专题25 抛物线 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年）

这是一份专题25 抛物线 常考点归纳与变式演练 作业 高中数学 一轮复习 人教版（2021年），共52页。
专题25 抛物线

目录
常考点01 抛物线的定义及应用 1
常考点02 抛物线的标准方程 3
常考点03 抛物线的几何性质 6
常考点04 直线与抛物线的位置关系 9
常考点05 抛物线中的定值问题 13
常考点06 抛物线中的定点问题 19
常考点07 抛物线中的定直线问题 24
常考点08 抛物线中的最值（范围）问题 31
专项训练 （全卷共22题） 39
专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写

常考点01 抛物线的定义及应用
【典例1】（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A． B． C． D．的坐标为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可.
【详解】由题可知,由，，所以，.
. 故选：AC．
【典例2】（2021·辽宁鞍山·高二期中）已知拋物线的焦点为，定点，设为拋物线上的动点，的最小值为__________，此时点坐标为__________．
【答案】3
【分析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义把问题转化为求的最小值，由图形推断出当，，三点共线时最小，答案可得．
【详解】过点作垂直于准线，过作垂直于准线，，
取到最小值时，且为；点与点的纵坐标相同，可设点为，，
则，解得，所以点，．故答案为： 3；

【技巧点拨】
1.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．
2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．
利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．
“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．
【变式演练1】（2020·全国高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
【变式演练2】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线，焦点为，点为抛物线上的点，且，则的横坐标是_______；作轴于，则_______．
【答案】5
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，
所以，故答案为：5，.
【变式演练3】（2021·深州长江中学）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】依题意，抛物线的准线方程为，而是其焦点，
设，，由抛物线定义得：，
于是得，则线段的中点的纵坐标为，
所以的中点到准线的距离为.故选：C

常考点02 抛物线的标准方程
【典例1】（1）．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））已知抛物线：的焦点为，点在上且满足，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·广西柳州市·柳铁一中高三月考（文））抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PA^l，垂足为A，若直线AF的斜率为-，＝4，则抛物线方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝x C．y2＝8x D．y2＝x
【答案】（1）D（2）A
【解析】（1）由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可知，故选：D
（2）∵直线AF的斜率为，
∵抛物线的定义知，∴△PAF为等边三角形，∴，
∴在Rt△AKF中，，∴抛物线方程为．故选：A

【典例2】（2021·湖南湘潭市·高三）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】设为，得到，，得到，由，联立方程组求得，结合，求得的值，即可求解.
【详解】设为，则，又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．故选：A．
【技巧点拨】
1.求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．
(2)待定系数法
①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．
②当焦点位置不确定时，有两种方法解决：
法一
分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p＞0)和y2＝－2px(p＞0)两种情况求解
法二
设成y2＝mx(m≠0)，若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程
2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【变式演练1】（2021·江苏·海安高级中学高三月考）下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意可知，然后分析判断即可
【详解】由题意知，，故A，D正确，B错误，
又，化简得，其图象与形状相同，所以C正确．故选：ACD．
【变式演练2】（2021·四川内江·高三（理））已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，联立方程组，整理得，
则，可得，由点为的中点，所以
设，因为，可得，
又由点在抛物线上，可得，
即，解得或（舍去），所以抛物线的标准方程为.故选：B.
【变式演练3】（2019·全国高考真题（理））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
所以，解得，故选D．

常考点03 抛物线的几何性质
【典例1】（2021·北京高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______．
【答案】5
【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.
【详解】因为抛物线的方程为，故且.
因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.
【典例2】（2021·全国新高考1卷真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，所以的准线方程为故答案为：.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
【技巧点拨】涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【变式演练1】（2020·全国高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
【变式演练2】（2017·全国高考真题）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
【答案】6
【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，垂足为Q，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为 B．矩形MQPF为正方形 C．点M的坐标为 D．点M到原点O的距离为
【答案】ABD
【分析】各选项根据抛物线的定义和性质可以得出结论.
【详解】由抛物线C：，得其准线l的方程为，A正确；
由抛物线的定义可知，又因为四边形MQPF为矩形，所以四边形MQPF为正方形，B正确；
所以，点M的坐标为，所以，C错误，D正确．故选：ABD．

