中考数学一轮复习《相似三角形》知识要点及专题练习

这是一份中考数学一轮复习《相似三角形》知识要点及专题练习，共26页。试卷主要包含了知识要点，课标要求，常见考点，专题训练等内容，欢迎下载使用。

中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：相似三角形（含答案）
一、知识要点：
1、相似多边形
定义1：形状相同的图形叫做相似图形。
定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
3、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
二、课标要求：
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2、通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
3、掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4、了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
5、了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
6、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
7、会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
8、在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。
三、常见考点：
1、比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。
2、相似多边形的性质。3、相似三角形的性质及判定。
4、相似三角形的性质和判定在几何问题中的综合运用。5、位似图形及坐标的位似。
四、专题训练：
1．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（　　）A．12 B．12或24 C．27 D．12或27
2．如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的中点，若∠ABD＝∠ACB，则的值是（　　）

A． B． C． D．
3．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（　　）
A．顶角为30°的等腰三角形 B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形 D．顶角为75°的等腰三角形
4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（　　）

A．3 B．2 C．5 D．
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝2：3，EF＝6，则DE的长是（　　）

A．8 B．9 C．4 D．10
7．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）

A．△BFE B．△AFD C．△ACE D．△BAE

9．如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限，以点A（0，1）为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△ADE的位似比为1：2．若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（　　）

A． B．2m+3 C．﹣（2m+3） D．﹣2m+3
10．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝8，AC＝6，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（　　）

A． B．3 C． D．
11．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝　 　．

12．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为　 　米．


13．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝　 　．


14．如图，△ABC≌△DEF，AB＝AC＝5，BC＝EF＝6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是　 　．

15．已知（x，y，z均不为零），则＝　 　．
16．如图，二次函数y＝﹣2的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，若△CPN与△BPM相似，则点P的坐标为　 　．

17．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得△ADE∽△ACB，则AE的长为　 　．


18．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝3，则EC的长为　 　．


19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为　 　；AF的长为　 　．

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形　 　．

21．如图，在△ABC中，点D是AB上一点（不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接CD，若∠ACD＝∠B．
（1）求证：CD2＝DE•BC；
（2）若DE＝3，BC＝4，求的值．

22．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．
（1）求证：AB•CQ＝PB•PC；
（2）当CQ最大时，求BP的长．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B．
（1）找出图中与△BDE相似的三角形，并说明理由；
（2）是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由．



24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C在AB的延长线上．
（1）求证：△CAD∽△CDB；
（2）若∠C＝30°，AC＝9，求△DBC的面积．




25．如图，已知等边△ABC的边长为8，点M、N分别在AB、AC边上，CN＝3．
（1）把△ABC沿MN折叠，使得点A的对应点是点A′落在AB边上（如图1），求折痕MN的长度；
（2）如图2，若点P在BC上运动，且始终保持∠MPN＝60°．
①请判断△MBP和△PCN是否相似？并说明理由；
②当点P在何位置时线段BM长度最大，并求出线段BM长度的最大值．


26．如图1，已知△ABC、△DBE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEB＝90°，BC＝2，E为BC的中点，将△DEB绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜360°），如图2，连接AD，CE．
（1）求证：△ADB∽△CEB．
（2）当α＝60°时，求AD的值．
（3）当A、D、E三点在同一直线上时，求CE的长．






27．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，CD＝BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AE＝3，sin∠EAF＝，求⊙O的半径．


参考答案
1．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为18，设另一三角形周长为x，
∴18：x＝2：3或x：18＝2：3，
解得：x＝12或27，
∴另一个三角形的周长是12或27，故选：D．
2．解：∵M、N分别是BD、BC的中点，
∴AM，AN分别是△ABD，△ABC的中线，
∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝2，
∴，故选：C．
3．解：∵等腰△ABC的底角为75°，
∴等腰△ABC的三角分别为30°，75°，75°，
∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形，故选：A．
4．解：过点F作FG∥AB，交BC延长线于点G，
则△BED∽△GEF，
∴＝＝，即FG＝2BD，
∵AD＝3BD，
∴AB＝4BD，
∴AB＝2FG，
∵FG∥AB，
∴△ACB∽△FCG，
∴＝＝2，
∴AC＝2CF＝4，
∴AF＝AC+CF＝6，故选：B．

