22.高一数学(人教B版)-两角和与差的余弦-1教案

教学基本信息

课题

两角和与差的余弦公式

学科

数学

学段：    高中

年级

高一

教材

书  名： 普通高中教科书数学（B版）必修第三册 

出版社：人民教育出版社     出版日期：2019 年 7 月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

（1）通过特殊角的三角函数值试求非特殊角的余弦值，猜想两角差的余弦公式，

根据猜想出来的公式, 引导学生找到推导公式的方法；

（2）理解两角差的余弦公式的推导过程,推导过程中给学生渗透直观想象、数学

抽象、逻辑推理三大核心素养，体验和领会数形结合的数学思想；

（3）通过对两角和与差余弦公式的简单应用，理解公式的结构及功能。

教学难点：两角差的余弦公式的推导；

教学重点：两角和与差的余弦公式的应用。

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

温故知新

复习回顾

1.向量的数量积

（1）若已知与夹角为，则；

（2）若已知，则.

温故知新，为本节课两角差的余弦公式的推导做基础准备.

探究新知

典例剖析

反思总结

课外作业

2.单位圆上点的坐标

（1）设角α的终边与单位圆交于一点P，则P的坐标为（cosα，sinα）；

（2）设角β的终边与单位圆交于一点Q，则Q的坐标为（cosβ，sinβ）.

（一）提出问题，猜想公式

我们已经熟知的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出的值呢?

能否说因为

             =

这显然是不对的：一定大于0，但上式右边小于0.既然，那么的值和的正弦、余弦值有没有关系？更一般的对于任意角α，β，α-β的余弦值与α，β的三角函数值有没有关系？如果有又有何关系？

事实上，利用单位圆以及向量的数量积，可以证明，对于任意α，β，都有       

（二）引导学生，推导公式

证明：在平面直角坐标系xoy中，设α，β的终边与单位圆的交点分别为P,Q，则

由向量数量积的定义可知：

师：我们找到了向量夹角的余弦值与α，β三角函数值的关系，接下来的核心是找出与α-β的关系。

α，β为任意角，而的范围为，因此

在图（1）中，

在图（2）中，与向量OP、向量OQ夹角的和为

图（1）                 图（2）

（三）借助公式，解决初始问题

或者

（四）借助差角公式，推导和角公式

有了两角差的余弦公式，又如何得到两角和的余弦公式呢？

我们说加一个数即减去它的相反数，所以可借助两角差的余弦公式去推得两角和的余弦.

（五）解读公式

对于两个公式，做以下四点说明：

1.公式对任意角α、β都成立；

2.公式特点是，公式中右边有两项，两项排列顺序是cosαcosβ,sinαsinβ, 中间符号与左边两角间符号相反，可以用口诀“余余正正，加减相反”来辅助记忆公式；

前面我们借助三角函数线推得公式：，事实上，我们还可借助两角差的余弦公式推导其成立.

3. 和（差）角公式可以看成诱导公式的推广，诱导公式可以看成和（差）角公式的特例.当α,β中有一个角是整数倍时，用诱导公式较简便；

4.公式从左往右正用可以将一些非特殊的角转化为两特殊角的和或差，从而求出此角的余弦值；从右往左反用，可以将满足右边特点的式子化简为某个角的余弦.

设计意图：熟悉两角和与差公式的正用；

设计意图：熟悉两角和与差公式的反用；

设计意图：诱导公式和两角和与差公式的简单综

合应用；

设计意图：两角和的余弦公式中，特殊地，两角相等时的反用；

    本节课我们借助单位圆和向量数量积的相关知识，推导出了两角差的余弦公式，推导过程中渗透了数学抽象、直观想象、逻辑推理三大核心素养；之后将加法视为减去一个数的相反数，利用已推导出的差角公式得到了两角和的余弦公式，并通过三个实例熟练了公式正向和逆向的灵活应用，能够准确书写相关的解答题.

1. 求下列格式的值.

从知识需要出发，创设情境，提出问题，猜想公式.

引导学生

理解公式推导

“数形结合”

帮助学生理解

的关系

解决一开始

提出的问题

借助已经推导出的两角差的余弦公式，推导两角

和的余弦公式

对推导出的两角和与差的余弦公式结构特征进行说明，帮助学生理解记忆公式，让学生能意识到部分诱导公式其实是两角和与差的余弦公式的特列，两角和与差的余弦公式是其推广.

通过实例，强化对公式的理解和应用.

通过小结，反思学习过程中公式的产生、推导、公式结构特征及功能.