常考点04 直线与抛物线的位置关系
【典例1】【典例1】（1）（2021·黑龙江实验中学高三）已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
（2）（2021·全国高三开学考试）已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）设，因为中点坐标为，可得，，
因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，
联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，
因为均为抛物线上的点，可得，两式相加得，
即，解得或，
因为，可得或.故选：D.
（2）因为焦点，设直线l的方程为，代入抛物线方程，得．设，，由韦达定理得．因为，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．故选D．
【典例2】（1）（2021·云南师大附中高三月考）已知抛物线，过点且斜率为的直线与交于A，两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·江西高三月考）给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）C
【解析】（1）设直线，由得，设，，则有，又，所以，则，
于是，且k>0，进一步得.故选：B．
（2）直线与抛物线方程联立得：，
因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，
因此有，且，
由，代入中得：
且，解得：，
函数在时单调递减，所以，因此，
所以或故选：C
【技巧点拨】解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|xA|＋|xB|＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.
【变式演练1】（2021·广东高三月考）已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点，且，，成等差数列，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得直线的斜率存在.因为抛物线：的焦点，所以直线的方程可设为，与抛物线方程联立得：，设，
因此，因为，，成等差数列，所以，
于是有，化简得：，而，所以解得：
或（舍去），因为，所以，解得，故选：D
【变式演练2】（2020·海南高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得 所以
解法二： 设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
【变式演练3】（2018·全国高考真题（理））已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
【答案】2
【分析】利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】详解：设则
所以所以
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴
因为M(-1,1)所以，则即故答案为2.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率．

常考点05 抛物线中的定值问题
【典例1】（2021·广西南宁·模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．（1）求直线l的方程；（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设直线l的方程为：，联立方程，利用韦达定理可得结果；
（2）设，借助韦达定理表示，即可得到结果.
【详解】（1）由已知可设直线l的方程为：，联立方程组可得，
设，则．
又因为，得，故直线l的方程为：即为；
（2）由题意可设，可设过P的直线为．
联立方程组可得，显然．设，则．
所以
．所以始终被x轴平分．
【典例2】（2021·重庆南开中学高三月考）已知抛物线的焦点为．点在上， ．（1）求;（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；（2）是定值，.
【分析】（1）由题知 ①，由焦半径公式得 ②，两式联立即可求得答案；
（2）先讨论当直线与轴平行时得，再讨论当直线与轴不平行且斜率存在时，证明，再设方程，联立方程，利用向量方法求即可.
【详解】解：（1）因为点在上，所以 ①，
因为，所以由焦半径公式得 ②，由①②解得 所以.
（2）由（1）知抛物线的方程为，焦点坐标为，
当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故.
当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.
要证明，只需证明，只需证，即，
设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，
联立方程得，设，
则，所以，，
联立方程得，所以，
所以，
所以，即，所以.
综上，为定值，.
【技巧点拨】
1.圆锥曲线中定值问题的特征
圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

3.两种解题思路
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：其解题流程为：

【变式演练1】（2021·河南·高三月考）已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.（1）求；（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
【答案】（1）2；（2）的值为定值.
【分析】（1）根据圆上的点与定点之间距离的最大值等于圆心与定点的距离加半径得到等量关系，从而解方程即可求出结果；（2）联立直线的方程与抛物线，结合韦达定理化简整理即可求出结果.
【详解】解：（1）由题得，圆的圆心，
抛物线的焦点为，，
所以与圆上点的距离的最大值为，解得.
（2）设，， 由得，
所以，且，，，，
所以.所以的值为定值.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【变式演练2】（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.

