2022届高三数学一轮复习 微专题15 利用导数研究函数的单调性（全国通用）

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微专题15 利用导数研究函数的单调性

1．（2014·全国高考真题（文））若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.
【解析】（1）当时，，
令得，当时，，当时，，
∴函数在上单调递增；上单调递减；
（2），设函数，
则，令，得，
在内，单调递增；
在上，单调递减；
，
又，当趋近于时，趋近于0，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，这即是，
所以的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.

1.求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)0），令解得，因此函数的单调减区间为，故选B
考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域
2．【答案】B
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，
，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B．
3．【答案】A
【解析】若，必有．
构造函数：，则，
则恒成立，
故有函数在x＞0上单调递增，
所以a＞b成立．故选A．
4．【答案】B
【解析】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，
而在区间(0，1)上增长速度越来越慢．
故选B.
5．【答案】C
【解析】令，则，因此，所以选C.
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
6．【答案】A
【解析】对于A，令，，则在R上单调递增，故具有M性质，故选A.
【名师点睛】(1)确定函数单调区间的步骤：① 确定函数f(x)的定义域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)