四川省自贡市2020－2021学年上学期八年级期末统一考试数学试题（原卷含解析）

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这是一份四川省自贡市2020－2021学年上学期八年级期末统一考试数学试题（原卷含解析），共10页。试卷主要包含了若分式的值等于0，则的值为，下列计算正确的是，如图是由线段组成的平面图形，,，若满足，则值为等内容，欢迎下载使用。
秘密★启用前〖考试时间：2021年1月19日上午9：00－11：00〗
自贡市2020－2021学年八年级上学期期末考试
数学试题
一.选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分）
1.若分式的值等于0，则的值为（）
A. B. C. D.
2.剪纸是自贡市古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）

3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.

4.如图是由线段组成的平面图形，,
则的度数为（）

A. 62° B. 152° C. 208° D. 236°

5.在课堂上，陈老师布置了一道画图题：
画一个△，使,它的两边分别等于已知线段；小明和小强同学先画出了 ,后续画图的主要过程分别如下图所示.

那么小明和小强同学作图确定三角形的依据分别是（）
A. B. C. D.
6.如图，平分,为上一点，分别在上，且;若,则的度数是（）
A. 40°
B. 30°
C. 60°
D. 45°
7.若满足，则值为（）
A. B. C. D.

8.如图，在△中，,面积是24；的中垂
线分别交的边于；若点是边的中点，点是
线段上的一动点，则△周长的最小值为（）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

二.填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
9. 如果分式有意义，那么的取值范围是 .
10.如果△的三边长分别为，△的三边长为；若这两个三角形全等，则等于 .
11.在△中，,是△的平分线，则△和△的面积之比是 .
12.有一个多边形的内角和比外角和多2倍，则经过它的一个顶点可以引条对角线.
13.若是完全平方式，则的值为 .
14.关于的方程的两个解为；的两个解为,则关于的方程的两个解为 .

三.解答题（本题有5个小题，每小题5分，共25分）

15. 给出三个多项式：，，，请选出你最喜欢的两个多项式进行加减运算，并把结果因式分解.

16.解方程： .

17.如图，点在线段上，∥,,.求证：.

18.先化简，再求值：，再从中选一个数作为的值代入求值.

19.如图，在△中，,是上一点，是延长线上一点，且,交于点 .求证： .

四.解答题（本题有3个小题，每小题6分，共18分）
20.动车的开通将为自贡市民出行带来更多方便，从自贡到重庆，路程约220公里，开通后动车的平均速度将比普通列车快120%，所需时间比普通列车少80分钟，求该动车的平均速度.

21.如图，△和△都是等边三角形，连接,交于点.
⑴.求证： ;
⑵.求的度数.

22.如图，在一个的正方形的网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的△就是一个格点三角形.
⑴.△的面积为平方单位；
⑵.请用无刻度的直尺和圆规在网格中作图（保留作图痕迹），在边上找一点,连接,使△和△面积相等；
⑶.图中与△全等的格点三角形（不包括△）可作出个（只填结果，不作图）

五.解答题（本题有2个小题，23题7分，14题8分，共18分）
23.阅读下列材料：
在学习“可以化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围.
经过独立思考与分析，小杰与小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于的分式方程，得，由题意可得：，所以，问题解决
小哲说：你考虑不全面，还必须保证，即才行.
⑴.请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是 .
⑵.参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于的方程的解为非负数，求的取值范围.

24.如图，若，且满足：
⑴.求两点的坐标；
⑵.点在线段上， ,作点关于直线的对称点，交轴于点,过作交轴于点.
①.求证：;
②.试探究之间的关系，并说明理由.

自贡市2020－2021学年上学期八年级期末统考数学试题考点分析及解答

分析：老郑

一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意）
1.若分式的值等于0，则的值为（）
A. B. C. D.
考点：分式值为0的条件.
分析：要使分式的值等于0，则要满足，解得：；故应选：B .
2.剪纸是自贡市古老的民间艺术之一，被列入第四批《人类非物质文化遗产代表作名录》，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）

考点：轴对称图形的定义.
分析：轴对称图形的关键词：一个，对折，重合. 图形B符合条件；故应选：B .
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
考点：整式的运算，整数指数幂.
分析：根据零指数幂的意义可知C.是正确的；故应选：C .
4.如图是由线段组成的平面图形，,
则的度数为（）

A. 62° B. 152° C. 208° D. 236°
考点：三角形内角和定理及其推论.
分析：∵,
∴
又，
∴；故应选：C .
5.在课堂上，陈老师布置了一道画图题：
画一个△，使,它的两边分别等于已知线段；小明和小强同学先画出了 ,后续画图的主要过程分别如下图所示.