（1）求抛物线的方程；（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
【答案】（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.
【分析】（1）联立直线与抛物线方程求出，两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；
（2）设直线，，，联立直线与抛物线方程联立可得，，设，，射线：与椭圆方程联立可得，同理可得，，计算即可求解；（3）设，，令可得：，同理可得，两式相乘整理，再讨论点在不在直线上，即可得定值.
【详解】（1）设，，由可得，
所以，，所以，，
所以，因为，所以，所以抛物线的方程为；
（2）椭圆的右顶点为，设直线，，，
将代入可得：，所以，，
假设存在，设，，射线： ，
由 可得：，同理可得，
，，所以 ，
所以
，
所以，所以不存在直线，使；
（3）设，则，令可得：①，
同理可得：②，两式相乘可得


即，
所以，即，
当点不在直线上时，，所以，
当点在直线上时，，所以，综上所述：是定值，且定值为.
【点睛】解决圆锥曲线中的定值与定点问题的方法有两种：
一种是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，难度较大，运算量大，且思路不好寻找，另一种方法是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.
【变式演练3】（2021·广东·高三月考）已知焦点为F的抛物线经过圆的圆心，点E是抛物线C与圆D在第一象限的一个公共点，且．
（1）分别求p与r的值；（2）直线交C于A，B两点，点G与点A关于x轴对称，直线分别与直线交于点M，N（O为坐标原点），求证：．
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【分析】（1）将代入，可得的值；由抛物线的定义可求得点的坐标，将其代入圆的方程，可得的值；（2）设，，，，表示出点，的坐标，利用分析法，可将原问题转化为证明，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，即可得证．
【详解】解：（1）由已知得抛物线C过点，所以，所以． 即抛物线C的方程为．
设点，则，所以， 于是得，即，
将点E的坐标代入圆D的方程，得，所以．
（2）设，则），显然，均不为0．
联立消去y，得．
由题意得，且，即，则①，②．
因为，所以直线的方程为，故．直线的方程为，故．
若要证明，即证，只需证，即证，
即证． 将代入上式，即证，
即证③， 将①②代入③，得，此等式显然成立．
所以恒成立，故 |，即．
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，借助分析法，将问题进行转化是解题的关键，考查推理能力和运算能力，属于难题．

常考点06 抛物线中的定点问题
【典例1】（2019年高考北京理）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.
【解析】（1）由抛物线经过点，得.
所以抛物线的方程为，其准线方程为.
（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.
由得.设，则.
直线的方程为.令，得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.
设点，则，
.
令，即，则或.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.
【典例2】（2021·河南·高三月考）已知过点的动圆与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；（2）过点的直线交于点，，过点且斜率为的直线与交于异于，的一点，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线定义即可求出的方程（2）设，，，分别联立方程得到直线的方程、直线的方程和直线的方程，进而利用韦达定理消参即可求出直线所过定点
【详解】解：由题意可知，上的点到的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义，为焦点在轴上的抛物线，设的方程为，则，即，故的方程为.
（2）证明：设，，，因为，，在抛物线上，
所以，，，
当时，，直线的斜率，
直线的方程为，整理得，
当时，，方程为，所以，也符合上式，
故直线的方程为，①
同理，直线的方程为，②
直线的方程为.③
因为直线过点，所以，
因为，在抛物线上，所以，，④
直线的斜率，所以，即，⑤
由④⑤，得，得，⑥
⑥代入③，得直线的方程为，
即，该直线过定点.
【点睛】解题关键在于：联立方程，分别求出直线的方程、直线的方程和直线的方程，并利用韦达定理进行消参求解，属于中档题
【技巧点拨】
1.圆锥曲线中定点问题的求解策略
圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清．
2.圆锥曲线中定点问题的两种解法

