专题19 数列的递推式与求和 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题19 数列的递推式与求和 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共45页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc87954590" 常考点01 定义法（公式法）求数列通项 PAGEREF _Tc87954590 \h 1
\l "_Tc87954591" 常考点02 累加法与累乘法求数列通项 PAGEREF _Tc87954591 \h 4
\l "_Tc87954592" 常考点03 构造法求数列通项 PAGEREF _Tc87954592 \h 7
\l "_Tc87954593" 常考点04 公式法、分组转化法求和 PAGEREF _Tc87954593 \h 9
\l "_Tc87954594" 常考点05 裂项相消法求和 PAGEREF _Tc87954594 \h 14
\l "_Tc87954595" 常考点06 错位相减法求和 PAGEREF _Tc87954595 \h 18
\l "_Tc87954596" 常考点07 数列与函数的综合 PAGEREF _Tc87954596 \h 23
\l "_Tc87954597" 常考点08 数列与不等式的综合 PAGEREF _Tc87954597 \h 29
\l "_Tc87954598" 易错点01 运用公式“an＝Sn－Sn－1”不当致误 PAGEREF _Tc87954598 \h 34
\l "_Tc87954599" 易错点02 裂项求和剩余项出错 PAGEREF _Tc87954599 \h 34
\l "_Tc87954600" 易错点03 忽略ｎ为奇数或偶数 PAGEREF _Tc87954600 \h 35
\l "_Tc87954601" 易错点04 混淆数列与函数的区别 PAGEREF _Tc87954601 \h 35
\l "_Tc87954602" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc87954602 \h 36
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 定义法（公式法）求数列通项
【典例1】（1）（2021·新疆高三）记数列的前项和为，已知，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】当时，．
当时，，
得．
又也满足，所以．
于是，所以
（2）（2021·浙江高三）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an+23，n∈N*，则数列{an}的通项公式。
【答案】3×+1
【解析】当n=1时，，解得a1=4.
当n≥2时，，即，
即，故数列是以3为首项，为公比的等比数列，
则，所以.故选：C.
【典例2】（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
当时，由①，
得②，①②得 ，
又是首项为，公比为的等比数列，；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，由得恒成立，即恒成立，
时不等式恒成立；时，，得；
时，，得；所以.
【点睛】（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.
【技巧点拨】1.Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解
2.利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误
【变式演练1】（2021·广东）已知数列的前项和为，满足，，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】当时，,解得：,
当时，,即,
∴数列为等比数列，首项和公比都是,∴；
【变式演练2】（2021·全国高三）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式。
【答案】
【解析】当时，，即，解得或（舍）.
当时，，，
两式相减得，
又数列的各项为正数，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
【变式演练3】（2021·浙江高三）已知数列的前项和为，，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】因为，，
所以，，又，
得，所以，又，所以，；
常考点02 累加法与累乘法求数列通项
【典例1】（1）（2021·浙江高三）已知数列满足，，则数列的通项公式
（2）（2021·河北高三）在数列中，，，则数列的通项公式
【答案】（1）（2）
【解析】因为数列满足，，所以当时，又也满足上式，所以
（2）由题意得，，
则，…，，
由累加法得，，
即，则，所以
【典例2】（1）（2020·河南高三月考（理））已知数列的首项为，且满，求的通项公式；
（2）（2021·江苏高三）已知，，则数列的通项公式。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由，得，
又，所以当时，，
又也满足上式，所以；
（2）由得：，即，
则，，，……..，，
由累乘法可得，又因为，所以.
【技巧点拨】
（1）累加法：；（2）累乘法：
【变式演练1】（2021·浙江）设数列满足，，则数列的通项公式
【答案】
【解析】，
所以当时，，，，，
将上式累加得：，
，即，
又时，也适合，．
【变式演练2】（2021·东莞市东方明珠学校）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
因此，.故选：A.
【变式演练3】（2021·辽宁高三）数列满足：，，求的通项公式；
【答案】
【解析】由得，，
，
即．
常考点03 构造法求数列通项
【典例1】（1）（2021·全国高三专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式
（2）（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足，求数列的通项公式
【答案】（2）
【解析】已知数列满足，，
在等式两边同时取倒数得，，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，
（2）由，可得=1，则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，
则=，即
【典例2】（2021·上海上外附中）若数列满足，且，则数列的通项公式为_________.