那么小明和小强同学作图确定三角形的依据分别是（）
A. B. C. D.
考点：三角形全等的判定.
分析：小明同学的作图在的两边截取两边分别等于已知线段，确定三角形的依据是,小强同学的作图在的两边的基础上截取一直角边和斜边边分别等于已知线段，确定三角形的依据是;故应选：A .
6.如图，平分,为上一点，分别在上，且;若,则的度数是（）
A. 40°
B. 30°
C. 60°
D. 45°
考点：角的平分线的性质，全等三角形，四边形内角和.
分析：过点作于,作于，则
又平分
∴
又
∴△≌△ （）
∴
∵
∴
∴
∴ ,即；故应选：D .
7.若满足，则值为（）
A. B. C. D.
考点：拆项配方，因式分解，非负数的性质，求代数式的值等.
分析：由移项拆项可得：
∴
由非负数的性质可得：；解得：.
∴；故应选：A .
8.如图，在△中，,面积是24；的中垂
线分别交的边于；若点是边的中点，点是
线段上的一动点，则△周长的最小值为（）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

考点：三角形面积，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质,最短路径等.
分析：连接交于点,连接.
∵的中垂线分别交的边于
∴点与点关于对称，且
根据“两点之间，线段最短”可知：最小.
∴△周长的最小值为：
∵.点是边的中点
∴
∴ ,即，解得:
又
∴△周长的最小值为:; 故应选：D .
点评：
本题串联了《轴对称》的多个重要知识点，题型上属于“最短路径问题”中同侧两定一动型；这种题关键是通过对称点把“同侧两定”化为“异侧两定”，然后通过连线“化折为直”，同时确定出最小值的动点位置；本题还要通过三角形面积确定“最小值”关键线段；好题！.

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分）
9. 如果分式有意义，那么的取值范围是 .
考点：分式有意义的条件.
分析：要使分式有意义，则，解得：；故应填：.

10.如果△的三边长分别为，△的三边长为；若这两个三角形全等，则等于 .
考点：全等三角形的性质，分类讨论.
分析：⑴.若，解得：；则；
⑵..若，解得：；则.
综上应填：.

11.在△中，,是△的平分线，则△和△的面积之比是 .
考点：角的平分线的性质，三角形面积.
分析：如示意图，过点作于,作于 .
∵是△的平分线
∴
∴;故应填：..

12.有一个多边形的内角和比外角和多2倍，则经过它的一个顶点可以引条对角线.
考点：多边形的的内角和和外角和，多边形对角线的规律.
分析：设此多边形的的边数为，则列方程为：
解得：
从八边形一个顶点出发可以引：条对角线. 故应填：..

13.若是完全平方式，则的值为 .
考点：完全平方式.
分析：由完全平方式得，∴ 或.故应填：.

14.关于的方程的两个解为；的两个解为,则关于的方程的两个解为 .
考点：阅读理解，数学建模思想，分式的运算.
分析：根据阅读理解可知关于的方程的两个解可以写为：
或；而为；
故应填：..
点评：
本题通过数学建模实际上把分式方程解转化为分式的运算才是关键，设计巧妙！

三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分）
15. 给出三个多项式：，，，请选出你最喜欢的两个多项式进行加减运算，并把结果因式分解.
考点：整式的加减运算，分解因式.
分析：加减运算后的结果要保证能因式分解，虽然有多种组合，但不是每种组合都符合题意；
组合的结果应该是多项式，并能因式分解.
略解： 3分

5分

16.解方程： .
考点：解可以化为一元一次方程的分式方程.
分析：去分母 → 解一元一次方程 → 书面验根 → 写解.
略解： 1分
即 2分
∴ 3分检验：当时， 4分
∴是原方程的解. 5分
17.如图，点在线段上，∥,,.求证：.
考点：三角形全等的判定，全等三角形的性质.
分析：△和△已有两边对应相等，而∥可以提供它们的夹角对应相等，得到△≌△后即可证得.
略证：
∵∥
∴∠ABC=∠FDE 1分
∴在△和△
∴△≌△（） 4分
∴ 5分

18.先化简，再求值：，再从中选一个数作为的值代入求值.
考点：分式的混合运算，求代数式的值.
分析：先算括号里的，再算除法，注意分解因式进行约分化简。代入求值时要注意选择使分式有意义的值代入求值..
略解：原式= 2分
= 3分
= 4分
当时，原式= 5分