【变式演练1】（2021·安徽·六安一中高二期中）已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点且的面积为（其中为坐标原点），不过点的直线与抛物线交于，两点，且以为直径的圆经过点．（1）求抛物线的方程；（2）求证直线恒过定点．
【答案】（1）;（2）证明见解析
【分析】（1）解：由点是抛物线上一点，可得，结合的面积为，列出方程求得的值，即可求解；（2）设直线：，联立方程组求得，，根据以为直径的圆经过点，得到，结合向量的数量积的运算公式，列出方程求得和，进而得到结论.
（1）解：由题意，抛物线：的焦点为，
点是抛物线上一点，可得，
又由的面积为，可得，解得，所以抛物线的方程为.
（2）解：设，，直线：，
联立方程组，消去得，则，且，，
所以，, 因为以为直径的圆经过点，可得，
所以
解得或，
当时，：恒过（不满足题意，舍去）；
当时，：恒过,所以直线恒过定点.
【变式演练2】（2021·广东福田·高三月考）已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．
【答案】（1），（2）证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求出值，进而求出点P的坐标及抛物线C的方程；（2）设出直线的方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、得到关于、的等式，再利用点斜式证明直线过定点.
（1）解：抛物线的焦点，准线为，
因为点到其焦点的距离为2，所以，解得，所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，解得，所以，
综上，P点坐标为，抛物线的方程为．
（2）证明：设直线MN的方程为，，，
联立，得，所以，，所以，
同理可得，因，所以，
所以，所以，即（满足），
直线MN的方程为，所以直线MN过定点．
【变式演练3】（2021·江苏省如皋中学高三月考）己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由抛物线方程化为并求导，根据切线斜率求参数p，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设直线、为、，令、、、，联立抛物线方程并结合韦达定理求，，，，进而求AB、EF中点、N坐标，进而可得直线方程，即可确定是否过定点.
【详解】（1）由可化为，则.
当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，
∴，即，∴抛物线C的标准方程为.
（2）由（1）知：点T坐标为(0,2)，由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，
由，联立消去y并整理得，，
设，，则，，
∴，又M为AB中点，则，
∵，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，
∴，，则∴，
∴直线MN为，整理得，
∴直线MN恒过定点(0,4).

常考点07 抛物线中的定直线问题
【典例1】（2021·河南省·三模）已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于，两点．过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，若直线与抛物线的准线交于第四象限的点，且，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设出直线方程带入抛物线方程，可得，结合韦达定理，利用弦长公式即可得解；（2）根据题意设直线的方程为.代入抛物线的方程，得，利用韦达定理结合导数求出切线方程，结合所给条件带入即可得解.
【详解】（1）由抛物线的方程可得焦点，
由题意可得直线的方程为：，即，
设，，联立直线与抛物线的方程：，
整理可得 ，
由抛物线的性质可得，解得，所以抛物线的方程为：
（2）易知直线的斜率存在且不为零，又由（1）知
故可设直线的方程为.代入抛物线的方程，得
设，，则，，，
∴，由抛物线得，则，
所以抛物线在，两点处的切线的斜率分别为，，
故两切线的方程分别为，，
解得两切线的交点为，即，
又准线的方程为，由，得则，
又，得，得，
因为直线与准线交于第四象限的点，故有，
从而直线的方程为，，即．
【点睛】本题考查了利用韦达定理解决圆锥曲线问题，考查了弦长公式以及利用导数求切线方程，计算量较大，属于难题.本题关键有：（1）充分理解并利用韦达定理解圆锥曲线问题，韦达定理是结合各个变量之间关系的桥梁；（2）弦长公式的熟练应用；（3）利用导数求切线方程是求开口向上或向下的抛物线的切线方程的重要方法.
【典例2】（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，交轴于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，如图．

（1）若（为坐标原点），求的值；（2）过作直线的垂线交于点．记，的面积分别为．若，求直线的方程．
【答案】（1）4；（2）.
【分析】（1）设直线为，设，则，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系得，而由可得，从而可求出的值；（2）由（1）可得，直线，从而可求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出的面积，再结合图形表示出，再由列方程可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程
【详解】（1）设直线为，设，则，
由，得，则，
因为，所以（舍）或4．．
（2）由（1）（*） ． ．
，令
．①
由几何关系知．． 不妨设．