【答案】
【解析】由，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故答案为：
【技巧点拨】构造法递推式的通项，主要构造为等差或等比数列求解即可。
具体构造常用待定系数法构造、倒数数列、取对数等。
待定系数法：（其中均为常数，也可以是常数）
取倒数法：（其中为常数）
取对数法：
【变式演练1】（2021·湖北黄冈市）在数列中，若且，求数列的通项公式
【答案】
【解析】证明：∵，∴，∴，
∴是首项为，公差为的等差数列.，∴.
【变式演练2】（2021·湖北高三期中）已知数列满足数列的通项公式
【答案】
【解析】因为，
所以，即，
则
，
当时，上式成立，故
【变式演练3】（2021·辽宁抚顺市）已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】证明：因为，所以，即．
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，．
因为，
所以．
常考点04 公式法、分组转化法求和
【典例1】（2021·北京高三二模）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.（1）求数列的通项公式；（2）设等比数列满足，，求数列的前项和.条件①：；条件②：；条件③：.
【答案】（1）；（2）
【解析】(不能选择①③作为已知条件)
若选择①②作为已知条件.
因为，，所以数列是以为首项，公差的等差数列.
所以.
若选择②③作为已知条件.
因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
因为，所以.所以，解得.所以.
（2）设等比数列的公比为，结合（1）可得，，
所以，所以.
所以等比数列的通项公式为.所以
所以
.
【典例2】（2019·天津）设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；（ii）求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】 (Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
【技巧点拨】
1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
2．分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
3．分组转化求和法：有一类数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
4．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．
5．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．
【变式演练1】（2021·全国高三二模）已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设为数列的公差，为数列的公比，
由题意得，即，
解得或，∵数列各项均为正，所以，即.
∴.，解得，∴
（2）由（1）得：，
所以
.所以
【变式演练2】（2021·全国高三其他模拟）设数列的前项和为，且，________，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列的前项和．
①；②；③．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【解析】选条件①时，直接利用数列递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和；
选条件②时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步用公式法求出求出数列的和；
选条件③时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】解：选条件①时，因为，所以，
所以，整理得，
所以为首项为2，公比为3的等比数列，所以，即
因为，所以，所以数列的前项和
．即
选条件②时，；整理得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，故，
所以，所以为等差数列，
所以数列的前项和．
选条件③时，由于①，当时，，②，①－②得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
则，
所以数列的前项和．
即所以．
【变式演练3】（2021·宁波市北仑中学高三模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；．
【解析】（1）因为，，，
所以，
又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此；
（2）由（1）可得①，
则②，
①②得，
则；设，则，
所以；
；
因此.
常考点05 裂项相消法求和
【典例1】（2021·广东高三模拟）已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，数列的前项和为，可得，，
因为，所以，解得，所以，，
因为当时，，
所以.
当时，符合上式，所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，所以，
，，……，，
所以，
又由，可得，
当时，，满足上式，所以.
所以，
所以.
【典例2】（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，变形为，利用等比数列的通项公式可得，再利用与的关系即可得出答案；
（2）将裂项为，裂项相消求和即可.
【详解】解：（1）因为，所以，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，
当时，，
当时也成立，所以.
（2）令，
所以数列前项和.
【技巧点拨】
1．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT （其中 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是各项不为零的等差数列， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.
2.需要掌握一些常见的裂项方法：
（1） SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，特别地当 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ；
（2），特别地当 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，；
（3）
（4）
（5）
【变式演练1】（2021·山东滕州市高三3月模拟）已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）∵数列为等差数列，且，．
∵成等比数列，∴，即，
又∴，∴，∴.
（2）证明：由（1）得，
∴．
∴
．∴．
【变式演练2】（2019·浙江高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】(1)由题意可得：，解得：，
则数列的通项公式为 .其前n项和.
则成等比数列，即：
，
据此有：，
故.
(2)结合(1)中的通项公式可得：，
则.
【变式演练3】（2021·重庆一中高三模拟）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，可得=1，
则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，则=，即；
（2），
.
常考点06 错位相减法求和
【典例1】（2021·福建厦门市·高三模拟）在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列的前n项和为，_____.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）方案一：选条件①.
∵，∴当时，，两式相减，整理得，
∵，∴，，所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.
