2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷2

这是一份2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷2，共36页。
2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷2
一．选择题（共12小题）
1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
2．（2016•长沙模拟）“比a的3倍大5的数”用代数式表示为（　　）
A．3a+5 B．3（a+5） C．3a﹣5 D．3（a﹣5）
3．（2019•烟台）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（　　）
A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
4．（2017•绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
5．（2021•开福区模拟）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（　　）
A．8x﹣3＝7x+4 B．8（x﹣3）＝7（x+4）
C．8x+4＝7x﹣3 D．17x-3=18x+4
6．（2020秋•北碚区期末）下列解方程变形错误的是（　　）
A．由-12x=4得x＝﹣8
B．由5x﹣2（x﹣2）＝3得5x﹣2x+4＝3
C．由5x＝3x﹣1得5x﹣3x＝﹣1
D．由2x+13-x-16=1去分母得4x+2﹣x﹣1＝6
7．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知线段AB＝4，反向延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，若点D是线段BC的中点，则线段DA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（　　）

A．69 B．73 C．77 D．83
9．（2020秋•渝中区期末）计算：（﹣3）3×（13-59+427）的结果为（　　）
A．23 B．2 C．103 D．10
10．（2020秋•渝中区期末）如图，已知C为线段AB上一点，M、N分别为AB、CB的中点，若AC＝8cm，则MC+NB的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
11．（2020秋•梁平区期末）小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2007•长沙）在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母a，b，c…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y=x+12；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号y=x2+13．
字母
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
按上述规定，将明码“love”译成密码是（　　）
A．gawq B．shxc C．sdri D．love
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•重庆期末）已知a、b满足a+1+(2a+b)2=0，则a+b的值为　 　．
14．（2020秋•重庆期末）如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN+MN的最小值为　 　．

15．（2020秋•北碚区期末）若m2+mn＝﹣7，n2﹣5mn＝﹣17，则m2+6mn﹣n2＝　 　．
16．（2020秋•北碚区期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边 　 　．

17．（2020秋•沙坪坝区校级期末）有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣2|c﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝　 　．

18．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，BC＝10，分别以直角三角形三边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为　 　．

三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•渝中区期末）计算：
（1）5×（﹣2）+（﹣18）÷（﹣3）；
（2）（﹣2）3+（﹣3）2+3×23-|﹣7|．
20．（2020秋•渝中区期末）解方程：
（1）2﹣x＝4x﹣8；
（2）2x-13-x+14=1-5x+26．
21．（2020秋•梁平区期末）如图，射线ON、OE，OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合．
（1）图中与∠BOE互余的角是　 　或　 　；
（2）①用直尺和量角器作∠AOE的平分线OP；
②在①所做的图形中，如果∠AOE＝132°，那么点P在点O北偏东　 　°的方向上（请说明理由）．

22．（2020秋•梁平区期末）先化简，再求值：
（1）当x=-52，y=25时，求xy+2y2+（x2﹣3xy﹣2y2）﹣（x2﹣xy）的值；
（2）2（2xy2-12y2）﹣（4xy2+23y2﹣x2y）-43y2，其中x=32，y=-13．
23．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+12DE的值．

24．（2020秋•重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？

25．（2020秋•北碚区期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若∠AOB＝120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处，
①若OM，ON旋转时间t＝3时，则∠BON'+∠COM'＝　 　；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值；
（2）如图②，若∠AOB＝3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
（3）若∠AOC＝70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON＝20°，求t的值．
26．（2021•河北模拟）一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
（1）填空：（﹣4，9）　 　“相伴数对”（填是或否）；
（2）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；
（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m-223n﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．

2021-2022学年上学期重庆初中数学七年级期末典型试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（　　）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【考点】正数和负数．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（2016•长沙模拟）“比a的3倍大5的数”用代数式表示为（　　）
A．3a+5 B．3（a+5） C．3a﹣5 D．3（a﹣5）
【考点】列代数式．
【分析】根据题意可以用代数式表示比a的3倍大5的数，本题得以解决．
【解答】解：比a的3倍大5的数”用代数式表示为：3a+5，
故选：A．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
3．（2019•烟台）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（　　）
A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；空间观念．
【分析】（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线；（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，即可求解．
【解答】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，
以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，