又 将（*）代入．②

由①②：
又过点．代入．
仅有一个解．．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考要点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，解题的关键是结合先求出的面积，再结合图形表示出，再由列方程可求出直线的斜率，属于中档题
【技巧点拨】
【变式演练1】（2021·浙江丽水·高三月考）如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，以AB为直径的圆交x轴于M，N，且当轴时，．
（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AN，AM分别交抛物线C于G，H（不同于A），直线AB交GH于点P，且直线AB的斜率大于0，证明：存在唯一这样的直线AB使得B，H，P，M四点共圆．

【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）当轴时得，点坐标及圆的方程，即可得答案；
（2）设点，，，，直线与抛物线方程联立、，和，圆的方程并令，得，，即B，H，P，M四点共圆等价于，再证明存在唯一直线AB满足可得答案.
【详解】（1）当轴时，，故圆的方程为，
即，得，故抛物线C的方程为；
（2）设点，，，，直线，联立
得：，，，，所以，
∴，故圆心，半径，
即圆的方程为，令，则，
化简得：，，，
若B，H，P，M四点共圆，则，即B，H，P，M四点共圆等价于，
下证：存在唯一直线AB满足，设，，
直线和直线，
联立，得：，
所以，，同理，，
∴，
又∵，，∴，
又，得，所以，即，，
设，，，故在单调递减，单调递增，
又∵，，且，故存在唯一满足，
即存在唯一，满足，综上结论得证．

【点睛】本题考查了抛物线、圆的几何性质，解题的关键点是证明B，H，P，M四点共圆和证明存在唯一直线AB满足，考查了学生分析问题、解决问题及推理能力.
【变式演练2】（2021·全国·高三专题练习）已知，是抛物线：上不同两点.（1）若抛物线的焦点为，为的中点，且，求抛物线的方程；
（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，：
【分析】(1)根据抛物线的定义求解即可.(2) 设：,联立直线与抛物线的方程,再转换可得,进而利用点坐标与韦达定理代入化简求解即可.
【详解】解：（1）由抛物线的定义得,∴,
∴所求抛物线方程为.
（2）由题意得的斜率存在设：,
,∴,,
∴,∴,,作轴,轴,垂足为,,
∵,∴,∴,
∴.
∴,∴,∴存在直线：符合题意.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义运用,同时也考查了联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理表达弦长进行化简求解的问题.属于中档题.
【变式演练3】（2021·全国·高三专题练习）已知曲线G上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（1）求曲线G的方程.（2）是否存在过F的直线l，使得l与曲线G相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A'，且△A'BF的面积等于4？若存在，求出此时直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在；直线l的方程为
【分析】（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，判断曲线G是以为焦点，直线为准线的抛物线，求出曲线G的方程.（2）设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立，消去x，设，通过韦达定理以及三角形的面积，转化求解m即可.
【详解】解：（1）设S（x，y）为曲线G上任意一点，
依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线G是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线G的方程为.
（2）设直线l的方程为，与抛物线C的方程联立，得，消去x，得，
设，则
，解得，
所以存在直线l使得△A'BF的面积等于4，此时直线l的方程为.
【点睛】本题考查抛物线标准方程及定义、抛物线中的面积问题和直线方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.

常考点08 抛物线中的最值（范围）问题
【典例1】（2021·全国高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；
（2）设，则，所以，
由在抛物线上可得，即，
所以直线的斜率，当时，；当时，，
当时，因为，此时，
当且仅当，即时，等号成立； 当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
【易错提醒】直线和抛物线有一个交点有两种情况：相切以及平行于对称轴．
【典例2】（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．（1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值；
（2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以点、的坐标满足方程，所以直线的方程为，
联立，可得，由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【技巧点拨】
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
【变式演练1】（2021·浙江高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.

