅当时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．故选：ABD．
【变式演练2】
2．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】根据题设条件可得，可得，用基本不等式即可求解.
【详解】∵∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.故答案为：.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
【变式演练3】
3．（2021·北京101中学高三其他模拟）已知，，，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为，，，
所以,
当且仅当时等号成立,故选:B
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
常考点03 一元二次不等式的解法
【典例1】
1．（2021·湖南怀化市·高三一模）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．
【答案】
【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把用表示，化待求式为一元函数，再利用基本不等式得结论．
【详解】由不等式解集知，由根与系数的关系知
，则，
当且仅当，即时取等号．故答案为：．
【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
【典例2】
2．（2021·奉新县第一中学高三三模）对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围
【详解】对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或故选：B
【点睛】本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数，将问题转化为在上恒成立，从而得到，属于中档题.
【技巧点拨】
1)运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.
2)“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
3)在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
5)当Δ0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
6)含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
【变式演练1】
1．（2020·扬州市第一中学高三模拟）已知关于的不等式，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）
A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是
C．不等式的解集可以是 D．不等式的解集可以是
【答案】BD
【分析】选项A先假设结论成立，再得到不等式为并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A错误；选项B当，时，不等式恒成立，判断选项B正确；选项C当时不等式成立，判断选项C错误；选项D先假设结论成立，再求解得，符合题意，判断选项D正确；
【详解】解：选项A：假设结论成立，则，解得，则不等式为，解得，与解集是矛盾，故选项A错误；
选项B：当，时，不等式恒成立，则解集是，故选项B正确；
选项C：当时，不等式，则解集不可能为，故选项C错误；
选项D：假设结论成立，则，解得，符合题意，故选项D正确；故选：BD
【点睛】本题考查一元二次不等式的解集问题，是基础题.
【变式演练2】
2．（2021·上海高三二模）设(常数)，且已知是方程的根．
（1）求函数的值域；（2）设常数，解关于x的不等式：
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由条件求出，得到，令，则，然后可得答案；
（2）原不等式可化为()，然后分、、、四种情况讨论求解即可.
【详解】（1）将代入方程，解得故
令，则，因为
所以，即的值域为
（2）()
()，即()
1）当时，不等式的解集为；2）当时，不等式的解集为；
3）当时，不等式的解集为．4）当时，不等式的解集为．
【变式演练3】
3．（2021·山东·高三模拟）解关于的不等式:.
【答案】见解析
【解析】不等式可化为.
①当时,,解集为，或；
②当时,,解集为；
③当时,,解集为，或.
综上所述：当时,原不等式的解集为，或；
当时,原不等式的解集为；
当时,原不等式的解集为，或.
常考点04 绝对值不等式的解法
【典例1】
1.（2020·江苏省高考真题）设，解不等式．
【答案】
【解析】或或
或或 所以解集为：
【典例2】
2.（2021·陕西省西安中学高三期中）已知不等式对一切恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，根据题意可得.故选：A
【技巧点拨】
形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设ac(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【变式演练1】
1．（2021·山西临汾市·高三其他模拟）等式的解集为，且，.
（1）求的值；（2）设函数.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）3；（2）.
【分析】（1）利用，，得到，进而求解即可；
（2）利用绝对值的性质，列出分段函数，
利用数形结合，求出，然后，利用恒成立不等式的性质，若对于恒成立，等价于，，进而求解
【详解】解：（1）因为不等式的解集为，且，，
所以，即，所以.因为，所以.
（2）由（1）知，所以，画出的图象如图所示：
当时，.若对于恒成立，
则，解得，所以的取值范围为.
【点睛】（1）利用，，列出相应的不等式方程组求解；（2）利用绝对值的性质，列出分段函数的解析式，进而利用数形结合求解，其中，该题的解题关键是数形结合.
【变式演练2】
2．（2021·上海高三一模）已知，函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围是___________.
【答案】.
【分析】计算，得到，，讨论，，三种情况，计算得到答案.
