专题08 指数函数与对数函数 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题08 指数函数与对数函数 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共42页。
目录TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc76627277" 常考点01 指、对数的化简求值 PAGEREF _Tc76627277 \h 1
\l "_Tc76627278" 常考点02 指、对数模型在生活中的应用 PAGEREF _Tc76627278 \h 3
\l "_Tc76627279" 常考点03 指、对数函数及图象 PAGEREF _Tc76627279 \h 7
\l "_Tc76627280" 常考点04 利用指、对数函数比较大小 PAGEREF _Tc76627280 \h 10
\l "_Tc76627281" 常考点05 利用指、对数函数解不等式（方程） PAGEREF _Tc76627281 \h 13
\l "_Tc76627282" 常考点06 指、对数函数的综合应用 PAGEREF _Tc76627282 \h 16
\l "_Tc76627283" 易错点01 公式运用不熟练没有得到最终解 PAGEREF _Tc76627283 \h 22
\l "_Tc76627284" 易错点02 使用换元法,使变量范围扩大致误 PAGEREF _Tc76627284 \h 23
\l "_Tc76627285" 易错点03 处理对数函数问题忽略真数大于零 PAGEREF _Tc76627285 \h 24
\l "_Tc76627286" 专项训练 （全卷共22题） PAGEREF _Tc76627286 \h 25
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写
常考点01 指、对数的化简求值
【典例1】（2021·湖南长沙市·高三模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学 C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
【答案】C
【解析】判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】，．∵．∴．
又∵，，∴．∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．故选：C.
【典例2】（2021·浙江高三期末）已知x，y为正实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数和对数的运算法则进行运算即可求得结果.
【详解】A中，，故A不正确；
B中，，故B正确；
C中，，故C不正确；
D中，，故D不正确. 故选：B.
【技巧点拨】
1）根式、指数幂化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．
2）对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：lgaa＝1，lga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
3）对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
【变式演练1】（2021·福建高三模拟）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．3B．7C．D．
【答案】C
【分析】结合已知条件转化为相同的形式，然后构造函数，通过研究函数的单调性可得，进而结合对数的运算即可化简求得结果.
【详解】因为，所以，即，
又因为，即，
构造函数，则恒成立，
故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得，所以，
所以，即，所以，故选：C.
【变式演练2】（2021·江苏南通市·高三模拟）若x，y，z均为正数，且，与最接近的整数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】设，则，，，利用换底公式及对数的运算性质即可求解.
【详解】解：设，所以，，，
.故选：C.
【点睛】本题的解题关键是，设，然后将多变量问题变为单变量问题处理.
【变式演练3】（2020·全国高考真题（文））设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解
【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.
【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
常考点02 指、对数模型在生活中的应用
【典例1】
1．（2020·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【答案】B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，所以天.故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
【典例2】
2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.故选：C.
【技巧点拨】
本类题型的特点是注重知识的应用，特别是指、对数型函数模型的应用，重点掌握指数式与对数式互化，函数与方程思想，数学运算、数学建模等．解题关键是正确进行指数式与对数式的互化．
【变式演练1】（2021·重庆高三模拟）我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度()，其中()是喷流相对速度，()是火箭(除推进剂外)的质量，()是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了900()，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（ ）(参考数据：，)
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出改进前的等式等量关系式，改进后的等是等量关系式，联立即可解出．
【详解】解：设改进前的速度为，则，
，故选：．
【变式演练2】（2021·江苏苏州市·常熟中学高三三模）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：.
参考时间轴：
A．战国B．汉C．唐D．宋
【答案】B
【分析】根据“半衰期”得，进而解方程得，进而可推算其所处朝代.
【详解】由题可知，当时，，故，解得，
所以，所以当时，解方程，
两边取以为底的对数得，解得，
所以，所以可推断该文物属于汉朝.故选：B
【点睛】本题考查指数运算与对数运算，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据半衰期计算得，进而解方程.
【变式演练3】（2021·福建南平市·高三二模）克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献．技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意设，，然后利用对数的性质计算即可得答案
【详解】设，，则，
又，，故选：B．
常考点03 指、对数函数及图象
【典例1】（2021·四川凉山州·高三三模）函数，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】B
【解析】运用代入法进行求解即可.
【详解】由，所以，故选：B
【典例2】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
【技巧点拨】
1）判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．
2）对数函数的解析式同时满足：
①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.
3）对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
4）判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
5） (1)不管a>1还是0