【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出的值后可求抛物线的方程.
（2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围.
【详解】（1）因为，故，故抛物线的方程为：.
（2）设，，，
所以直线，由题设可得且.
由可得，故，
因为，故，故.
又，由可得，
同理，由可得，
所以，
整理得到，
故，
令，则且，故，
故即，解得或或.
故直线在轴上的截距的范围为或或.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.
【变式演练2】（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，， .
由即

，
所以，，，所以，的最大值为，此时.
法2：设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.
【变式演练3】（2019·浙江高考真题）如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.（1）求的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点的坐标.

【答案】（1）2，；（2），.
【分析】(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可；
(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得的最小值和点G的坐标.
【详解】(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，
，
设点C的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则.即，
由斜率公式可得：，直线AC的方程为：，
令可得：，
故，
且，
由于，代入上式可得：，
由可得，则，
则
.当且仅当，即，时等号成立.此时，，则点G的坐标为.
【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

专项训练 （全卷共22题）
满分：150分 完成时间：120分钟
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021·云南高三（理））已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，，解得，
当时，直线方程为，，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，综上所述，抛物线方程为，故选：C.
2.（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
3．（2021·湖南湘潭市·高三）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】设为，则，又由，所以，
因为，所以，可得，
由，联立方程组，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程为或．故选：A．
4.（2021·云南玉溪·高三月考）已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，，则弦中点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图，由题意可得抛物线的准线的方程为，过点作抛物线准线的垂线于，过分别作于点，于点，则，
因为弦的中点为，所以，所以点的横坐标是，故选：C

5．（2021·河南高三（文））抛物线：的焦点为，过点且平行于轴的直线与线段的中垂线交于点，若点在抛物线上，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【解析】若点在抛物线外部，如下图，设线段的中点为，
因为线段的中垂线是，所以，
由抛物线定义，又等于点到准线的距离，而图中，
所以点不在抛物线外部；

若点在抛物线内部，如下图，设线段的中点为，，，
因为线段的中垂线是，所以，再由抛物线定义得，解得或，
所以时，，时，，故选：A.
6.（2017·全国高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.
7．（2018·全国高考真题（理））设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，所以，
从而可以求得，故选D.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
8.（2021·江苏如皋·高二月考）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若，，三点共线，则
C．若直线与的斜率之积为，则直线过点
D．若，则的中点到轴距离的最小值为2
【答案】A
【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；
设直线的方程为，联立方程组，可得，
所以，所以，
所以，故B正确；设直线的方程为，
联立方程组，可得，所以，
所以，
因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，
所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；
因为，
所以，所以，因为，
所以的中点到轴的距离：
，当且仅当时等号成立，
所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，综上所述，不正确命题为A.故选：A.
二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）