（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，
则∠BOC＝15°或45°，
故选：D．
【点评】本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以OP为边作∠POC＝15°的两种情况，避免遗漏．
4．（2017•绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：C．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
5．（2021•开福区模拟）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（　　）
A．8x﹣3＝7x+4 B．8（x﹣3）＝7（x+4）
C．8x+4＝7x﹣3 D．17x-3=18x+4
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用．
【分析】根据“总钱数不变”可列方程．
【解答】解：设人数为x，
则可列方程为：8x﹣3＝7x+4
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
6．（2020秋•北碚区期末）下列解方程变形错误的是（　　）
A．由-12x=4得x＝﹣8
B．由5x﹣2（x﹣2）＝3得5x﹣2x+4＝3
C．由5x＝3x﹣1得5x﹣3x＝﹣1
D．由2x+13-x-16=1去分母得4x+2﹣x﹣1＝6
【考点】等式的性质；解一元一次方程．
【专题】方程思想；运算能力．
【分析】A、系数化为1即可求解；
B、根据去括号法则计算即可求解；
C、根据移项法则计算即可求解；
D、根据去分母、去括号法则计算即可求解．
【解答】解：A、由-12x＝4，得到x＝﹣8，不符合题意；
B、由5x﹣2（x﹣2）＝3，得到5x﹣2x+4＝3，不符合题意；
C、由5x＝3x﹣1得5x﹣3x＝﹣1，不符合题意；
D、由2x+13-x-16=1去分母得4x+2﹣x+1＝6，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
7．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知线段AB＝4，反向延长线段AB至点C，使得AC＝2AB，若点D是线段BC的中点，则线段DA的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据题意得到AC＝2AB＝8，BC＝AB+AC＝4+8＝12，从而根据线段中点的性质推出BD＝DC=12BC，再根据线段之间的和差关系进行求解即可．
【解答】解：根据题意可知AB＝4，AC＝2AB＝8，
∴BC＝AB+AC＝4+8＝12，
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝DC=12BC＝6，
∴DA＝BD﹣AB＝6﹣4＝2．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是根据线段中点的性质推出BD＝DC=12BC，注意运用数形结合的思想方法．
8．（2020秋•沙坪坝区校级期末）下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（　　）

A．69 B．73 C．77 D．83
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】本题的图形规律可以两部分来看，
（1）观察最下面一行变化规律列出代数式；
（2）观察剩余上面部分的规律并列出代数式；
综上将两部分的代数式加在一起就能得出最终结果．
【解答】解：图①中三角形的个数为5＝2×1+1+2；
图②中三角形的个数为10＝2×2+1+2+3；
图③中三角形的个数为16＝2×3+1+2+3+4；
.....．
图⑨中三角形的个数为：
2×9+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝73．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出每次变化增加个数的规律，列出代数式．
9．（2020秋•渝中区期末）计算：（﹣3）3×（13-59+427）的结果为（　　）
A．23 B．2 C．103 D．10
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】根据有理数的乘方和乘法分配律可以解答本题．
【解答】解：（﹣3）3×（13-59+427）
＝（﹣27）×（13-59+427）
＝（﹣27）×13-（﹣27）×59+（﹣27）×427
＝（﹣9）+15+（﹣4）
＝2，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
10．（2020秋•渝中区期末）如图，已知C为线段AB上一点，M、N分别为AB、CB的中点，若AC＝8cm，则MC+NB的长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】设MC＝xcm，则AM＝（8﹣x）cm，根据M、N分别为AB、CB的中点，得到BM＝（8﹣x）cm，NB＝（4﹣x）cm，再求解MC+NB即可．
【解答】解：设MC＝xcm，则AM＝AC﹣MC＝（8﹣x）cm，
∵M为AB的中点，
∴AM＝BM，
即BM＝（8﹣x）cm，
∵N为CB的中点，
∴CN＝NB，
∴NB=12（BM﹣MC）=12（8﹣x﹣x）＝（4﹣x）cm，
∴MC+NB＝x+（4﹣x）＝4（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
11．（2020秋•梁平区期末）小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻差1，根据题意列方程可解．
【解答】解；A：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+2）＝39，解得：
x＝12，故本选项不符合题意；
B：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+8）＝39，解得
x＝10，故本选项不符合题意；
C：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+16）＝39，解得
x＝5，故本选项不符合题意；
D：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+14）＝39，解得
x=173，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程在日历问题中的应用，明确日历中上下行及左右相邻数之间的关系是解题的关键．
12．（2007•长沙）在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母a，b，c…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y=x+12；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号y=x2+13．
字母
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
按上述规定，将明码“love”译成密码是（　　）
A．gawq B．shxc C．sdri D．love
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】先找出“love”中各个字母对应的数，判断出奇偶数，然后依据不同的解析式进行解答即可．
【解答】解：如l对应序号12为偶数，则密码对应序号为122+13＝19，对应s，
以此类推，得“love”译成密码是shxc．
故选：B．
【点评】此题考查学生知识迁移的灵活性及分类讨论的数学思想方法．
二．填空题（共6小题）
13．（2020秋•重庆期末）已知a、b满足a+1+(2a+b)2=0，则a+b的值为　1　．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a+1+(2a+b)2=0，
∴a+1＝0，2a+b＝0，
解得：a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查算术平方根和偶次方的非负性．根据非负数的性质，求出a、b的值是解决问题的关键．
14．（2020秋•重庆期末）如图，在直角坐标系xOy中，点P的坐标为（4，3），PQ⊥x轴于Q，M，N分别为OQ，OP上的动点，则QN+MN的最小值为　9625　．