方案二：选条件②.
∵，∴当时，，两式相减，整理得，
∵，，∴，，所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.∴
方案三：选条件③.
∵点在直线上，∴，∴，
两式相减，整理得，当时，，得，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.
（2）由（1）可得，，则，
，两式相减得
∴.
【典例2】（2021·四川高三月考（理））在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为，所以，所以或，
因为，所以，所以，因为的前三项分别是8，16，24，所以．
（2）因为=，
所以①
②
①－②得
，所以
【技巧点拨】
1.错位相减法求和的策略
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
2．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．
若 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，其中 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是公比为 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 等比数列，令 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 两式错位相减并整理即得.
【变式演练1】（2021·陕西高三模拟）数列前n项和，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用,将变形，再利用累加法即可解出，则可求出的通项公式.（2）利用错位相减，求出即可.
【详解】（1）数列前n项和为，，①.
当时，解得；
①式转换为，整理得：，
利用叠加法：，
所以，整理得：（首项符合通项），故.
（2）由（1）得：，所以：，故①，
②，
①-②得：，整理得：.
【变式演练2】（2021·新安县高三模拟（理））已知数列前项和是，且．
（1）设，证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由可求得的值，令，由可得出，整理可得，利用定义可证明出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式；（2）求得，然后利用错位相减法可求得.
【详解】（1）当时，，可得，
当时，由，可得，
上述两式作差得，即，
所以，，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以；
（2），则，
所以，
两式作差得，因此.
【变式演练3】（2021·山东高三模拟）在①，②是公差为1的等差数列，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在递增的等差数列中，为数列的前项和，已知，______，数列是首项为2，公比为2的等比数列，设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】7
【解析】设数列的公差为，
若选条件①：，，解得（舍负），
故；
若选条件②：是公差为1的等差数列，，则，
当时，，满足，；
若选条件③：
，，解得（舍去）或，故.
由已知可得，则，
则，
，
两式相减可得，所以，
，
显然，当时，，即，
又，所以最小正整数的值为7.
常考点07 数列与函数的综合
【典例1】（2021浙江高三第一次联考）已知数列满足：，．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考察函数，
由可得在单调递增，由可得在单调递减
且，可得，数列为单调递增数列，
如图所示：且，，
图象可得，所以，故选B.
【典例2】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列的公比为，且，数列满足，．（1）求数列的通项公式．
（2）规定：表示不超过的最大整数，如，．若，，记 求的值，并指出相应的取值范围．
【答案】（1），；（2）当时，；当时，．
【解析】（1）由等比数列的通项公式得，即可得，然后利用累加法求即可；（2）由（1）得，可求出，，得到和时的值，然后对进行放缩，可得当时，，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求解即可．
【详解】（1）由题意得，则，
当时，，
，
又由，符合上式，因此，．
（2）由（1）知，当时，．
易知时，，此时；
时，，此时；
当时，，因为时，，
所以，
因此，令，则，，
利用对勾函数的单调性，得（其中），从而．
综上，当时，；当时，．
【技巧点拨】数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
【变式演练1】（2019·浙江高考真题）设，数列中，， ,则（ ）
A．当 B．当 C．当 D．当
【答案】A
【分析】若数列为常数列，，则只需使，选项的结论就会不成立.将每个选项的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.选项B、C、D均有小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A选项正确.
【详解】若数列为常数列，则，由，可设方程
选项A：时，，，，
故此时不为常数列，，且，
，则，故选项A正确；
选项B：时，，，则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，则，故选项B错误；
选项C：时，，该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，， 该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，则选项D错误.故选：A.
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.
【变式演练2】（2021·中央民族大学附属中学高三三模）已知函数，其中，定义数列如下：，，（1）当时，求的值；（2）是否存在实数m，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；（3）求证：当时，总能找到，使得.
【答案】（1）1，2，5；（2）存在，使得，，构成公差不为0的等差数列；（3）见解析.