A．准线方程为 B．焦点坐标 C．点的坐标为 D．的长为3
【答案】BC
【分析】由抛物线方程判断AB，先求出A点坐标再求P点坐标，从而求出的长，进而可判断CD.
【详解】由抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，直线的方程为，
当时，，，
，为垂足，点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.故选:BC.
10．（2021·广东·高三专题练习）设抛物线的焦点为，则下列说法正确的是（ ）
A．点在轴上
B．点的坐标为
C．设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则
D．设过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则
【答案】ACD
【分析】A、B.将抛物线的方程转化为标准方程判断；C.设过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，然后利用抛物线的弦长公式求解判断；D.设过点且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，求得M，N的坐标，然后利用平面向量的数量积运算求解判断.
【详解】由题可得抛物线的标准方程为，所以点在轴上，且点的坐标为，所以选项A正确，选项B不正确；过点且斜率为的直线方程为，将代入，消去可得，设，，则，所以，选项C正确；
过点且斜率为的直线方程为，将代入，消去可得，解得或，不妨设，则，所以，选项D正确．故选：ACD．
11．（2021·河北沧州·三模）已知斜率为的直线过抛物线：()的焦点，且与抛物线交于，两点，抛物线的准线上一点，满足，则（ ）
A． B． C． D．的面积为
【答案】ABD
【分析】对于A，由题意可得抛物线的准线为，从而可求得，进而可判断A；对于B，抛物线的方程为，其焦点为，则直线的方程为，设，，设的中点为，利用点差法可得，则，再结合可得在以为直径的圆上，从而可求出直线的斜率；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用点到直线的距离求出点到直线的距离，从而可求出的面积
【详解】由题意知，抛物线的准线为，即，得，故选项A正确.
因为，所以抛物线的方程为，其焦点为.
因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为.
因为，所以在以为直径的圆上.
设点，，联立方程组两式相减可得.
设的中点为，则.因为点在直线上，所以，
所以点是以为直径的圆的圆心.
由抛物线的定义知，圆的半径.，
因为，所以，解得，故选项B正确.
因为，所以弦长，故选项C不正确.
因为，所以直线为，由点到直线的距离公式可得，
点到直线的距离，所以，故选项D正确.故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力，解题的关键是由题意求出抛物线的方程，然后利用抛物线的性质求解即可，属于中档题
12．（2021·广东广雅中学高三月考）已知O为坐标原点，是抛物线上两点，F为其焦点，若F到准线的距离为2，则下列说法正确的有（ ）
A．周长的最小值为
B．若，则最小值为4
C．若直线过点F，则直线的斜率之积恒为
D．若外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为
【答案】BD
【分析】根据F到准线的距离为2，求出，可得焦点和准线方程，利用抛物线的定义可求出周长的最小值为，故A不正确；利用抛物线的定义将弦长转化为弦的中点到准线的距离可得最小值为4。故B正确；设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，计算可知C不正确；利用外接圆与抛物线C的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积为，故D正确.
【详解】因为F到准线的距离为2，所以，所以抛物线，，，准线，对于A，过作，垂足为，则，
所以周长的最小值为，故A不正确；

对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，则，即最小值为4，故B正确；

对于C，若直线过点F，设直线，联立，消去得，
设、，则，，所以，故C不正确；
对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，
因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，
所以该圆面积为，故D正确.故选：BD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·新疆乌鲁木齐·乌市一中月考）动圆经过点，且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程是____________.
【答案】
【解析】设动点，设与直线的切点为，则，
即动点到定点和定直线的距离相等，
所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
14．（2021·肥城市教学研究中心高三）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为___________.
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，所以焦点，准线.
设，直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，所以.
又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设，可得，因为，
所以，得到，所以.
因为，所以，解之得，
所以，直线方程为，即.故答案为：.
15．（2021·四川高三（理））已知AB，CD是过抛物线焦点F且互相垂直的两弦，则的值为__________.
【答案】
【解析】由题设，直线、的斜率一定存在，
设为，，，联立抛物线方程，可得且，
∴，，而，，
∴，
由，设为，，，联立抛物线，可得，
同理有，，∴，
综上，.故答案为：.
16.（2021·山东高三）已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为，则______；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为、，则______.
【答案】
【分析】利用抛物线的定义可求得的值，再将点的坐标代入抛物线的方程，结合可求得的值；设点、的坐标分别为、，求出切点弦所在直线方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦半径公式可求得的值.
【详解】由抛物线的定义得，解得，所以抛物线的方程为，
将代入抛物线的方程可得，因为，可得.
易知点不在抛物线上，设点、的坐标分别为、.
又，所以抛物线在点处的切线方程为，即，
将点的坐标代入直线方程，可得，同理可得，
因为点、的坐标满足方程，故直线的方程为.
将代入，整理得，
则，所以，，
故.故答案为：；.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（2017·全国高考真题）设、为曲线：上两点，与的横坐标之和为．（1）求直线的斜率；（2）为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设，，则，，，，
于是直线AB的斜率；
（2）由，得.设，由题设知，解得，于是.
设直线的方程为，故线段的中点为，.
将代入得. 当，即时，.
从而. 由题设知，即，解得.
所以直线的方程为.
18．（2021·江苏海安·模拟预测）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；（2）若，求证：的垂心在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）先求出直线的方程，由此求得，，进而可得；
（2）设垂心，由可得，进而可证得结果.
【详解】（1）设，，由得，所以，所以直线的斜率为.
∴直线的方程为，整理得①
同理可得的方程为② ∵，均过，

