2020-2021学年宁夏某校高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含解析）

这是一份2020-2021学年宁夏某校高二（上）期末数学试卷（文科）人教A版（Word含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数(1+2i)i＝a+bi，a∈R，b∈R，a+b＝（ ）
A.−3B.−1C.1D.3

2. 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A.模型1的相关指数R2为0.98
B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.25

3. 有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b // 平面α，直线a⊂平面α，则直线b // 直线a”，结论显然是错误的，这是因为（ ）
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

4. 已知两定点F1(5, 0)，F2(−5, 0)，曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ ）
A.x29−y216=1B.x216−y29=1C.x225−y236=1D.y225−x236=1

5. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
现根据表中所提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为y​=2x−1，则a值等于（ ）
A.4.5B.5C.5.5D.6

6. 已知抛物线x2＝4y上一点M到焦点的距离为2，则点M到x轴的距离为（ ）
A.B.1C.2D.4

7. 若函数f(x)=lnx−mx在[1, 3]上为增函数，则m的取值范围为( )
A.(−∞, −1]B.[−3, +∞)C.[−1, +∞)D.(−∞, −3]

8. 在极坐标系中，点到直线的距离为（ ）
A.5B.4C.3D.2

9. 已知z¯是复数z的共轭复数，z+z¯+z⋅z¯=0，则复数z在复平面内对应的点的轨迹是（ ）
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

10. 已知函数f(x)=13ax3+12bx2−x(a>0, b>0)在x=1处取得极小值，则1a+4b的最小值为( )
A.4B.5C.9D.10

11. 已知点A的坐标为(5, 2)，F为抛物线y2＝x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（ ）
A.(1，）B.（，2)C.（，−2)D.(4, 2)

