24.高一数学(人教B版)-两角和与差的正弦、正切（第一课时）-1教案.

教学基本信息

课题

两角和与差的正弦、正切（第一课时）

学科

数学

学段：高中

年级

高一

教材

书名： 普通高中教科书数学必修第三册（人教B版）               

出版社：人民教育出版社            出版日期：  2019  年7  月

教学目标及教学重点、难点

教学目标：

1. 理解两角和与差的正弦公式的推导过程，在推导过程中体验数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算四大核心素养;

2．通过观察、分析、类比、联想，体会用两角和与差的正弦公式求值、化简，进行简单的恒等变形;会根据已知点的坐标，求出旋转后的坐标；能熟练地掌握函数的相关性质和物理意义；

3．发展学生的正向、逆向思维和发散思维的能力，构建良好的数学思维品质.

教学重点、难点

教学重点：两角和与差的正弦公式的应用和辅助角公式.

教学难点：利用两角和与差的正弦公式

将函数转化为的形式.

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

温故知新 

1．诱导公式二      

利用诱导公式二，可以把负角的三角函数值转化为正角的同名三角函数值.

2．诱导公式五      

利用诱导公式五，可以把一个角的正弦、余弦转化为它的余角的余弦、正弦.

3．两角差的余弦公式

    利用这个公式可以将角与差的余弦用角,角正弦、余弦表示.

通过对旧知识的回忆，检查学生对已学知识是否掌握，从而为探索新知做准备.

探究新知

由特殊到一般，利用诱导公式以及两角和与差的余弦公式推导出两角和的正弦公式.

再用 替换中的推导出两角差的正弦公式.

分析两角和与差的正弦公式的特点，帮助学生记忆公式.

应用所学公式,解决三角函数求值问题，证明诱导公式等.

典例剖析

例1 已知向量如图所示，将向量绕

原点沿逆时针方向旋转到的位置.

求点 的坐标

解

因此

从而

.

例2  求证:

证明  (法1)  因为 所以

这种证明方法是将等式的左边化为右边,是两角和与差正弦公式的逆用;

 (法2)

这种证明方法是将等式的右边化为左边,是两角和与差正弦公式的正用.

尝试与发现  

如果函数

你能求出的最大值及最大值点吗？

由例2的结果可知，

因此的最大值为1，而且的最大值点满足因此最大值点为

例3  在求函数的最小值时，下面的说法正确吗？

“因为的最小值为 ,的最小值也为 ,所以的最小值为 .”

如果不对,指出原因,并求的周期、最小值与最小值点.

解  因为时有

而时有

因此与不能同时成立，这就是说，的最小值不是，有关说法不对.

又因为 ,所以

由此可知函数的周期为 最小值为而且最小值点满足因此最小值点为

探究：

由例3可以看出:当a，b都是不为零的常数时，为了求出函数的周期、最值等，关键是要将函数化为的形式.也就是说,要找到合适的和,使得

  ①  恒成立.

尝试与发现：

满足①式的和一定存在吗?它们与a,b有什么关系？

如果①式恒成立,则将①式的右边用展开可得

,

 因此从而可知

因此,如果取则有

   ②

由②式以及任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为 的点为,而是以射线为终边的角,如图所示，则一定满足②式.

这就是说， 满足①式的

和一定存在.因此其中满足②式.

公式

其中

这里的是我们引入用来辅助计算的一个角，所以通常称这个公式为“辅助角公式”.

例4   已知函数求的周期、最小值及最小值点.

解  因为.所以

所以，

由此可知函数的周期为最小值为-2，而且最小值点满足因此最小值点为

通过例1，不仅练习了两角和的正弦和余弦公式，还体会了向量的旋转变换，复习了角的定义、三角函数的定义等知识.可以感受到知识之间的广泛联系性.

证明一个等式，可以从左边推出右边，也可以由右边推出左边来证明.体会两角和与差的正弦公式的正用与逆用.

为了引出辅助角公式做准备，体现了从特殊到一般的认知规律.

利用两角和的正弦公式将函数转化为正弦型函数,这是一种经常用到的变换，再利用正弦型函数的图像与性质，研究三角函数的周期、单调性、最值和最值点等相关性质.

引导学生在涉及到解决三角函数的值域、周期等性质的问题时首先要把解析式化简成一个角的三角函数形式，此问题得以解决的实质是构造两角和的正弦展开式的结构逆用公式.理解辅助角公式的推导过程.

要研究函数的性质，必须要把转化为的形式，这是一种非常重要的变换，在变换的过程中用到了辅助角公式，其本质就是两角和与差的正弦公式的逆用.

课堂小结

1.本节课你学到了什么？

两角和与差的正弦公式、辅助角公式；

2.你是如何获得这些知识的？

从特殊到一般，从具体到抽象；

3.通过本节课的学习，谈谈你的体会.

用已知探究未知的方式，探究过程体会了从特殊到一般的数学思想.

让学生通过小结，反思学习过程，加深对两角和与差的正弦公式的推导过程的理解，会应用两角和与差的正弦公式求值和证明，领会研究问题的方法；明确研究问题的步骤.

布置作业

1.已知向量将绕原点旋转到 的位置.求点的坐标.

2.求函数的周期、最值以及最值点.

通过这两道问题的解决,巩固本节课所学的知识.