∴∴直线既过，也过，
∴直线的方程为：
设与轴交于点，则，所以，
在①式中令，∴，同理
∴，∴.
（2）仿照（1）知方程为，，，，，
由∴.
∵为的垂心设，，，
由∴
∴，故的垂心在定直线上.
【点睛】第（1）问的关键点是：根据条件求得直线的方程为：；
第（2）问的关键点是：设垂心，根据条件求得.
19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线，点.过点Q的直线交抛物线于点A，B，AP，BP分别交抛物线于点C，D，连接AD，DC，CB.
（1）若直线AB，CD的斜率分别为，，求的值；
（2）过点P与x轴垂直的直线分别交AD，BC于点E，F，求证：
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设，利用直线与抛物线相交，结合韦达定理直接求，化简即可求解;（2）利用直线与抛物线的关系，由题意分别计算，根据二者关系即可求出
【详解】（1）设，直线的方程为，
所以.
联立得所以同理
由题意得直线的方程为联立得
所以从而，
所以
（2）证法由题意得直线的方程为.设直线的斜率为，则，
所以直线的方程为.令，则.
同理.所以,
故PE=PF
证法2：设.
因为，三点共线，所以，
即，所以因为.
所以
同理.所以，从而
20．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学）阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线恒过定点.
【解析】（1）椭圆的面积等于，，
，椭圆的焦距为，，，椭圆方程为
（2）设直线，，则，，三点共线，得，
直线与椭圆交于两点,,，，由，得，
，，代入中，
，，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线,所以直线恒过定点.
21．（2021·甘肃靖远·高三开学考试（理））已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线与E相切．（1）求E的方程；（2）设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A，B，直线AB的斜率存在，且直线PA，PB与y轴分别交于C，D两点．
①证明：．②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②定值为1，理由见解析.
【分析】（1）设出抛物线方程，与直线联立，利用即可求出；
（2）①设出与抛物线相切的直线方程，与抛物线联立，利用得出斜率关系即可证明；
②通过斜率关系可得出，即可说明，得出定值.
【详解】（1）由题设抛物线方程为，联立方程组可得，
直线与抛物线相切，，解得，抛物线方程为；
（2）①设，
设过点且与抛物线相切的直线斜率为，则直线方程为，
联立方程可得，则，即，
由题意可知直线和的斜率是方程的两根，所以，所以；
②设，不妨设，
设直线和的倾斜角分别为，直线的倾斜角为且斜率为，
则，由①可知，则，
，，
所以，
则，则，
又，则，所以，则为定值.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.
22.（2021·上海市控江中学高三开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；（2）设为上的动点，求的取值范围；（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.
【分析】（1）设，由已知并结合向量数量的坐标表示易得，再设为联立抛物线，应用韦达定理有，求得，即可证结论.
（2）设并求，关于参数a的表达式，由目标式化简，应用换元法并结合二次函数的性质求范围.（3）由（1），用参数k表示、到的距离、，由、可得关于k的函数，应用判别式法求值域，进而可得最小值.
【详解】（1）令，则，
由知：，又，，∴，则，
设直线为，联立抛物线方程整理得：，则，
∴，故直线为，即直线过定点.
（2）设，则， ，
∴，令，
∴且，∴当时，；当时，.
∴.
（3）由（1），直线为， 联立抛物线整理得：，
∴，，有，由在第一象限，则，即，
∴，可得.
，又到的距离，
∴，而，∴，
∴，整理得，
∴，即，又，得：.∴的最小值为.