14高一数学(人教B版)-正切函数的性质与图像-1教案

教学基本信息

课题

正切函数的性质与图像

学科

数学

学段： 高中

年级

高一

教材

书名：普通高中教科书数学必修第三册B版  出版社：人民教育出版社            出版日期：2019年7月

教学目标及教学重点、难点

本课利用正切线、诱导公式等先研究解析式本身得出些性质，利用性质指导我们画出正切函数的图形，然后再数形结合进一步发现更多性质去理解性质。培养学生研究问题提炼性质的能力。共设计六道例题。

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

复习

复习：什么叫正切函数？

我们已经知道，对于任意一个角，只要，就有唯一确定的正切值与之对应，因此是一个函数，称为正切函数。

复习：什么叫正切线？

过点A（1，0）作单位圆的切线，与象限角x的终边或其延长线交于T点，就是角的正切线。

为研究正切函数的性质与图像作好准备

引入

问题：如何研究正切函数的性质与图像？

前面我们研究正弦函数的方法是先研究性质，利用性质指导画图，研究余弦函数是利用平移得到余弦函数的图像，正切函数的图像不能通过平移得到。我们还需象研究正弦函数那样：先研究正切函数的定义及解析式本身得出些性质，利用性质指导我们画图．

 在回顾研究正弦函数、余弦函数的方法的基础上引出研究正切函数的方法。

新课

一、正切函数的性质

（1）定义域：。

由此想象图象会具有什么特点？

（2）（正切函数的奇偶性是怎样的？）

奇偶性：奇函数。

由此想象图像会具有什么特点？

（3）（正切函数的周期性是怎样的？）

周期性：是周期为的周期函数。

由此想象图象会具有什么特点？

（4）单调性：（正切函数的奇偶性是怎样的？）

利用几何画板动画观察：随着角在的逐渐增大，正切线从负的无穷远处向正的无穷远处变化，对应的正切值也由负无穷逐渐增大到正无穷。

根据周期性可知：正切函数在每一个开区间上都是单调递增的。的每一个取定的值都对应着一个单调区间。

（5）值域：R

2.正切函数的图像

列表

描点，连线

然后作这一段图像关于原点对称的图像，最后得到在区间上的图像。

再根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右平移，得到正切函数y=tanx,x∈R，且的图象，一般地，的函数图像称为正切曲线。

观察正切曲线还能发现什么性质？

（5）零点：（观察正切曲线可以看出）正切函数的零点为

（观察正切曲线还能发现什么性质？正切曲线有对称中心吗？）

（6）正切曲线的对称中心为。

类比研究究正弦函数的性质与图像的方法研究正切函数的性质与图像，通过研究正切函数的性质画出正切函数图像，再通过图像发现更多性质。在解决问题的过程中由数思形，由形到数，反复进行数形转化。从定义单位圆三角函数线，诱导公式等多角度认识正切函数的性质与图像。

例题

例1、判断下列命题是否正确．

①正切函数在其定义域上是增函数；

②正切函数在它的每一个周期内都是增函数；

③正切函数在每一个区间上是增函数；

④正切函数在每一个区间上是增函数；

例2、不求值，分别比较下列各组正切值的大小．

（1）与；

（2）．

例3、函数的值域是    ．

例4、求函数的定义域．

例5、（1）求函数的周期；

（2）求函数的单调区间；

（3）求函数的图像的对称中心．

例6、判断函数的奇偶性，并说明理由．

应用正切函数的性质与图像解决问题，加深对性质的理解，熟悉相关思想方法的应用。

借助正切函数的单调性比较函数值的大小．

体会解决正切型函数问题的方法，与前面解正弦型、余弦型函数问题的方法类似，通过换元，整体代换可将问题转化为正切函数问题来解决．

熟悉与正切函数相关的函数的奇偶性问题。

总结

这节课，先研究正切函数的定义及解析式本身得出了些性质，利用性质指导我们画出了正切函数的图像，再利用图像帮助我们发现了更多的性质，帮助我们理解性质，再利用性质与图像解决了有关问题，在解决问题的过程中运用了类比、整体代换、数形结合等思想方法．

回顾研究正切函数的性质与图像的过程与方法，使学生进一步熟悉研究函数的常用方法.

作业

1.不求值，分别比较下列各组正切值的大小．

（1）和；

（2）和．

2.求函数的定义域．

3.求函数的周期和单调区间．

应用正切函数的性质与图像解决问题，巩固本节课的知识与方法.