12. 已知函数f(x)=exx−ax，x∈(0, +∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2−f(x2)x10)，
∴ f′(x)=ax2+bx−1，
由在x=1处取得极小值，可得a+b=1，
则1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=5+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，
当且仅当b=2a=23时取等号，
则1a+4b的最小值为9．
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
由抛物线的定义可知：|PF|＝|PH|，则|PA|+|PF|＝|PA|+|PH|，则当A，P，H三点共线时，|PA|+|PH|取最小，即可求得P点坐标．
【解答】
由题意可知：A(5, 2)在抛物线内部，设P(x, y)
则由抛物线的定义可知：|PF|＝|PH|，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PH|，则当A，P，H三点共线时，|PA|+|PH|取最小，
则y＝2，则x＝4，
故P点坐标为(4, 2)，
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据题意可得函数g(x)＝xf(x)＝ex−ax2在x∈(0, +∞)时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可
【解答】
∵ x∈(0, +∞)，
∴ x1f(x1)0，
∴ x1+x2=6，x1x2=1．
∴ |AB|=x1+x2+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立x=ky+1y2=4x消去x得y2−4ky−4=0．△>0，
∴ y1+y2=4k，y1y2=−4，
设A=(x1, y1)，B=(x2, y2)，则OA→=(x1,y1)，OB→=(x2,y2)．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=−4k2+4k2+1−4=−3．
∴ OA→⋅OB→=−3是一个定值．
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；
（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
【解答】
（1）解：∵ 直线L的斜率为1且过点F(1, 0)，∴ 直线L的方程为y=x−1，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立y=x−1y2=4x消去y得x2−6x+1=0，△>0，
∴ x1+x2=6，x1x2=1．
∴ |AB|=x1+x2+p=8．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，联立x=ky+1y2=4x消去x得y2−4ky−4=0．△>0，
∴ y1+y2=4k，y1y2=−4，
设A=(x1, y1)，B=(x2, y2)，则OA→=(x1,y1)，OB→=(x2,y2)．
∴ OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2
=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=−4k2+4k2+1−4=−3．
∴ OA→⋅OB→=−3是一个定值．
【答案】
解：(1)由于x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ C1:x=−2 的极坐标方程为 ρcsθ=−2，
C2：(x−1)2+(y−2)2=1的极坐标方程为：
(ρcsθ−1)2+(ρsinθ−2)2=1，
化简可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0．
(2)把直线C3的极坐标方程θ=π4(ρ∈R)代入
圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，
可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0，
求得ρ1=22，ρ2=2，
∴ |MN|=|ρ1−ρ2|=2，
由于圆C2的半径为1，
∴ C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为12⋅C2M⋅C2N=12⋅1⋅1=12．
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的极坐标方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
(Ⅰ)由条件根据x＝ρcsθ，y＝ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2−32ρ+4＝0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积12⋅C2M⋅C2N的值．
【解答】
解：(1)由于x=ρcsθ，y=ρsinθ，
∴ C1:x=−2 的极坐标方程为 ρcsθ=−2，
C2：(x−1)2+(y−2)2=1的极坐标方程为：
(ρcsθ−1)2+(ρsinθ−2)2=1，
化简可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0．
(2)把直线C3的极坐标方程θ=π4(ρ∈R)代入
圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，
可得ρ2−(2ρcsθ+4ρsinθ)+4=0，
求得ρ1=22，ρ2=2，
∴ |MN|=|ρ1−ρ2|=2，
由于圆C2的半径为1，
∴ C2M⊥C2N，
△C2MN的面积为12⋅C2M⋅C2N=12⋅1⋅1=12．
【答案】
（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 630=15，
∴ 男性应该抽取20×15=4人…．
(II)在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：(A, B)、(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)、(c, d)、(c, e)、(c, f)、(d, e)、(d, f)、(e, f)共15种情况，其中恰有1名女生情况有：(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)，共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=815．…．
(III)∵ K2≈8.333，且P(k2≥7.879)＝0.005＝0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．
【考点】
分层抽样方法
独立性检验
【解析】
（I）根据分层抽样的方法，在患心肺疾病的人群中抽6人，先计算了抽取比例，再根据比例即可求出男性应该抽取人数．
(II)在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，列出其一切可能的结果组成的基本事件个数，通过列举得到满足条件事件数，求出概率．
(III)根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握认为心肺疾病与性别有关．
【解答】
（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 630=15，
∴ 男性应该抽取20×15=4人…．
(II)在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：(A, B)、(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)、(c, d)、(c, e)、(c, f)、(d, e)、(d, f)、(e, f)共15种情况，其中恰有1名女生情况有：(A, c)、(A, d)、(A, e)、(A, f)、(B, c)、(B, d)、(B, e)、(B, f)，共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P=815．…．
(III)∵ K2≈8.333，且P(k2≥7.879)＝0.005＝0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．
【答案】
根据表中的数据画出散点图如右图：
由题中数据列表如下：
，，，，
∴ ，，
∴ ；
令0.73x−0.875≤10，解得x≤14.9≈15，
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）直接由表格中的数据可得散点图；
（2）由已知数据求得与的值，可得y关于x的线性回归方程；
（3）由0.73x−0.875≤10求解x的范围得结论．
【解答】
根据表中的数据画出散点图如右图：
由题中数据列表如下：
，，，，
∴ ，，
∴ ；
令0.73x−0.875≤10，解得x≤14.9≈15，
故机器的运转速度应控制在15转/秒内．
【答案】
定义域为(0, +∞)，
f′(x)＝−2mx＝，
①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；
②当m>0时，令f′(x)>0，解得00)，则h′(x)＝，
令φ(x)＝2lnx+x，因为φ（）＝−ln40，且φ(x)为增函数，
故存在x0∈（，1)，使φ(x0)＝0，即2lnx0+x0＝0，
当0x0时，h′(x)0)恒成立，令h(x)＝(x>0)，利用导数求出h(x)的最大值，即可求得m的取值范围，从而可求得整数m的最小值．
【解答】
定义域为(0, +∞)，
f′(x)＝−2mx＝，
①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0, +∞)上是增函数；
②当m>0时，令f′(x)>0，解得00)，则h′(x)＝，
令φ(x)＝2lnx+x，因为φ（）＝−ln40，且φ(x)为增函数，
故存在x0∈（，1)，使φ(x0)＝0，即2lnx0+x0＝0，
当0x0时，h′(x)