5．解：如图，连接AI，AC，

∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，
∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
在Rt△AGI和Rt△ADI中，
，
∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），
∴∠GAI＝∠DAI，
∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，
∴∠IAH＝∠AID，
∴IH＝AH，
又∵IH＝HC，
∴IH＝HC＝AH，
∴∠IAC＝90°，
∴∠DAI+∠DAC＝90°，
又∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAI＝∠DCA，
又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，
∴△ADI∽△CDA，
∴，
∴，
∴DI＝1，
∴CI＝ID+CD＝5，
∴IH＝IC＝，故选：D．
6．解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB：BC＝2：3，EF＝6，
∴＝，
∴DE＝4，故选：C．
7．解：∵，△COD的面积是2，
∴△BOC的面积为4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，
∴△DOE∽△BOC，
∴＝（）2＝，
∴S△DOE＝1，
∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．
8．解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴△ACE∽△BCD，
又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△AFD∽△BCD，
∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，
∴△BFE∽△BCD，
∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，
故不一定与△BCD相似的是△BAE．故选：D．
9．解：设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为（m﹣1），
∵△ABC放大到原来的2倍得到△ADE，
∴E、A间的纵坐标的长度为2（m﹣1），
∴点E的纵坐标是﹣[2（m﹣1）﹣1]＝﹣（2m﹣3）＝﹣2m+3．故选：D．
10．解：如图，过点P作PH⊥BC于H．

∵＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴PA⊥AC，
∵PH⊥BC，
∴PA＝PH，
在Rt△PCA和Rt△PCH中，
，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH（HL），
∴AC＝CH＝6，
∵BC＝＝＝10，
∴BH＝4，
设PA＝PH＝x，则PB＝8﹣x，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴PA＝3，
∴CP＝＝＝3，故选：B．
11．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴AB＝6，
故答案为：6．
12．解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，
∴＝，
∴a＝b＝×2＝（﹣1）米，
故答案为：（﹣1）．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵BE：EC＝1：2，
∴BE：BC＝1：3，
∴BE：AD＝1：3，
∴AD：BE＝3：1，
∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．
故答案为：9．
14．解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，
∴∠AGE＞∠AEF，
∴AE≠AG；
当AE＝EG时，则△ABE≌△ECG，
∴CE＝AB＝5，
∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，
过点AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝3，
∴AM＝＝＝4，
∴S△ABE＝S△CEG＝×1×4＝2，
∴S△AEG＝S△ABC﹣2S△ABE＝×6×4﹣2×2＝8，
当AG＝EG时，则∠GAE＝∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE＝∠GEA+∠CEG，
即∠CAB＝∠CEA，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE＝＝，
∴BE＝6﹣＝，
∵∠CEG＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECG，
∴，
∴CG＝，
∴AG＝5﹣＝，
∵∠EAG＝∠AEG＝∠B＝∠C，
∴△GAE∽△ABC，
∴＝，
∴S△EAG＝×12＝．
故答案为：8或．
15．解：∵（x，y，z均不为零），
∴设x＝6k，则y＝4k，z＝3k，
∴＝＝＝．
故答案为：．
16．解：对于抛物线y＝﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2，可得C（0，﹣2），
令y＝0，可得0＝﹣2，解得x＝3或﹣，
∴A（﹣，0），B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，
设P（m，m﹣2），
∵∠BPM＝∠CPN，
当CN∥AB时，∠PBM＝∠PCN，此时△PCN∽△PBM，N（，﹣2），
∴P（，﹣），
当NC⊥BC时，∠PCN＝∠PMB＝90°，此时△PCN∽△PMB，
过点N作NH⊥y轴于H．
∵N（m，m2﹣m﹣2），
∵∠OCB+∠NCH＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠OBC＝∠NCH，
∴tan∠NCH＝tan∠OBC，
∴＝＝，
∴＝，
∴m＝，
∴P（，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，﹣）或（，﹣），
故答案为：（，﹣）或（，﹣）．

17．解：∵AB＝3，D是AB的中点，
∴AD＝AB＝，
当△ADE∽△ACB时，
则AE：AB＝AD：AC，
即AE：3＝：4，
∴AE＝，
故答案为：．
18．解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，
∵DF∥BE，
∴＝，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
∴DF＝BE＝3，
∵DF∥CE，
∴＝，
∵AD：DC＝1：2，
∴AD：AC＝1：3，
∴＝，
∴CE＝3DF＝3×3＝9．
故答案为9．