【解析】（1）利用函数的解析式，通过＝2，3，4，求出结果；
（2）解法一：假设存在实数m，使得，，构成公差不为0的等差数列．求出，，，利用，，成等差数列，求出即可．
方法二：通过，求出，使得，，构成公差不为0的等差数列．
（3）通过，利用，，，，累加推出，通过成立，转化，得到结论．
【详解】（1）因为，故， 因为，所以，
，．
（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为0的等差数列．
则得到，，．
因为成等差数列，所以，
所以，，化简得，
解得（舍）,． 经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列．
方法二：因为，，成等差数列，所以，即，
所以，即．
因为公差，故，所以解得．
经检验，此时，，的公差不为0．
所以存在，使得，，构成公差不为0的等差数列．
（3）因为,
又, 所以令 由，，，，
将上述不等式全部相加得，即，
因此要使成立，只需，
所以，只要取正整数，就有．
综上，当时，总能找到，使得．
【变式演练3】（2021·沙坪坝区·高三月考）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先利用已知条件求出公差d，再利用求通项公式即可；
（2）先计算通项公式，利用裂项相消法求，代入化简数列不等式为对任意恒成立，再求最小值即得结果.
【详解】解：（1）设数列的公差为，
因为是等差数列，所以，故，
又，，成等比数列，所以，故，
将代入得，即，
又知，故，所以；
（2）由（1）知，，故，
所以，即，
故，即对任意恒成立，
而在上单调递增，
故在时单调递增，，
所以，故的取值范围为.
常考点08 数列与不等式的综合
【典例1】（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．
【详解】因为，所以，．
由
，即
根据累加法可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
所以，即．故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．
【典例2】（2021·宁波中学高三其他模拟）已知等差数列和等比数列，且满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，，求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】（1）首先根据对所有n都成立，分别取得到关于的等量关系式，解方程求解，最后写出数列的通项公式即可；
（2）化简，根据裂项相消求得，最后证明即可.
【详解】（1）假设等差数列的公差为和等比数列的公比为，
因为，取得，又，所以，
取得，所以即，
取得，所以即，
联立解得：，所以，；经检验，，
使得对任意的正整数都成立，所以，.
（2），
,
,所以，即数列单调递增，
所以对于任意正整数恒成立，所以对于任意正整数恒成立，
所以，所以，所以得证.
【技巧点拨】
1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．
放缩法常见的放缩技巧有：
(1)eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k2－1)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1))).(2)eq \f(1,k)－eq \f(1,k＋1)＜eq \f(1,k2)＜eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k). (3)2(eq \r(n＋1)－eq \r(n))＜eq \f(1,\r(n))＜2(eq \r(n)－eq \r(n－1))．
2.数列中不等式恒成立的问题:数列中有关项或前n项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．
【变式演练1】（2018·浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；
若公比，则
但，
即，不合题意；因此，
，选B.
【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如
【变式演练2】（2021·山东高三月考）已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】（1）解：，①
当时，．当时，，②
由①-②，得，因为符合上式，所以．
（2）证明：
因为，所以．
【变式演练3】（2021·浙江杭州市·高三模拟）已知数列满足：，．
（1）若，，成等比数列，求q的值；（2）若，求证：．
【答案】（1）（2）证明见解析；
【解析】（1）首先表示出，，根据等比中项的性质得到方程，求出即可；
（2）依题意可得，再根据，利用错位相减法求和即可得证；
【详解】解：（1）
因为成等比数列，所以 则，解得
（2）由，得所以，
所以当时，
设①
则②
由得
所以
易错点01 运用公式“an＝Sn－Sn－1”不当致误
【例】已知数列的前n项和为,且满足 .求.
【错解】由,两式相减得,又,所以.
【错因分析】忽略成立的条件是n≥2.
【正解】由,两式相减得,
又,,所以.
【纠错笔记】已知数列{an}的前n项和Sn,求通项an与Sn的关系中,an＝Sn－Sn－1,成立的条件是n≥2,求出的an中不一定包括a1,而a1应由a1＝S1求出,然后再检验a1是否在an中,这是一个典型的易错点．
易错点02 裂项求和剩余项出错
【例】求和： ________．
【错解】==.
【错因分析】裂项相消后,前面与后面各剩余2项．
【正解】=
=.
【纠错笔记】用裂项相消法求和时,要对通项进行变换,如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n)),eq \f(1,nn＋k)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k)),裂项后可以产生连续相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项．
易错点03 忽略ｎ为奇数或偶数
【例】若对任意正整数n恒成立,则a的取值范围是 .
【错解】对任意正整数n恒成立,当n为奇数时得,因为,所以；当n为偶数时,因为,所以,综上得.