【详解】，解得.，
其中，.函数图象如图，
当时，，故，即，
化简得到，故或；
当时，，解得或.
当时，，故，即，
化简得到，故或.综上所述：.故答案为：.
【点睛】由函数的最小值可知需满足，即，在此条件下函数可去掉绝对值转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解，属于中档题.
【变式演练3】
3．（2021·宁夏高三模拟）已知函数．(1)若，求实数x的取值范围；
(2)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数a的值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】 (1)由题，；当时，，解得；
当时，恒成立，解得；
当时，，解得.综上有.
故实数x的取值范围为
(2)因为，当时，；
当时，；当时，.故的最小值为.
故，即，解得.故实数a的值范围为
常考点05 其他不等式的解法
【典例1】
1．（2021·上海市奉贤中学高三二模）不等式的解集为，且，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题可知实数满足或，解出即可.
【详解】由题可知实数满足或，解得或或，
故实数的取值范围是.
【典例2】
2．（2020·浙江高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a0C．b0
【答案】C
【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为，所以且，设，则的零点为
当时，则，，要使，必有，且，即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.综上一定有.故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
【变式演练1】
1．（2021·上海高三其他模拟）不等式的解集为______.
【答案】
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】．故答案为：．
【变式演练2】
2．（2021·浙江高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算即可；
【详解】解：因为，，所以，故选：A．
【变式演练3】
3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知集合，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别解出集合A，B的解集，取并集，然后与集合C取交集，根据最终结果求得参数a的值.
【详解】，，
则，又故，，故选：C
易错点01 分式不等式转化致误
1）认为分式不等式与二次不等式等价致误
1.解不等式; ．
【错解】原不等式可化为：，解得，所以原不等式的解集为．
【错因】没有考虑分母不能为0
【正解】原不等式可化为：，解得，
所以原不等式的解集为．
2)不等式两边同乘一个符号不确定的数致误
1.解不等式; ．
【错解】不等式两边同乘以得：，解得，
所以原不等式的解集为．
【错因】两边同乘以，导致错误
【正解】原不等式可化为：，解得或，
所以原不等式的解集为．
易错点02 忽视基本不等式成立的前提“正数”
易错点2．忽视基本不等式成立的前提“正数”
1.求函数 的值域．
【错解】因为，所以函数 的值域为．
【错因】没有考虑为负数的情形．
【正解】由题意，函数的定义域为．
当时，，当时取得等号；
当时，，当时取得等号．
综上，求函数 的值域是．
2.函数的值域为 .
【错解】=4,所以的值域为
【错因】忽略时
【正解】当时,=4,当时,,所以的值域为.
【点睛】利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等.
易错点03 忽视基本不等式取等的条件
1.求函数的最小值．
【错解】函数，所以函数的最小值为2．
【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的．
【正解】，
令，在时是单调递增的，．
故函数的最小值是．
2．（2021·江苏南通市·高三一模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式及其性质，结合“1”的妙用以及对勾函数的性质，逐项进行分析判断即可得解.
【详解】对于A，因为，所以，
从而，正确.
对于B，因为，所以，解得，
所以，正确.
对于C，令()，，在为增函数，
所以在上单调递增，从而，即，错误.
对于D，因为，所以，正确.故选：ABD
易错点04 多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立
1．（2021·天津耀华中学高三二模）设，那么的最小值是___________.
【答案】8
【分析】利用基本不等式得到，因此，进而由均值不等式可求得最小值.
【详解】因为，则.
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
故当时，有最小值8.故答案为：8.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
2. （2021·北京101中学高三其他模拟）已知两个正实数，满足，则的最小值为 ．
【错解】由已知得，，所以最小值是2．
【错因】两次使用基本不等式，其中等号成立必须满足，而的等号成立时，必须有，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的．
【正解】，当且仅当且，
即时取等号，，即最小值为．
易错点05 解含有参数的不等式分类不当致误
1.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1