中考数学一轮复习《函数及其图像》知识要点及专题练习

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：函数及其图象（含答案）

一、知识要点：

1、坐标与象限

定义1：我们把有顺序的两个数a与b所组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。

定义2：平面直角坐标系即在平面内画互相垂直，原点重合的两条数轴。水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向。两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限。

2、函数与图象

定义1：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。

定义2：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

定义3：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

定义4：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。

表示函数的方法：解析式法、列表法和图象法。解析式法可以明显地表示对应规律；列表法直接给出部分函数值；图象法能直观地表示变化趋势。

画函数图象的方法——描点法：

第1步，列表。表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；

第2步，描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标、相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；

第3步，连线。按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。

二、课标要求：

1、结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。

2、理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。

3、在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置(参见例65)。

4、对给定的正方形，会选择合适的直角坐标系写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。

5、在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置

6、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

7、结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。

8、能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

9、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。

10、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。

11、结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

三、常见考点：

1、坐标系中点与坐标的对应关系，根据坐标所处象限确定相应字母的取值范围。

2、指出一个变化过程中的变量、常量、自变量、函数等，能找出自变量的取值范围。

3、根据问题列出函数解析式或画出对应的函数图象。

4、根据函数图象回答问题。

四、专题训练：

1．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（　　）

A．± B．4 C．±或4 D．4或﹣

2．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2

3．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠0 B．x≥2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2且x≠0

4．如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（h）与时间（t）之间对应关系的大致图象是（　　）

A．B．C．D．

5．从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示，则对应容器的形状为（　　）

A． B． C． D．

6．第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢．结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是（　　）

A． B． 

C． D．

7．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中错误的是（　　）

A．小明吃早餐用时5分钟 

B．小华到学校的平均速度是240米/分 

C．小明跑步的平均速度是100米/分 

D．小华到学校的时间是7：55

8．同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数表达式是y＝x+32．若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为　   　℃．

9．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　   　．

10．函数y＝中自变量x的取值范围是　   　

11．若a0+a1x+a2x2+a3x3＝（1+x）3，则a1+a2+a3＝　   　．

12．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需　   　分钟到达终点B．

13．已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为　   　．

14．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是　   　米/分钟．

15．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为　   　．

16．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，直线l⊥AB．当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x，线段EF的长为y，且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABCD的周长是　   　．

17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点D从点B出发，沿边BA→AC以2cm/s的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC，交边AC（或AB）于点E．设点D的运动时间为t（s），△CDE的面积为S（cm2）．

（1）当点D与点A重合时，求t的值；

（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

18．看图说故事．

请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：

（1）指出变量x和y的含义；

（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．

19．如图是小陈同学骑自行车上学的路程与时间的关系图，请你根据图象描述他上学路上的情况．

20．下图表示长沙市2003年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图回答下列问题：

（1）这天的最高气温是　   　℃；

（2）这天共有　   　个小时的气温在31℃以上；

（3）这天在　   　（时间）范围内温度在上升；

（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？答：　   　．

21．如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形DOABC的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．

参考答案

1．解：把y＝8代入函数，

先代入上边的方程得x＝，

∵x≤2，x＝不合题意舍去，故x＝﹣；

再代入下边的方程x＝4，

∵x＞2，故x＝4，

综上，x的值为4或﹣．

故选：D．

2．解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，

解得x≥1且x≠2．

故选：C．

3．解：由题意得，x﹣2≥0且x≠0，

∴x≥2．

故选：B．

4．解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快．

表现出的函数图形为先缓，后陡．

故选：D．

5．解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器．

故选：C．

6．解：由于乌龟比兔子早出发，而早到终点；

故B选项正确；

故选：B．

7．解：A、小明吃早餐用时13﹣8＝5分钟，此选项正确；

B、小华到学校的平均速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项正确；

C、小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项正确；

D、小华到学校的时间是7：53，此选项错误；

故选：D．

8．解：根据题意得x+32＝x，

解得x＝﹣40．

故答案是：﹣40．

9．解：由题意得，1+x≥0且x+2≠0，

解得x≥﹣1且x≠﹣2，

所以，x≥﹣1．

故答案为：x≥﹣1．

10．解：根据题意得：x+1≥0且x≠0，

解得x≥﹣1且x≠0．

故答案为x≥﹣1且x≠0．

11．解：令x＝1，则a0+a1+a2+a3＝（1+1）3＝8①，

令x＝0，则a0＝（1+0）3＝1②，

①﹣②得，a1+a2+a3＝8﹣1＝7．

故答案为：7．

12．解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，

甲的速度是1÷6＝千米/分钟，

由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，

设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得

10x+16×＝16，

解得x＝千米/分钟，

相遇后乙到达A站还需（16×）÷＝2分钟，

相遇后甲到达B站还需（10×）÷＝80分钟，

当乙到达终点A时，甲还需80﹣2＝78分钟到达终点B，

故答案为：78．

13．解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，

由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，

所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；

故答案为9：20．

14．解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，

则他步行回家的平均速度是：1600÷20＝80（米/分钟），

故答案为：80．

15．解：如图，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC，则四边形ABA′C为菱形，菱形的对角线交于点O，