【错因分析】n为偶数时,因求的最小值忽略n为偶数.
【正解】对任意正整数n恒成立,当n为奇数时得,
因为,所以；当n为偶数时,
因为,所以,综上得.
【纠错笔记】含有的数列问题,一般要分n为奇数与偶数进行讨论,对每类的讨论要在前提条件下进行．
易错点04 混淆数列与函数的区别
【例】已知,若数列是递增数列,则的取值范围是 .
【错解】由及二次函数的单调性可得,所以 .
【错因分析】混淆数列与函数的区别.
【正解】因为数列是递增数列,所以,
所以.
【纠错笔记】利用函数单调性求解数列问题,要注意ｎ的取值不是连续实数..
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·东莞市东方明珠学校）在数列中，且，则它的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，
因此，.故选：A.
2．（2021·广东福田·高三月考）已知为数列的前项和，，，那么（ ）
A．-64B．-32C．-16D．-8
【答案】B
【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
【详解】时，，，可得：，化为．
时，．数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为．
那么．故选：B．
3．（2021·北京）已知数列满足，，则数列的前50项和为（ ）
A．48B．C．52D．
【答案】D
【解析】由，得，
则，
，
，
，
所以，于是数列的前50项和
．故选：D.
4．（2021·全国高三专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】因为函数满足，①，
②，由①②可得，，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.
5．（2021·河南·高三月考）在数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，可得.设
可得数列为等差数列，其公差为，然后求出，即可得到，即可求解
【详解】由，得，可得.
设，可得数列为等差数列，其公差为，
由，，可得，，,所以，
故，所以.故选：.
6．（2021·河南·高二月考）记为数列的前项和，已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的通项，从而可求的通项，故可求.
【详解】由题设可得当为奇数时，，当为偶数时，.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以当为偶数时，，当为奇数时，.
故.故选：B.
7．（2021·四川绵阳·高三月考（理））已知首项为的数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列为单调递增数列 C． D．
【答案】D
【分析】由，，可得，可得数列的奇数项、偶数项分别成等比数列，且，，故数列是公比为4的等比数列，可判断A；由可判断B；代入通项公式计算可判断C；利用通项公式和求和公式代入可判断D
【详解】由题意，
在中，令可得，故数列的奇数项是以1为首项，16为公比的等比数列；
偶数项是以4为首项，16为公比的等比数列
故奇数项的通项公式为：，偶数项的通项公式为：
，，故数列是公比为4的等比数列，故A正确
由于，故数列为单调递增数列，故B正确；，故C正确；
由于故，故D错误
故选：D
8．（2021·广西师范大学附属外国语学校高二月考）已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由求得，即得，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．
【详解】由题意，时，，综上，，
题设不等式为，整理得，
记，则，
当时，，，时，，，
所以是中的最大值，，所以．故选：D．
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第月月底小王手中有现款为，则下列论述正确的有（ ）(参考数据：)
A． B．
C．2020年小王的年利润为40000元 D．两年后，小王手中现款达41万
【答案】BCD
【解析】由题可知，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为之间的递推关系为，，进而根据递推关系求出通项公式即可得答案.
【详解】对于A选项，元，故A错误
对于B选项，第月月底小王手中有现款为，则第月月底小王手中有现款为，由题意故B正确；对于C选项，由得
所以数列是首项为公比为1.2的等比数列，
所以，即
所以2020年小王的年利润为元，故C正确；
对于D选项，两年后，小王手中现款为元，即41万，故D正确.故选： BCD.
10．（2021·福建·宁德市第九中学高三月考）若数列满足则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．数列的通项公式D．数列的通项公式
【答案】AC
【分析】变形给定的递推公式即可判断选项A，B；求出数列的通项即可判断选项C，D作答.
【详解】在数列中，当时，，即，而，即，则是首项为1，公差为1的等差数列，因此，，，
所以A正确，B不正确，C正确，D不正确.故选：AC
11．（2021·江苏·铜山启星中学高二月考）在数列中，其前的和是 ，下面正确的是（ ）
A．若 ，则其通项公式
B．若，则其通项公式
C．若，则其通项公式
D．若，，则其通项公式
【答案】BCD
【分析】A根据的关系讨论、求通项公式即可；B由递推式可得即可求通项公式；C构造数列即可求通项；D应用数学归纳法求证通项公式即可.
