专题12 导数综合题型归类-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练 期末全真模拟卷（人教A版2019）

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专题12 导数综合题型归类
本节课知识点目录：
1、 利用导数求极值；
2、 利用导数求最值。
3、 利用导数求单调性解不等式
4、 利用导数定义求切线斜率
5、 利用导数研究函数零点
6、 利用导数求函数切线
7、 利用导数求公切线
8、 利用导数研究单调性求参数
9、 利用导数构造函数比大小
10、 利用导数计算公式构造xf(x)型函数
11、 利用导数计算公式构造函数exf（x）型函数
12、 利用导数计算公式构造函数与三角函数
13、 利用导数计算公式配凑复杂型函数
14、 双变量恒成立（存在）求参
15、 利用导数计构造函数求参数（同构型）
16、 导数综合之不等式恒成立分离参数
17、 导数综合之移项求导讨论求参数
18、 导数综合之洛必达法则求参
19、 导数综合之不确定根求参（虚设零点型）
20、 导数综合之求参取整型
21、 导数综合之数列不等式证明
22、 导数综合之多参求最值型
23、 导数综合之三角函数与导数

知识与技巧典型题一：利用导数求极值
函数的极大值与极小值之和为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
求出导函数，确定单调性与极值，计算极大值与极小值的和．
【详解】
根据题意，今，∴或1，当或时，，当时，，
所以极小值，极大值，所以极大值与极小值之和为.故选：D．

知识与技巧典型题二：利用导数求最值
已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-e，2) B．(-e，1-e) C．(1，2) D．
【答案】A
【分析】
在上递增，根据在上有最小值，可知有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】
在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是.故选：A

知识与技巧典型题三：利用导数求单调性解不等式
已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，再通过导数判断出函数的单调性，进而根据题意解得答案.
【详解】
由题意，，，即函数为奇函数，又，所以函数在R上是增函数.于是，不等式等价于，所以，即不等式的解集为.故选：D.


知识与技巧典型题四：利用导数定义求切线倾斜角
若，则的切线的倾斜角满足（ ）
A．一定为锐角 B．一定为钝角
C．可能为直角 D．可能为0°
【答案】A
【分析】
求出导函数，判断导数的正负，为此引入新函数（部分函数），由导数确定单调性极值后得正负，从而得出结论．
【详解】，设，则，
时，，递减，时，，递增，
而，所以时，，所以，
切线斜率均为正数，倾斜角为锐角．故选：A．

知识与技巧典型题五：利用导数研究函数零点
已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.
【详解】
由题意，与图象有三个交点，
当时，，则，
∴在上，递增，在上，递减，
∴时，有最大值，且在上，在上.
当时，单调递增，
∴图象如下
∴由图知：要使函数有三个零点，则.故选：C.

知识与技巧典型题六：利用导数求函数切线
若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意，设切点为，进而求出的导数，可得切线的斜率，从而得出，再由切点也在切线方程上，并化简得出，从而得出，通过构造函数并利用导数研究函数的单调性和最值，从而可求出的最大值.
【详解】
解：设直线与曲线相切于点，，，
可得切线的斜率为，则，所以，又切点也在直线上，则，
，，
设，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
可得的最大值为，即的最大值为.故选：D.


知识与技巧典型题七：用导数求公切线
已知函数，，若函数的图象与函数的图象在交点处存在公切线，则函数在点处的切线在y轴上的截距为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设交点为，分别求出，的导数，由题意得切线的斜率相等且切点重合，得到m，a的方程，消去a，可得，令，运用求得，判断单调区间，即可得到，进而得到a的值，再求的导数和在处的切线斜率和切点，求得切线方程，令，即可得到所求截距.
【详解】
设交点为，且的导数为，的导数为，
由题意，且，消去a得：，
令，，
当时，递增；当时，递减.
∴处取得极小值，也为最小值为0，则，解得，
代入，可得，即有，
∴，则在处的切线斜率为，切点为
∴在处的切线方程为，令，可得.
故选：C.

