2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷2，共29页。
A．2cmB．4cmC．2cm或6cmD．4cm或6cm
2．（2019秋•杭州期末）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t＝，若球的起始高度为102米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒
3．（2019秋•西湖区期末）下列式子正确的是（ ）
A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣zB．x+2y﹣2z＝x﹣2（y+z）
C．﹣（x﹣y+z）＝﹣x﹣y﹣zD．﹣2（x+y）﹣z＝﹣2x﹣2y﹣z
4．（2019秋•杭州期末）如图，直线AB⊥直线CD，垂足为O，直线EF经过点O，若∠BOE＝35°，则∠FOD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
5．（2019秋•西湖区期末）下列各式，正确的是（ ）
A．＝﹣3B．＝±4C．＝4D．＝﹣4
6．（2019秋•杭州期末）当x取2时，代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BC＝AB，D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
8．（2019秋•上城区期末）若ax＝ay，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x＝yB．x＝|y|
C．（a﹣1）x＝（a﹣1）yD．3﹣ax＝3﹣ay
9．（2019秋•西湖区期末）数轴上A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，且满足|c﹣b|﹣|a﹣b|＝|a﹣c|，则A，B，C三点的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2019秋•杭州期末）据科学家估计，月球与地球距离大约为384000多千米，用科学记数法表示数字384000的结果为（ ）
A．3.84×103B．3.84×104C．3.84×105D．3.84×106
二．填空题（共6小题）
11．（2019秋•西湖区期末）若∠α的补角为66°38′，则∠α＝ ．
12．（2019秋•西湖区期末）已知A＝3a2﹣2b，B＝﹣4a2+4b，若代数式4A﹣mB的结果与b无关，则m＝ ．
13．（2019秋•杭州期末）如图所示是计算机程序设计，若开始输入的数为﹣1，则最后输出的结果是 ．
14．（2019秋•西湖区期末）下列说法：①两点确定一条直线；②射线OA和射线AO是同一条射线；③对顶角相等；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短．正确的序号是 ．
15．（2019秋•杭州期末）已知单项式2xn+2y4与5x5y2+m是同类项，则nm＝ ．
16．（2019秋•西湖区期末）已知，则|x﹣3|+|x﹣1|＝ ．
三．解答题（共8小题）
17．（2019秋•西湖区期末）计算：
（1）
（2）
18．（2019秋•西湖区期末）解方程
（1）4x﹣2＝3x﹣
（2）＝﹣2．
19．（2019秋•杭州期末）化简代数式，并求当a＝4，b＝﹣时该代数式的值．
20．（2019秋•上城区期末）如图，已知平面上有三点A，B，C．
（1）按要求画图：画线段AB，直线BC；
（2）在线段BC上找一点E，使得CE＝BC﹣AB；
（3）过点A作BC的垂线，垂足为点D，找出AB，AC，AD，AE中最短的线段，并说明理由．
21．（2019秋•杭州期末）快车以200km/h的速度由甲地开往乙地再返回甲地，慢车以75km/h的速度同时从乙地出发开往甲地．已知当快车回到甲地时，慢车距离甲地还有225km，则
（1）甲乙两地相距多少千米？
（2）从出发开始，经过多长时间两车相遇？
（3）几小时后两车相距100千米？
22．（2019秋•西湖区期末）如图，点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
（1）过点C画OA的垂线，交OA与点D．
（2）过点C画OB的垂线，交OA与点E．
（3）比较线段CD，CE，OE的大小，并用“＜”连接．
23．（2019秋•西湖区期末）如图，OC，OB，OD是∠EOA内三条射线，OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．
（1）已知∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，求∠BOC的度数．
（2）设∠EOD＝α，用含α的代数式表示∠BOC．
（3）若∠EOD与∠BOC互余，求∠BOC的度数．
24．（2019秋•西湖区期末）（1）当a＝3，b＝2时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值．
（2）当a＝﹣3，b＝1时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值．
（3）从（1）（2）中你发现了什么规律？利用你的发现，求当a＝﹣，b＝时代数式a2﹣2ab+b2的值．
2021-2022学年上学期杭州市初中数学七年级期末典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2019秋•西湖区期末）已知线段AB＝8cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（ ）
A．2cmB．4cmC．2cm或6cmD．4cm或6cm
【考点】两点间的距离．
【分析】分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段BC的延长线上，根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AM的长．