由图②知，当点P与点B重合时，

y＝PA+PE＝AB+BE＝ABAB＝3，解得：AB＝2，即：菱形的边长为2，

则该菱形的高为AB＝3，

点A关于BC的对称点为点A′，连接A′E交BC于点P，此时y最小，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

则∠BAA′＝60°，故△AA′B为等边三角形，

∵E是AB的中点，故A′E⊥AB，

而AB∥A′C，故∠PA′C为直角，A′C＝AB＝2，

则PC＝＝＝4，

此时b＝PC，a＝A′E＝3（菱形的高），

则a+b＝3+4＝7．

故答案为7．

16．解：∵∠B＝30°，直线l⊥AB，

∴BE＝2EF，

由图可得，

AB＝4cos30°＝4×＝2，

BC＝5，

AD＝7﹣4＝3，

由图象可得，

AN＝5﹣4＝1，ND＝CM＝7﹣5＝2，DM＝2，

∵∠B＝30°，EF⊥AB，

∴∠M＝60°，

又∵DM＝MC＝2，

∴△DMC是等边三角形，

∴DC＝DM＝2，

∴四边形ABCD的周长是：AB+BC+AD+CD＝2+5+3+2＝10+2，

故答案为：10+2．

17．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴AB＝＝＝10（cm），

当点D与点A重合时，BD＝AB＝10cm，

∴t＝＝5（s）；

（2）当0＜t＜5时，（D在AB上），

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

＝＝，

∴，

∴＝＝，

解得：DE＝，CD＝t，

∵DE∥BC，∠ACB＝90°，

∴∠CED＝90°，

∴S＝DE•CD＝×t＝﹣t2+t；

当t＝5时，点D与点A重合，△CDE不存在；

如图2，当5＜t＜8时，（D在AC上），

则AD＝2t﹣10，

∴CD＝16﹣2t，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴＝＝，

∴＝，

∴DE＝，

∴S＝DE•CD＝×（16﹣2t）＝﹣t2+t﹣，

综上所述，S关于t的函数解析式为S＝．

18．解：本题答案不唯一，下列解法供参考．

（1）该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系；

（2）小明以0.4km/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以0.5km/min的速度匀速骑车回出发地．

19．解：前3分钟匀速前进了500米，自行车没气了，打气花了2分，继续匀速前进，用5分钟走到学校．

20．解：（1）由图可知这天的最高气温15时时是36℃；

（2）气温在31℃以上的是从12时到21时，21﹣12＝9个小时；

（3）由图可知这天在3﹣15（时间）范围内温度在上升3度；

（4）次日凌晨1点的气温大约是25℃．

21．解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），

由图2知，DO+OA＝6cm，则DO＝6﹣AO＝6﹣a，

由图2知S△AOD＝4，

∴DO•AO＝a（6﹣a）＝4，

整理得：a2﹣6a+8＝0，

解得a＝2或a＝4，

由图2知，DO＞3，

∴AO＜3，

∴a＝2，

∴A的坐标为（2，0），

D点坐标为（0，4），

在图1中，延长CB交x轴于M，

由图2，知AB＝5cm，CB＝1cm，

∴MB＝3，

∴AM＝＝4．

∴OM＝6，

∴B点坐标为（6，3）；

（2）因为P在OA、BC、CD上时，直线PD都不能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，

所以只有点P一定在AB上时，才能将五边形OABCD分成面积相等的两部分，

设点P（x，y），连PC、PO，则

S四边形DPBC＝S△DPC+S△PBC＝S五边形OABCD＝（S矩形OMCD﹣S△ABM）＝9，

∴6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）＝9，

即x+6y＝12，

同理，由S四边形DPAO＝9可得2x+y＝9，

由，

解得x＝，y＝．

∴P（，），

设直线PD的函数关系式为y＝kx+4（k≠0），

则＝k+4，

∴k＝﹣，

∴直线PD的函数关系式为y＝﹣x+4．