知识与技巧典型题八：利用导数研究单调性求参数
若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒
【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，∴在区间上有解(成立)，
即在区间上成立，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，
故当时，取最小值，即，即，得．故选：D﹒


知识与技巧典型题九：利用导数构造函数比大小
已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的单调性结合已知条件求解即可
【详解】由题意可知，，即，又，且当时，令，
则，
所以在递减，又，所以，即
所以，即，又因为，而，
所以，即，故选：D.

知识与技巧典型题十：利用导数计算公式构造函数xf（x）型函数
已知函数是上的可导函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由已知构造函数，求导，由导函数的符号得出所令函数的单调性，从而可得选项.
【详解】
解：因为，所以当时，有，
令，则当时，，所以在上单调递增，
所以，即，故选：C.

知识与技巧典型题十一：利用导数计算公式构造函数exf（x）型函数
已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，由已知得在区间单调递减， 为偶函数，且在区间单调递增，由此可将不等式等价转化为，求解即可.
【详解】
解：令，则当时，，所以在区间单调递减，
又，所以为偶函数，且在区间单调递增，
又，即，所以，即，
得或，故选：C.


知识与技巧典型题十二：利用导数计算公式构造函数三角函数型
定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有
A． B． C． D．
【答案】C详解：构造函数，则其导数，
由，且恒有，可得，所以函数为减函数，
又由，则有，即，可得，
又由，则有，即，分析可得，故选C.

知识与技巧典型题十三：利用导数计算公式配凑复杂函数型
若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
构造函数，利用导数研究的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】
令，则
，所以在上单调递增，
又因为，由，得，两边同时乘以，得，得，即，解得，即不等式的解集是.
故选：C


知识与技巧典型题十四：双变量恒成立（存在）求参
已知函数，，若对任意的，，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
对任意的，，都有成立等价于，利用导数求出函数，则可得当时，恒成立，即在上恒成立，构造函数，求出函数即可得出答案.
解：对任意的，，都有成立等价于，由的导数，
当时，，当，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，所以，即当时，恒成立，
即恒成立，即在上恒成立，令，则，
当时，，当时，，
所以在上增函数，在上减函数，，
所以.故选：B.


知识与技巧典型题十五：利用导数构造函数求参数（同构型）
若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
把不等式转化为对x>0恒成立，设，故对任意的恒成立，利用导数可求a的取值范围.
【详解】
由不等式恒成立，可知对x>0恒成立.
设，则该函数为上的增函数，故，故对任意的恒成立，
设，则，当时，，故为上的增函数，
而当时，有，不合题意；
当时，对任意的恒成立，
当时，若，则，当时，，
故在为减函数，在为增函数，
故，故 综上：的取值范围是.故选：A



知识与技巧典型题十六：导数综合之不等式恒成立分离参数型
已知函数，若，求的取值范围.
【答案】.
【分析】
将给定不等式等价变形并分离参数，借助不等式“，当且仅当时取等号”，推理计算作答.
【详解】
，
，
令，求导得：，当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，当时，，即，，
因此，，当且仅当时取“=”，
令，显然在上单调递增，而，
即存在，使得成立，即有最小值1，则有，
所以实数的取值范围是.

知识与技巧典型题十七：导数综合之移项求导讨论求参数
已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，无单调递减区间（2）
【分析】
（1）结合二阶导数来求得的单调区间.
（2）先将恒成立的不等式进行等价变形，通过构造函数法，结合多次求导以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
（1）
因为，所以．
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
故，即，则在上单调递增，无单调递减区间．
（2）
等价于．
令，则．
令，则，显然在上单调递增，故．
当时，，在上单调递增，，即，
则在上单调递增，，符合条件．
当时，，，所以，．当时，，单调递减，则．即当时，，则在上单调递减，则当时， ，不符合条件．综上所述，实数的取值范围是．

知识与技巧典型题十八：导数综合之洛必达法则求参
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（I）求a，b的值；
（II）如果当x>0，且时，，求k的取值范围．
解： 原卷解法（Ⅰ）

由于直线的斜率为，且过点，故即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ．
考虑函数，则 ．
(i)设，由知，当时，．而，故
当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）0
从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.
（ii）设00，而
h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）