【解答】解：当点C在线段AB上时，由线段的和差，得AC＝AB﹣BC＝8﹣4＝4（cm），
由线段中点的性质，得AM＝AC＝×4＝2（cm）；
点C在线段BC的延长线上，由线段的和差，得AC＝AB+BC＝8+4＝12（cm），
由线段中点的性质，得AM＝AC＝×12＝6（cm）；
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
2．（2019秋•杭州期末）球从空中落到地面所用的时间t（秒）和球的起始高度h（米）之间有关系式，t＝，若球的起始高度为102米，则球落地所用时间与下列最接近的是（ ）
A．3秒B．4秒C．5秒D．6秒
【考点】算术平方根．
【专题】实数；符号意识．
【分析】直接利用已知关系式把h的值代入进而得出答案．
【解答】解：∵t＝，球的起始高度为102米，
∴t＝＝，
∵4.52＝20.25＜20.4，
∴＞4.5，
∴球落地所用时间与下列最接近的是5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确化简是解题关键．
3．（2019秋•西湖区期末）下列式子正确的是（ ）
A．x﹣（y﹣z）＝x﹣y﹣zB．x+2y﹣2z＝x﹣2（y+z）
C．﹣（x﹣y+z）＝﹣x﹣y﹣zD．﹣2（x+y）﹣z＝﹣2x﹣2y﹣z
【考点】去括号与添括号．
【专题】整式；运算能力．
【分析】原式各项利用去括号法则及添括号法则判断即可．
【解答】解：A、原式＝x﹣y+z，不符合题意；
B、原式＝x﹣2（﹣y+z），不符合题意；
C、﹣（x﹣y+z）＝﹣x+y﹣z，不符合题意；
D、﹣2（x+y）﹣z＝﹣2z﹣2y﹣z，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查去括号和添括号，熟练掌握添括号和去括号法则是解题的关键．
4．（2019秋•杭州期末）如图，直线AB⊥直线CD，垂足为O，直线EF经过点O，若∠BOE＝35°，则∠FOD＝（ ）
A．35°B．45°C．55°D．125°
【考点】垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】直接利用垂线的定义得出∠BOC＝∠AOD＝90°，进而结合对顶角的定义得出答案．
【解答】解：∵直线AB⊥直线CD，
∴∠BOC＝∠AOD＝90°，
∵∠BOE＝35°，
∴∠FOD＝∠COE＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂线，正确掌握垂线的定义是解题关键．
5．（2019秋•西湖区期末）下列各式，正确的是（ ）
A．＝﹣3B．＝±4C．＝4D．＝﹣4
【考点】平方根；算术平方根；立方根．
【专题】二次根式．
【分析】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；据此可得结论．
【解答】解：A.＝﹣3，故本选项正确；
B.＝4，故本选项错误；
C．±＝±4，故本选项错误；
D.＝4，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查了平方根，立方根以及算术平方根的概念，解题时注意：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
6．（2019秋•杭州期末）当x取2时，代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】把x＝2代入代数式，求出算式的值为多少即可．
【解答】解：∵x＝2，
∴＝＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
7．（2019秋•杭州期末）如图，将线段AB延长至点C，使BC＝AB，D为线段AC的中点，若BD＝2，则线段AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】首先根据BC＝AB，可得：BC＝AC；然后根据：D为线段AC的中点，可得：CD＝AC，所以BD＝AC，再根据BD＝2，求出AC的长度，即可求出AB的长是多少．
【解答】解：∵BC＝AB，
∴BC＝AC；
∵D为线段AC的中点，
∴CD＝AC，
∴BD＝AC，
∵BD＝2，
∴AC＝2×6＝12，
∴AB＝AD+BD＝AC+BD＝×12+2＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．
8．（2019秋•上城区期末）若ax＝ay，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x＝yB．x＝|y|
C．（a﹣1）x＝（a﹣1）yD．3﹣ax＝3﹣ay
【考点】绝对值；等式的性质．
【专题】整式；推理能力．
【分析】利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案．
【解答】解：A、当a＝0时，x与y不一定相等，故本选项错误；
B、当a＝0时，x与|y|不一定相等，故本选项错误；
C、当a＝0时，x与y不一定相等，故本选项错误；
D、等式ax＝ay的两边同时乘﹣1，再同时加上3，该等式仍然成立，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查等式的性质．运用等式性质2时，必须注意等式两边所乘的（或除以的）数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．
9．（2019秋•西湖区期末）数轴上A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，且满足|c﹣b|﹣|a﹣b|＝|a﹣c|，则A，B，C三点的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；数感．
【分析】由A、B、C在数轴上的位置判断出a、b、c的大小关系，根据绝对值的性质去绝对值符号，判断左右两边是否相等即可．