19.如图，在△中，,是上一点，是延长线上一点，且,
交于点 .求证： .
考点：等腰三角形的判定和性质，全等三角形.
分析：
证明两线段相等常通过全等三角形来解决，但题中的条件不足；
可以尝试通过作辅助平行线得到的全等三角形来解决..若过点作
∥,交于；证明△≌△即可.
证明：
.过点作∥,交于. 1分
∴, 2分
∵
∴
∴
∴ 3分
∵
∴
在△和△中
∴△≌△（） 4分
∴ 5分

四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分）
20.动车的开通将为自贡市民出行带来更多方便，从自贡到重庆，路程约220公里，开通后动车的平均速度将比普通列车快120%，所需时间比普通列车少80分钟，求该动车的平均速度.
考点：分式方程的应用，解分式方程.
分析：本题主要抓住时间关系：，抓住速度关系设元可以列出一个分式方程解决问题.
略解：设普通列车的平均速度为公里/小时，则动车的平均速度为公里/小时，根据题意列方程： 1分
3分
解得： 4分
经检验是原方程的解. 5分
∴
答：动车的平均速度为公里/小时.

21.如图，△和△都是等边三角形，连接,交于点.
⑴.求证： ;
⑵.求的度数.
考点：等边三角形的性质，全等三角形，三角形内角和推论..
分析：.
⑴问是典型的“手拉手模型”，要证明可以证明△和△全等，而两个等边三角形提供的结论为△和△的全等提供关键的条件；本题的⑵问在⑴问的基础上得出对应角相等，结合三角形内角和的推论可以解决问题.
略解：
⑴.∵△和△都是等边三角形
∴,, 1分
∴
即 2分
∴在△和△中
∴△≌△（） 3分
∴ 4分
⑵..∵△≌△
∴
∴∠BFC=∠FDB+∠FBD=∠ADB+∠ABD=600+600=1200 6分

22.如图，在一个的正方形的网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的△就是一个格点三角形.
⑴.△的面积为平方单位；
⑵.请用无刻度的直尺和圆规在网格中作图（保留作图痕迹），在边上找一点,连接,使△和△面积相等；
⑶.图中与△全等的格点三角形（不包括△）可作出个（只填结果，不作图）

考点：割补法。三角形面积，尺规作图作线段中垂线，全等三角形以及轴对称等.
分析：
⑴问用割补法可以计算出△的面积；⑵问利用尺规作图作
线段中垂找中点，连接即可.⑶问可以利用全等变换得到
符合条件的格点三角形.
略解：
⑴.
故应填：. 2分

⑵.如图所示. 4分

⑶.应填：47. 6分

解析：（注：以下方法均来自于富顺县初中数学教师群讨论，供参考！）

方法一.平移5个 + 再对称到左边6个 + 旋转再左右对称48个－重复的12个 = 47个.（图略）

方法二.△必然在一个或的矩形内部，而每个矩形框里内利用全等变换可以得到4个与△全等的三角形；由于的网格中有6个的矩形和6个的矩形，又“不包括△”的条件要求，故最终结果为：.见示意图：

点评：
本题的⑶问有难度，解析中的两种方法均可，方法二简捷，容易数对，巧妙！

五、解答下列各题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分）
23.阅读下列材料：
在学习“可以化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围.
经过独立思考与分析，小杰与小哲开始交流解题思路如下：
小杰说：解这个关于的分式方程，得，由题意可得：，所以，问题解决
小哲说：你考虑不全面，还必须保证，即才行.
⑴.请回答：的说法是正确的，并简述正确的理由是 .
⑵.参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：
若关于的方程的解为非负数，求的取值范围.
考点：阅读理解，解分式方程，分式方程的解，分式有意义的条件等.
分析：本题首先解得含的代数式表示的“解”，然后利用解为非负数和使分母不为0，转化为不等式解决问题.
略解：
⑴. 小哲，分母不为0. 2分
⑵. ，去分母后解得：； 4分
由题意知： 6分
解得：且 . 7分
24.如图，若，且满足：
⑴.求两点的坐标；
⑵.点在线段上， ,作点关于直线的对称点，交轴于点,过作交轴于点.
①.求证：;
②.试探究之间的关系，并说明理由.
考点：非负数的性质，特殊等腰三角形的性质及其推论，全等三角形，
三角形的面积等.
解析：
⑴. 由
得：；所以; 2分
⑵. ①.连接
∵是以为对称轴的轴对称图形
∴
在△,
∴ ,即 4分
②.延长交轴与点，则 .
如图点是与的交点.
易证△和△都是等腰直角三角形.
∴
∴ 5分
又
∴ 6分
又
∴△≌△（）
∴ 7分
∵

∴. 8分

以上考点、分析、解答、点评仅供参考！
2021.1.26

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