12.高一数学(人教B版)-余弦函数的性质与图像-1教案

教学基本信息

课题

余弦函数的性质与图像

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书数学必修第三册B版  出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年7月

教学目标及教学重点、难点

本节课借助诱导公式将正弦曲线平移得到余弦曲线，然后通过观察余弦曲线类比正弦函数的性质，研究了余弦函数的性质。进而利用余弦函数的性质与图像解决了实际问题，体会到余弦型函数问题既可通过诱导公式转化为正弦型函数问题，也可通过整体代换转化为余弦函数问题来解决。能够从中体会到转化、数形结合、类比的思想方法。培养独立研究问题，提炼性质的能力。共设计四道例题。

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

复习

复习正弦函数的性质与图像，复习余弦函数的概念。

为类比学习余弦函数的性质与图像作好准备

引入

这节课我们来研究余弦函数的性质与图像，如何研究余弦函数呢？先回顾下前面，我们是如何研究正弦函数的。我们仍然可以象前面研究正弦函数那样，先研究余弦函数的性质，再利用性质指导我们画出了余弦函数的图像，但在已有正弦函数图像的基础下，能简便些吗？

 在回顾研究正弦函数的方法的基础上引出研究余弦函数的方法。

新课

1、余弦函数的图像．

因为，所以余弦函数图象与正弦型函数的图象相似．@把正弦曲线向左平移个单位就可以得到，余弦函数的图象．

2、下面我们通过观察余弦函数 y= cosx 的图象，类比正弦函数的性质来探究余弦函数的性质．

(1)定义域：余弦函数的定义域为R；

(2)值域：值域为[－1，1]；

(3)周期性：

因为 cos(2k+x)=cosx，

所以余弦函数的周期是且，

所以余弦函数是周期函数，最小正周期是2π.

  (4)奇偶性：偶函数．

因为y=cosx的定义域为R

   又因为cos(－x)=cosx ，所以余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称．

  (5).单调性

余弦函数在每一个区间 上是增函数；在每一个区间上是减函数．

（6）对称中心

余弦函数的对称中心为。

（7）对称轴

余弦函数的对称轴为直线。

与正弦函数类似，我们也可以用五点法，作出余弦函数的图像的简图．

利用五点法作的简图．

通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是图像的最高点最低点与x轴的交点，我们可以先描出这样的五个点．

观察可把余弦转化为正弦的诱导公式，发现可作出余弦函数图像的方法。

通过观察余弦函数的图像类比正弦函数的性质研究余弦函数的性质，也可从余弦函数定义从单位圆中看出相关性质，还可用诱导公式来证明有关性质，广泛联系，多角度看性质。

例题

例1、求下列函数的最大值与最小值，以及使函数取得最大值和最小值时自变量的值．

     （1）y=－3cosx+1； 

解：(1)因为，

所以.

所以.

当，即时，；

当，即时，

（2）

解：(2) 令，则．

当即当，

即时，；

当即当，即时，．

例2、判断下列函数的奇偶性

（1）；    

（2）.

解：（1）因为函数的定义域为R，

∴ 函数是偶函数.

(2) 因为定义域为R，

f(－x)=cos(－x)sin(－x)=－cosxsinx=－f(x).

∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.

例3、（1）求函数的最小正周期．

解：令，则．

因为的周期为，

即，

所以，

即，

即

所以函数的最小正周期为是．

（（2）求函数的对称中心．

解：，则．

因为的对称中心为，．

（就是的零点。）

令，解得

．

所以函数的对称中心为

．

（3）求函数的单调区间．

解：，则．

因为在区间上单调递增，

令，解得

，

所以函数在区间

上单调递增。

例4、求函数，的最大值和最小值．

解：由，可得．

令，则，．

函数在上单调递增，在上单调递减．

又因为

当，即时，；

当，即时，．

所以函数在上的最小值为，最大值为．

应用余弦函数的性质与图像解决问题，加深对性质的理解，熟悉相关思想方法的应用。

借助余弦函数的最值求新函数的最值．

熟悉与正余弦函数相关的函数的奇偶性问题。

体会余弦型函数问题通过整体代换转化为余弦函数问题来解决的方法。

．

总结

这节课，我们通过诱导公式将正弦转化为余弦，这种数的关系反映在形上，就是正弦曲线左移个单位可得余弦曲线，通过观察余弦曲线可发现余弦函数性质，通过类比正弦函数的性质可得余弦函数的性质。通过余弦函数的定义从单位圆也可看出余弦函数的性质，还可利用诱导公式去证明余弦函数的性质。以上我们多方面联系，从不同角度去研究了余弦函数的性质。

回顾研究余弦函数的性质与图像的过程与方法，使学生进一步熟悉研究函数的常用方法.

作业

1.不求值，分别比较下列各组余弦值的大小．

（1）和；（2）和．

2.求函数的最大值和最小值，并分别求出函数取最大值和最小值时的值．

3.求函数的单调区间．

应用余弦函数的性质与图像解决问题，巩固本节课的知识与方法.