【解答】解：A、当a＜c＜b时，|c﹣b|﹣|a﹣b|＝b﹣c+a﹣b＝a﹣c，|a﹣c|＝c﹣a，此选项错误；
B、当a＜b＜c时，|c﹣b|﹣|a﹣b|＝c﹣b+a﹣b＝a﹣2b+c，|a﹣c|＝c﹣a，此选项错误；
C、当c＜a＜b时，|c﹣b|﹣|a﹣b|＝b﹣c+a﹣b＝a﹣c，|a﹣c|＝a﹣c，此选项正确；
D、当c＜b＜a时，|c﹣b|﹣|a﹣b|＝b﹣c﹣a+b＝﹣c﹣a+2b，|a﹣c|＝a﹣c，此选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查绝对值的性质：正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于其相反数．
10．（2019秋•杭州期末）据科学家估计，月球与地球距离大约为384000多千米，用科学记数法表示数字384000的结果为（ ）
A．3.84×103B．3.84×104C．3.84×105D．3.84×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2019秋•西湖区期末）若∠α的补角为66°38′，则∠α＝ 113°22′ ．
【考点】度分秒的换算；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据两角互补的概念，和为180度的两个角互为补角，即可得出结果．
【解答】解：∵∠α的补角为66°38′，
∴∠a＝180°﹣66°38′＝113°22′，
故答案为：113°22′
【点评】本题考查了互补的概念，和为180度的两个角互为补角，比较简单．
12．（2019秋•西湖区期末）已知A＝3a2﹣2b，B＝﹣4a2+4b，若代数式4A﹣mB的结果与b无关，则m＝ ﹣2 ．
【考点】代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】首先根据：A＝3a2﹣2b，B＝﹣4a2+4b，求出代数式4A﹣mB的值是多少；然后根据它的结果与b无关，可得：b的系数是0，据此求出m的值是多少即可．
【解答】解：∵A＝3a2﹣2b，B＝﹣4a2+4b，
∴4A﹣mB
＝4（3a2﹣2b）﹣m（﹣4a2+4b）
＝（4m+12）a2+（﹣4m﹣8）b，
∵代数式4A﹣mB的结果与b无关，
∴﹣4m﹣8＝0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
13．（2019秋•杭州期末）如图所示是计算机程序设计，若开始输入的数为﹣1，则最后输出的结果是 ﹣5 ．
【考点】有理数的混合运算；代数式求值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】把﹣1代入程序中计算，判断与﹣1的大小，得出输出结果即可．
【解答】解：把﹣1代入程序得：（﹣1）×（﹣3）﹣2＝3﹣2＝1＞﹣1，
把1代入程序得：1×（﹣3）﹣2＝﹣3﹣2＝﹣5＜﹣1，
则最后输出的结果为﹣5，
故答案为：﹣5
【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2019秋•西湖区期末）下列说法：①两点确定一条直线；②射线OA和射线AO是同一条射线；③对顶角相等；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短．正确的序号是 ①③④ ．
【考点】直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；对顶角、邻补角；三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】利用确定直线的条件、射线的定义、对顶角的性质、三角形的三边关系分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两点确定一条直线，正确；
②射线OA和射线AO是同一条射线，错误；
③对顶角相等，正确；
④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短，正确，
正确的序号为①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了确定直线的条件、射线的定义、对顶角的性质、三角形的三边关系，属于基础知识，比较简单．
15．（2019秋•杭州期末）已知单项式2xn+2y4与5x5y2+m是同类项，则nm＝ 9 ．
【考点】同类项．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出m、n的值，进而得出答案．
【解答】解：根据题意得：2+m＝4，n+2＝5，
解得：m＝2，n＝3．
所以nm＝32＝9．
故答案是：9．
【点评】本题考查了同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
16．（2019秋•西湖区期末）已知，则|x﹣3|+|x﹣1|＝ 2 ．
【考点】绝对值；估算无理数的大小．
【专题】实数；运算能力．
【分析】比较x与3，x与1的大小，即可求解．
【解答】解：∵知＜，
∴x﹣3＜0、x﹣1＞0．
∴则|x﹣3|+|x﹣1|＝3﹣x+x﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查估算无理数的大小，再来化简绝对值，属于基础题．
三．解答题（共8小题）
17．（2019秋•西湖区期末）计算：
（1）
（2）
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣﹣（﹣）
＝﹣2﹣
＝﹣3；
（2）原式＝3+8＝11．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2019秋•西湖区期末）解方程
（1）4x﹣2＝3x﹣
（2）＝﹣2．
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）方程移项合并得：x＝2﹣；
（2）去分母得：4x+2＝1﹣2x﹣12，