【详解】A：时，，当时，，而，故错误；B：由题设，，，，，…，则，故正确；
C：由题设，，而，则，即，故正确；
D：假设成立，当时，，即成立；
若时，成立，则时，，
此时，则也成立，故正确.故选：BCD
12．（2021·江苏高三月考）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列B．的通项公式为
C．为递减数列D．的前项和
【答案】ABCD
【分析】由两边取倒数，可求出的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.
【详解】由两边取倒数得，
即，又，所以是以4为首项，2位公比的等比数列，
即，故选项A 、B正确.
由的通项公式为知，为递减数列，则选项C正确.
因为，所以 的前项和
则选项D也正确.故选：ABCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·青海）若，，则_______________.
【答案】
【解析】原式可化为（），
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.故答案为：.
14．（2021·江西·九江一中高三月考）已知数列和满足， 则_______.
【答案】
【分析】求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果.
【详解】，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，所以，，，
则，
因此，.故答案为：.
15．（2021·广西·钦州市大寺中学高三期中）已知数列中，，设，求数列的通项公式________．
【答案】
【分析】首先判断是等比数列，并求得其通项公式，从而求得数列的通项公式.
【详解】依题意，则，两边取倒数并化简得，
即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.故答案为：
16．（2021·江西·高三月考）若正项数列满足，则数列的通项公式是_______．
【答案】
【分析】根据给定条件将原等式变形成，再利用构造成基本数列的方法求解即得.
【详解】在正项数列中，，则有，
于是得，而，因此得：数列是公比为2的等比数列，
则有，即，所以数列的通项公式是.故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三其他模拟）已知在数列中，前n项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在数列中，①∵②且，
∴①式÷②式得：，∴数列以为首项，公差为1的等差数列，
∴∴,当时，；
当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，则数列的前项和，当时，，
当时，
，当时也满足上式，故有．
18．（2021·全国高三二模）已知数列的前项和为，且，在等差数列中， （1）求数列和的通项公式；（2）定义；.记，求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）对于数列，当时，得，
当时，由，得，两式相减得也满足上式，
所以数列的通项公式为.
设等差数列的公差为，，，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由题意知﹐，即
当时，，
当时，，，
，
所以.
19．（2020·全国高考真题（理））设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用递推公式得出，猜想得出的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.
20．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；（2）已知数列满足，其前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用化简可得为等比数列，由此可求得通项公式；
（2）由题可得恒成立，n为偶数时，，n为奇数时，.
【详解】（1）解：因为，所以，
当，时，所以，
所以数列为等比数列，首项为，公比为2，所以，则；
（2）解：因为，所以，
由（1），所以恒成立，
当n为偶数时，恒成立，所以，
设，由于，
所以，当时，，所以，
当n为奇数时，，若n=1，则有，
若，则有，令，由于，
所以，综上，.
21．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}满足，且=，n∈（是等比数列，是等差数列），记数列{}的前n项和为，{}的前n项和为，若公比数q等于公差数d，且
（1）求数列{}的通项公式；
（2）记为数列{}的前n项和，求（n≥2，且n∈）的最小值．
【答案】（1）+；（2）
【解析】（1）根据已知条件以及等差数列等比数列的通项公式可求出，进而可以求得数列{}的通项公式；（2）求得，进行变形，然后令=1，接下来与作差，然后构造函数，分类讨论即可求出最值.
【详解】（1）由题意得①；②
将代入②式中，解得=4，=3.故将①式可变为：，解得d=q=2
故=2，=1，所以故+
（2）由（1）可求得=2，故1，记=1
则--
∵n≥2，且n∈，故在n=2时为负数，当n≥3时为正数
进行分类讨论：①当n=2时，=5②当n≥3时，记f(x)=
化简得f(x)=，故在4>n≥3时，-＜0，,n=4,=,n≥5时，-＞0
则对于n≥3时，n=4或3时有最小值-
故＜故的最小值为.
22.（2021·天津高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，
（i）证明是等比数列；（ii）证明
【答案】（I），；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】（I）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（II）（i）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ii）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以，所以，所以；
设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），
所以；
（II）（i）由题意，，所以，
所以，且，所以数列是等比数列；
（ii）由题意知，，所以，
所以，设，则，
两式相减得，所以，
所以.