【考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】作Q关于OP的对称点P′，连接P′Q交OP于E，则QE⊥OP，过P′作P′M⊥OQ于M交OP于N，则此时，QN+MN的值最小，且QN+MN的最小值＝P′M的长度，根据勾股定理得到OP=32+42=5，由三角形的面积公式得到QP′＝2EQ＝2OQ⋅PQPO=2×3×45=245，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：作Q关于OP的对称点P′，连接P′Q交OP于E，
则QE⊥OP，
过P′作P′M⊥OQ于M交OP于N，
则此时，QN+MN的值最小，且QN+MN的最小值＝P′M的长度，
∵PQ⊥x轴于Q，点P的坐标为（4，3），
∴OQ＝4，PQ＝3，
∴OP=32+42=5，
∴QP′＝2EQ＝2OQ⋅PQPO=2×3×45=245，
∵∠P′MQ＝∠P′MO＝∠P′EN＝90°，
∠P′NE＝∠MNO，
∴∠P′＝∠POQ，
∴△MP′Q∽△QOP，
∴P'QOP=P'MOQ，
∴2455=P'M4，
∴P′M=9625，
∴QN+MN的最小值为9625，
故答案为：9625．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
15．（2020秋•北碚区期末）若m2+mn＝﹣7，n2﹣5mn＝﹣17，则m2+6mn﹣n2＝　10　．
【考点】整式的加减．
【专题】计算题；整式．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：m2+mn＝﹣7，n2﹣5mn＝﹣17，
∴（m2+mn）﹣（n2﹣5mn）
＝m2+6mn﹣n2
＝﹣7﹣（﹣17）
＝17﹣7
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
16．（2020秋•北碚区期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边 　DC　．

【考点】一元一次方程的应用．
【专题】规律型．
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【解答】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为8×11+3=2，乙行的路程为8﹣2＝6，在AD边相遇；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×11+3=4，乙行的路程为16﹣4＝12，在DC边相遇；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×11+3=4，乙行的路程为16﹣4＝12，在CB边相遇；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为16×11+3=4，乙行的路程为16﹣4＝12，在AB边相遇；
…
∵2018＝504×4+2，
∴甲、乙第2018次相遇在边DC上．
故答案是：DC．
【点评】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
17．（2020秋•沙坪坝区校级期末）有理数a，b，c在数轴上所表示的点的位置如图所示，则化简|a+b|﹣2|c﹣b|+|c|﹣|c﹣a|＝　﹣3b　．

【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；数感．
【分析】由题意可知：a+b＜0，c﹣b＜0，c＜0，c﹣a＞0，根据绝对值的性质化简即可．
【解答】解：由题意可知：a+b＜0，c﹣b＜0，c＜0，c﹣a＞0，
则原式＝﹣a﹣b+2（c﹣b）﹣c﹣（c﹣a）＝﹣a﹣b+2c﹣2b﹣c﹣c+a＝﹣3b．
故答案为：﹣3b．
【点评】本题考查数轴、绝对值等知识，解题的关键是记住绝对值的性质：数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
18．（2020秋•沙坪坝区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，BC＝10，分别以直角三角形三边为直径向外作半圆，则图中阴影部分的面积为　24　．