移项合并得：6x＝﹣13，
解得：x＝﹣．
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．
19．（2019秋•杭州期末）化简代数式，并求当a＝4，b＝﹣时该代数式的值．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据去括号法则、合并同类项法则把原式化简，代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝a2﹣3ab﹣2b2﹣a2+ab+b2
＝﹣a2+ab﹣b2，
当a＝4，b＝﹣时，
原式＝﹣×42+×4×（﹣）﹣（﹣）2
＝﹣8﹣﹣
＝﹣．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
20．（2019秋•上城区期末）如图，已知平面上有三点A，B，C．
（1）按要求画图：画线段AB，直线BC；
（2）在线段BC上找一点E，使得CE＝BC﹣AB；
（3）过点A作BC的垂线，垂足为点D，找出AB，AC，AD，AE中最短的线段，并说明理由．
【考点】两点间的距离；垂线段最短；作图—复杂作图．
【专题】作图题；尺规作图；几何直观．
【分析】（1）画线段AB，直线BC即可；
（2）在线段BC上找一点E，使得CE＝BC﹣AB即可；
（3）过点A作BC的垂线，垂足为点D，找出AB，AC，AD，AE中最短的线段即可．
【解答】解：如图，
（1）线段AB，直线BC即为所求；
（2）点E即为所求，使得CE＝BC﹣AB；
（3）过点A作BC的垂线，垂足为点D，
根据垂线段最短可知：
AB，AC，AD，AE中最短的线段为AD．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、两点间的距离、垂线段最短，解决本题的关键是准确画图．
21．（2019秋•杭州期末）快车以200km/h的速度由甲地开往乙地再返回甲地，慢车以75km/h的速度同时从乙地出发开往甲地．已知当快车回到甲地时，慢车距离甲地还有225km，则
（1）甲乙两地相距多少千米？
（2）从出发开始，经过多长时间两车相遇？
（3）几小时后两车相距100千米？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】（1）设甲、乙两地相距x千米，根据时间＝路程÷速度结合两车相同时间内行驶的路程间的关系，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设经过y小时两车相遇，分两车第一次相遇及两车第二次相遇两种情况考虑，根据路程＝速度×时间，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）设t小时后两车相距100千米，分两车第一次相距100千米、第二次相距100千米、第三次相距100千米、第四次相距100千米及第五次相距100千米五种情况考虑，根据两车行驶的路程之间的关系，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲、乙两地相距x千米，
依题意，得：＝，
解得：x＝900．
答：甲、乙两地相距900千米．
（2）设经过y小时两车相遇．
第一次相遇，（200+75）y＝900，
解得：y＝；
第二次相遇，200y﹣75y＝900，
解得：y＝．
答：从出发开始，经过或小时两车相遇．
（3）设t小时后两车相距100千米．
第一次相距100千米时，200t+75t＝900﹣100，
解得：t＝；
第二次相距100千米时，200t+75t＝900+100，
解得：t＝；
第三次相距100千米时，200t﹣75t＝900﹣100，
解得：t＝；
第四次相距100千米时，200t﹣75t＝900+100，
解得：t＝8；
第五次相距100千米时，75t＝900﹣100，
解得：t＝．
答：经过，，，8或小时后两车相距100千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
22．（2019秋•西湖区期末）如图，点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
（1）过点C画OA的垂线，交OA与点D．
（2）过点C画OB的垂线，交OA与点E．
（3）比较线段CD，CE，OE的大小，并用“＜”连接．
【考点】直线、射线、线段；比较线段的长短；垂线；作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）过点C画∠CDO＝90°即可；
（2）过点C画∠ECB＝90°即可；
（3）根据点到直线的距离可得，线段CD，CE，OE这三条线段大小关系．
【解答】解：（1）如图所示：D为所求；
（2）如图所示：E为所求；
（3）CD＜CE＜OE（从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短）．
【点评】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．
23．（2019秋•西湖区期末）如图，OC，OB，OD是∠EOA内三条射线，OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．
（1）已知∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，求∠BOC的度数．
（2）设∠EOD＝α，用含α的代数式表示∠BOC．
（3）若∠EOD与∠BOC互余，求∠BOC的度数．
【考点】列代数式；角平分线的定义；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；模型思想；应用意识．
【分析】（1）根据角平分线和EOD＝80°，∠AOB＝20°，求出各个角，得出答案；
（2）由特殊到一般，根据角平分线的意义，和各个角之间的和差关系，等量代换得出∠EOD与∠BOC的数量关系，