19．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE
∴∠ECA＝∠FEA，
∵∠FAE＝∠EAC，
∴△AFE∽△AEC．

（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，
∵ED＝EC，
∴，
∵AD∥EG，
∴，
∴＝2，
解得，
∵△AFE∽△AEC，
∴，
∴＝，
解得．
故答案为：．

20．解：∵＝，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
故答案为：△CBE，△BDA．
21．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
又∵∠ACD＝∠B，
∴△DEC∽△CDB，
∴，
∴CD2＝DE•BC；
（2）解：∵CD2＝DE•BC，DE＝3，BC＝4，
∴CD2＝12，
∴CD＝2（负值舍去），
∵△DEC∽△CDB，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°
∵PQ⊥AP，
∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴AB•CQ＝PB•PC；
（2）解：设BP＝x，CQ＝y，由（1）得2y＝x（2﹣x），
∴，
∵，开口向下，对称轴是x＝1，且x的范围是0≤x≤2，
∴当x＝1时，y有最大值为，即当CQ最大时，BP＝1．
23．解：（1）△CFD∽△BDE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠BED，
∴△CFD∽△BDE；
（2）存在．理由如下：
如图，过点A作AH⊥BC于点H，

∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝BC＝×6＝3，
∵∠DEF＝∠AHB＝90°，∠EDF＝∠B，
∴△ABH∽△FDE，
∴DE：BH＝DF：AB，
∴DE：3＝DF：5，
∴DE：DF＝3：5，
∵△CFD∽△BDE，
∴BE：CD＝DE：DF＝3：5，
∵BD＝2，BC＝6，
∴CD＝4，
∴BE：4＝3：5，
∴BE＝．
24．（1）证明：如图，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABD，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∴∠ODB+∠CDB＝90°，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠CDB，
又∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CDB；
（2）解：∵∠ODC＝90°，∠C＝30°，
∴OC＝2OD，
∵AB是⊙O的直径，AC＝9，
∴OA＝OB＝OD＝BC＝AC＝3，
由（1）得：△CAD∽△CDB，
∴CD：CB＝CA：CD，
∴CD2＝CB×CA＝3×9＝27，
∴CD＝＝3，
∴△OCD的面积＝OD×CD＝×3×3＝，
又∵BC＝OB，
∴△DBC＝面积＝△OCD的面积＝．

25．解：（1）∵等边△ABC的边长为8，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
∵CN＝3，
∴AN＝5，
∵把△ABC沿MN折叠，点A的对应点A'恰好落在AB边上，
∴∠NMA＝90°，
∴sinA＝，
∴MN＝AN•sin60°＝；
（2）①∵∠MPN＝60°，
∴∠MPB+∠NPC＝120°，
∴∠NPC＝∠BMP，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△MBP∽△PCN；
②设BP＝x，BM＝y，则PC＝8﹣x，
∵△MBP∽△PCN，
∴，
∴，
∴，
当x＝4时，y最大值为，
因此，当点P位于BC的中点时，线段BM长度最大值为．
26．（1）证明：在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴，
同理：∠DBE＝45°，，
∴，
∵∠ABC＝∠EBD，
∴∠ACB﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠CBE＝∠ABD，
∴△ADB∽△CEB；
（2）如图2，旋转前，点E是BC的中点，
∴BE＝BC＝1，
在Rt△ABC中，AB＝＝2

取BC的中点，连接EF，
∴BF＝BC＝1，
∴BF＝BE，
由旋转知，∠CBE＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BFE＝60°，EF＝BF＝CF，
∴∠BCE＝30°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴CE＝＝，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴AD＝＝＝；
（3）①当点E在线段AD上时，如图3，

∵∠BED＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝，
在Rt△BED中，DE＝BE＝1，
∴AD＝AE+DE＝+1，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴CE＝＝＝；
②当点E在线段AD的延长线上，如图4，

同①的方法得，AE＝，
∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，
由（1）知，△ADB∽△CEB，
∴，
∴CE＝＝＝，
即：满足条件的CE长为或．
27．（1）证明：连接OD，AD，

∵CD＝BD，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵AE⊥ED，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠ADO+∠EDA＝90°，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，
∴sin∠EAF＝，
∵sin∠EAF＝，
设EF＝4k，AF＝5k（k＞0），则AE＝3k，
∵AE＝3，
∴k＝1，
∴AF＝5，
∵EF⊥OD，EF⊥AE，
∴OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴r＝