【考点】认识平面图形．
【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；推理能力．
【分析】分别用AB、BC和AC表示出 S1、S2、S3，然后根据AB2＝AC2+BC2即可得出S1、S2、S3的关系，再证明阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积，可得结论．
【解答】解：分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，
由圆的面积计算公式知：S3=18πBC2，S2=18πAB2，S1=18πAC2，
则S1+S2=18π（AC2+AB2），
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3．
∵阴影部分面积等于：S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC=12×6×8＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查勾股定理，圆的面积等知识，解题的关键是证明阴影部分的面积之和等于直角三角形ABC的面积．
三．解答题（共8小题）
19．（2020秋•渝中区期末）计算：
（1）5×（﹣2）+（﹣18）÷（﹣3）；
（2）（﹣2）3+（﹣3）2+3×23-|﹣7|．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【分析】（1）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）5×（﹣2）+（﹣18）÷（﹣3）
＝（﹣10）+6
＝﹣4；
（2）（﹣2）3+（﹣3）2+3×23-|﹣7|
＝（﹣8）+9+2﹣7
＝﹣4．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
20．（2020秋•渝中区期末）解方程：
（1）2﹣x＝4x﹣8；
（2）2x-13-x+14=1-5x+26．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）移项，合并同类项，把方程化为ax＝b形式，把x的系数化为1；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把方程化为ax＝b形式，把x的系数化为1；
【解答】解：（1）2﹣x＝4x﹣8．
移项得：﹣x﹣4x＝﹣8﹣2,
合并同类项得：﹣5x＝﹣10,
把系数化为1：x＝2．
(2)2x-13-x+14=1-5x+26，
去分母得：
4(2x﹣1)﹣3(x+1)＝12﹣2(5x+2)，
去括号得：
8x﹣4﹣3x﹣3＝12﹣10x﹣4，
移项得：
8x﹣3x+10x＝12﹣4+4+3,
合并同类项得：
15x＝15,
把系数化为1：
x＝1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法．解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把方程化成ax＝b的形式，把系数化为1．
21．（2020秋•梁平区期末）如图，射线ON、OE，OS、OW分别表示从点O出发北、东、南、西四个方向，将直角三角尺的直角顶点与点O重合．
（1）图中与∠BOE互余的角是　∠NOB　或　∠AOW　；
（2）①用直尺和量角器作∠AOE的平分线OP；
②在①所做的图形中，如果∠AOE＝132°，那么点P在点O北偏东　24　°的方向上（请说明理由）．

【考点】方向角；余角和补角；作图—应用与设计作图．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据互余，平角的定义判断即可．
（2）利用角平分线的定义求出∠POE，再求出∠NOP即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝∠NOE＝90°，∠EOW＝180°，
∴∠AOW+∠BOE＝90°，∠NOB+∠BOE＝90°，
∴∠BOE互余的角有：∠NOB，∠AOW，
故答案为：∠NOB，∠AOW．

（2）①如图，射线OP即为所求作．

②∵∠AOE＝132°，OP平分∠AOE，
∴∠POE=12×132°＝66°，
∵∠NOE＝90°，
∴∠NOP＝90°﹣66°＝24°，
∴点P在点O的北偏东24°的方向上．
故答案为：24．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的定义，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2020秋•梁平区期末）先化简，再求值：
（1）当x=-52，y=25时，求xy+2y2+（x2﹣3xy﹣2y2）﹣（x2﹣xy）的值；
（2）2（2xy2-12y2）﹣（4xy2+23y2﹣x2y）-43y2，其中x=32，y=-13．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝xy+2y2+x2﹣3xy﹣2y2﹣x2+xy
＝﹣xy，
当x=-52，y=25，原式＝﹣（-52）×25=52×25=1；
（2）原式＝4xy2﹣y2﹣4xy2-23y2+x2y-43y2
＝﹣3y2+x2y，
当x=32，y=-13时，原式＝﹣3×（-13）2+（32）2×（-13）=-13-34=-1312．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2020秋•重庆期末）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．
（1）求线段AE的长．
（2）若图中所有线段长度的和是53cm，求BC+12DE的值．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）设AE＝xcm，根据三角形BDE与四边形ACDE的周长相等列方程，解方程即可；
（2）找出图中所有的线段，再根据所有线段长度的和是53cm，求出2BC+DE，得到答案．
【解答】解：（1）∵三角形BDE与四边形ACDE的周长相等，
∴BD+DE+BE＝AC+AE+CD+DE，
∵BD＝DC，
∴BE＝AE+AC，
设AE＝x cm，则BE＝（10﹣x）cm，
由题意得，10﹣x＝x+6．
解得，x＝2，
∴AE＝2cm；
（2）图中共有8条线段，
它们的和为：AE+EB+AB+AC+DE+BD+CD+BC＝2AB+AC+2BC+DE，
由题意得，2AB+AC+2BC+DE＝53，
∴2BC+DE＝53﹣（2AB+AC）＝53﹣（2×10+6）＝27，
∴BC+12DE=272（cm）．
【点评】本题考查的是三角形的周长、四边形的周长，正确作出图中所有线段是解题的关键．
24．（2020秋•重庆期末）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？