（3）利用（2）中的结论和∠EOD与∠BOC互余，求出∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵OB平分∠DOA，OC平分∠EOA．
∴∠AOB＝∠BOD＝∠AOD，∠EOC＝∠AOC＝∠EOA，
∵∠EOD＝80°，∠AOB＝20°，
∴∠EOA＝80°+20°×2＝120°，
∴，∠EOC＝∠AOC＝∠EOA＝60°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝60°﹣20°＝40°．
（2）∵∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝∠DOE﹣∠COD﹣∠BOD＝∠DOE﹣∠BOC，
∴2∠BOC＝∠DOE，
∴∠BOC＝∠DOE＝α，
（3）∵∠EOD与∠BOC互余，
∴∠EOD+∠BOC＝90°，
∵∠BOC＝∠DOE，
∴∠BOC＝×90°＝30°．
【点评】考查角平分线的意义，互余的意义，根据图形直观得出各个角的和或差是得出结论的前提，等量代换起到非常关键的作用．
24．（2019秋•西湖区期末）（1）当a＝3，b＝2时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值．
（2）当a＝﹣3，b＝1时，分别求代数式a2﹣2ab+b2与（a﹣b）2的值．
（3）从（1）（2）中你发现了什么规律？利用你的发现，求当a＝﹣，b＝时代数式a2﹣2ab+b2的值．
【考点】代数式求值．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】（1）（2）把a、b的值代入代数式计算求值即可；
（3）先找到规律，再利用规律求值．
【解答】解：（1）当a＝3，b＝2时，a2﹣2ab+b2＝32﹣2×3×2+22＝1，
（a﹣b）2＝（3﹣2）2＝1；
（2）当a＝﹣3，b＝1时，a2﹣2ab+b2＝（﹣3）2﹣2×（﹣3）×1+12＝16，
（a﹣b）2＝（﹣3﹣1）2＝16；
（3）从（1）（2）中可发现：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
当a＝﹣，b＝时代数式a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
＝（﹣﹣）2
＝（﹣）2
＝（﹣）2
＝．
【点评】本题考查了代数式的求值．计算代数式的值并发现规律是解决本题的关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
4．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
5．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
7．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
8．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
9．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
10．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
12．同类项
（1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等．
（2）注意事项：
①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；
②同类项与系数的大小无关；
③同类项与它们所含的字母顺序无关；
④所有常数项都是同类项．
13．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
14．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
15．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
16．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
17．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
18．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
19．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
20．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
21．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
22．比较线段的长短
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，AC＝AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB＝CB＝AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
23．度分秒的换算
（1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
（2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
24．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
28．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
29．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
30．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．