专题01 集合 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题01 集合 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共33页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc75946331" 常考点01 集合的基本概念 PAGEREF _Tc75946331 \h 1
\l "_Tc75946332" 常考点02 集合间的基本关系 PAGEREF _Tc75946332 \h 4
\l "_Tc75946333" 常考点03 集合的基本运算 PAGEREF _Tc75946333 \h 7
\l "_Tc75946334" 常考点04 利用集合的运算求参数 PAGEREF _Tc75946334 \h 9
\l "_Tc75946335" 常考点05 集合的新定义问题 PAGEREF _Tc75946335 \h 11
\l "_Tc75946336" 易错点01 代表元素意义不清致错 PAGEREF _Tc75946336 \h 15
\l "_Tc75946337" 易错点02 忽视集合元素的互异性致错 PAGEREF _Tc75946337 \h 16
\l "_Tc75946338" 易错点03 忽视空集致错 PAGEREF _Tc75946338 \h 17
\l "_Tc75946339" 易错点04 忽视语言转换的等价性 PAGEREF _Tc75946339 \h 18
\l "_Tc75946340" 专项训练 (共22题) PAGEREF _Tc75946340 \h 19
（专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写）
常考点01 集合的基本概念
【典例1】
1.（2021·辽宁高三模拟）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定集合的元素个数，接着根据公式求出集合的所有子集个数，减掉集合本身得出结果即可.
【详解】因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，故选：A.
【点睛】集合有n个元素,则集合的所有子集个数为，集合的所有非空子集个数为，集合的所有真子集个数为，集合的所有非空真子集个数为；
【典例2】
2.（2021·江苏苏州市·高三三模）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】直接求出集合C即可.
【详解】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的个数为4.故选：B.
【技巧点拨】
1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【变式演练1】
1.（2021·上海高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_____.
【答案】
【分析】因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式,首先想到的是十字相乘法,但此题行不通;应该把此不等式等价转化为的形式,然后数形结合来解答,需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．
【详解】解:且 ∴
令 ∴
∴是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线;
而一次函数,图象是过一定点的动直线．
又∵．数形结合,可得:，故答案为:
【点睛】此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
【变式演练2】
2. (2018年新课标II理)已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【解析】试题分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.
试题解析：∵x2+y2≤3，∴x2≤3，又x∈Z，∴x=-1,0,1.
当x=-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x=1时，y=-1,0,1；所以共有9个，选A.
方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
【变式演练3】
3．（2021·海原县第一中学高三月考）设，，则的元素个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】确定集合中的元素，再得集合，即可得结论．
【详解】由题意，，中有三个元素．故选：B．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素的属性是解题关键．
常考点02 集合间的基本关系
【典例1】
1．（2021·山东高三专题练习）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】对两个集合中的元素所具有的性质分别化简，使其都是含有相同的分母表达式，再比较分子可得答案.
【详解】由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数， 所以，即．故选：BD．
【点睛】本题考查两个集合之间的基本关系，要求对集合中的元素所具有的性质能进行化简.
【典例2】
2．（2021·江苏省高三三模）设，则集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由集合的描述写出集合，根据求，进而可求.
【详解】由题意，得，
∵，∴仅当时符合题意，故.故选：C.
【技巧点拨】
1）若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.
2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
【变式演练1】
1．（2021·重庆市高三模拟）集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】解：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．当时，可得，
要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．
【点睛】研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.
【变式演练2】
2．（2021·广东湛江市·高三二模）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则或D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC．
【变式演练3】
3．（2021·陕西西安市·高三模拟）若集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先解方程和，进而得，，进而可得答案.
【详解】因为，所以，即，故；
因为，所以，即，故，所以.故选：C
常考点03 集合的基本运算
【典例1】
1．（2021·新高考真题1卷）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，故选：B .
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
【典例2】
2．（2021·北京高考真题）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用并集的定义可求.
【详解】由题设有=，故选：B .
【点睛】本题考查集合的运算，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.特别注意此题求的是并集，一般集合题考交集较多，希望同学们仔细些。
【技巧点拨】
1）进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2）注意数形结合思想的应用.
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【变式演练1】
1．（2021·全国高考乙卷真题（文））已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.
【详解】由题意可得：，则. 故选：A.
【变式演练2】
2．（2021·江苏高三月考）已知向量集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由交集定义，得出中同一元素满足的两种表示形式，从而建立等量关系，解方程组可得.
【详解】设，则，且，则，
且.
，解得，则.故选：B.
【点睛】与集合中元素有关的题目，首先要确定集合的元素是什么，其次要明确元素满足什么限制条件，最后根据条件列关系式时要注意不同集合中相同字母参数取值的不同.
【变式演练3】
3．（2021·全国高考真题（理）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
常考点04 利用集合的运算求参数
【典例1】
1．（2021·福建厦门市·高三模拟）已知集合、集合，且，则下列结论正确的是（ ）
A．有可能 B． C． D．
【答案】B
【分析】由交集结果和集合中元素的互异性可知.
【详解】，，，
若，由集合中元素互异性知：，；
若，同理可知：，；综上所述：.故选：B.
【典例2】
2．（2021·重庆八中高三模拟）已知集合，集合，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，得，从而可求出的取值范围
【详解】由题知，得，则，故选：A．
【技巧点拨】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
注意：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
【变式演练1】
1．（2021·福建厦门市·高三二模）已知集合，，且有个子集，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解对数不等式可求得集合，由子集个数可确定中元素仅有个，从而得到，由此得到的范围.
【详解】由题意得：，
有个子集，中的元素个数为个；
，，即，或，
即实数的取值范围为.故选：D.
【变式演练2】
2．（2021·海南·高三模拟）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合A，由得到，再分类讨论a的值即可.
【详解】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽略时，集合满足，而错解.
【变式演练3】
3．（2021·江西高三模拟）已知集合，若，则实数（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的定义知无实数解．由此可得的值．
【详解】因为，所以方程组无实数解．所以，．故选：A．
常考点05 集合的新定义问题
【典例1】
1.（2021·河北衡水市·高三模拟）定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】结合非空真子集个数()的算法即可.
【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
【典例2】
2.（2021·浙江绍兴市·高三期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
【详解】由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，故选：D．
【点睛】关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题.
【技巧点拨】
集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
【变式演练1】
1.（2021·湖北省高三模拟）定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.
【详解】∵，，故A正确；
∵定义且，∴，，故B正确；
，故C错误；
，所以，故D正确．故选：ABD．
【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．
【变式演练2】
2.（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x2m－1，解得m