【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】（1）作AB⊥MN于B，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=12PA＝60m，由于这个距离小于100m，所以可判断拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，根据垂径定理得到BC＝BD，再根据勾股定理计算出BC＝80m，则CD＝2BC＝160m，根据速度公式计算出拖拉机在线段CD上行驶所需要的时间．
【解答】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB=12PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；

（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB=AC2-AB2=80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了垂径定理、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．
25．（2020秋•北碚区期末）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）如图①，若∠AOB＝120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处，
①若OM，ON旋转时间t＝3时，则∠BON'+∠COM'＝　30°　；
②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值；
（2）如图②，若∠AOB＝3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
（3）若∠AOC＝70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON＝20°，求t的值．
【考点】一元一次方程的应用；角的计算．
【专题】几何图形问题；分类讨论；应用意识．
【分析】（1）①先求出∠AOM'、CON'，再表示出∠BON'、∠COM'，然后相加并根据∠AOB＝120°计算即可得解；
②先由角平分线求出∠AOM'=∠COM'=12∠AOC，∠BON'=∠CON'=12∠BOC，再求出∠COM'+∠CON'=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M'ON'＝60°；
（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，进而得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解；
（3）设旋转时间为t，分四种情况讨论即可得解．
【解答】解：（1）①∵线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转3s，
∴∠AOM'＝3×20°＝60°，∠CON'＝3×10°＝30°，
∴∠BON'＝∠BOC﹣30°，∠COM'＝∠AOC﹣60°，
∴∠BON'+∠COM'＝∠BOC﹣30°+∠AOC﹣60°＝∠AOB﹣90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠BON'+∠COM'＝120°﹣90°＝30°．
故答案为30°；

②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，
∴∠AOM'=∠COM'=12∠AOC，∠BON'=∠CON'=12∠BOC，
∴∠COM'+∠CON'=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°，
即∠M′ON′＝60°；

（2）∠COM＝2∠BON，理由如下：
设∠BOC＝x，则∠AOB＝3∠BOC＝3x，∠AOC＝2x，
∵旋转t秒后，∠AOM＝20t，∠CON＝10t，
∴∠COM＝2x﹣20t＝2（x﹣10t），∠NOB＝x﹣10t，
∴∠COM＝2∠BON；

（3）设旋转t秒后，
①当OM与ON重合之前时，
可得：70°﹣20t+10t＝20°，
解得：t＝5；
②当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时，
可得：20t﹣10t﹣70°＝20°，
解得：t＝9；
③当OM旋转一周后，ON没有经过OA时，
10t+70°+20°＝360°，
解得：t＝27；
④当OM旋转一周后，ON经过OA后时，
10t+70°﹣20°＝360°，
解得：t＝31．
综上所述，所求t的值为5或9或27或31．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，角平分线等知识，利用分类讨论与方程思想是解题的关键．
26．（2021•河北模拟）一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得a2+b3=a+b2+3成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
（1）填空：（﹣4，9）　是　“相伴数对”（填是或否）；
（2）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；
（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m-223n﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．
【考点】整式的加减—化简求值；等式的性质；点的坐标．
【专题】整式；运算能力．
【分析】（1）利用“相伴数对”的定义计算即可判断；
（2）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；
（3）利用“相伴数对”定义得到9m+4n＝0，原式去括号整理后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵-42+93=1，-4+92+3=1，
∴-42+93=-4+92+3=1，
∴（﹣4，9）是“相伴数对”，
故答案为：是；
（2）根据题中的新定义得：12+b3=1+b2+3，
去分母得：15+10b＝6+6b，
解得：b=-94；
（3）由题意得：m2+n3=m+n2+3，
整理得：9m+4n＝0，
则原式＝m-223n﹣4m+6n﹣2＝﹣3m-43n﹣2=-13（9m+4n）﹣2＝﹣2．
【点评】本题主要考查整式的化简，运用到整式的加减运算；题目采用新定义的形式，需要考生正确理解新定义的内容，难度不大，熟练掌握整式的加减运算法则是关键．

考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
7．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
8．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
9．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
10．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
11．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
12．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
13．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
14．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
15．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
16．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．认识平面图形
（1）平面图形：
一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等．
（2）重点难点突破：
通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内．
19．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
20．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
21．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
22．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
23．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
24．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
25．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
26．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
27．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．