还剩21页未读，
继续阅读
山东省济宁市汶上县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
展开
这是一份山东省济宁市汶上县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了若点A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市汶上县九年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．2021年国庆节期间，许多单位用鲜花围成了几何图形庆祝祖国母亲72周岁生日下列围成的几何图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
2．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．+4＝0
3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝3x2，则平移前的抛物线解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣3
4．某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝285
B．60（1﹣x）2＝285
C．60（1+x）+60（1+x）2＝285
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么使得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP′A重合，连接PP′，如果BP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
9．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．6﹣π B．6﹣2π C．6+π D．6+2π
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
二．填空题（共5小题）
11．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n＝ ．
12．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，求方程的另一根是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是 ．
14．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 ．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
17．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C，画出旋转后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
19．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠AOE＝60°，OE＝3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的最小值．
21．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
例如：已知方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2．
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1、x2＝＝＝﹣．
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）设a，b是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．
（3）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的两个实数根分别是x1，x2且，求k的值．
22．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数y＝k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和B（﹣1，﹣k）．
（1）当k＝﹣3时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的值的范围；
（3）设一次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．（参考：两点间距离公式）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．2021年国庆节期间，许多单位用鲜花围成了几何图形庆祝祖国母亲72周岁生日下列围成的几何图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．+4＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3，
整理得：﹣3x﹣4＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝3x2，则平移前的抛物线解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣3
【分析】利用反向平移解决问题，先确定y＝x2+4x+4的顶点坐标为（﹣2，0），在把把点（﹣2，0）反向平移得到（0，﹣4），然后根据顶点式写出原抛物线解析式．
解：y＝3x2，此抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移3个单位再向右平移2个单位所得对应点的坐标为（2，﹣3），
所以原抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
4．某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝285
B．60（1﹣x）2＝285
C．60（1+x）+60（1+x）2＝285
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285
【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
解：∵三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
∴四月份接种人数为60（1+x），五月份为60（1+x）2人，
∴方程为：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，
故选：D．
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
解：∵k＝﹣3＜0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜0，
∵y1＞0，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
6．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么使得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的a的值，然后利用概率公式求解即可．
解：∵关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴△＝22﹣4×1×（3﹣a）＝﹣8+4a≥0，
解得：a≥2，
∴a可取3，2，
∵3﹣a≠0，
∴a≠3，
∴a的值为2，
∴使得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的概率为，
故选：B．
7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠AOB＝40°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ADC＝∠AOB＝20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°．
故选：B．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP′A重合，连接PP′，如果BP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
【分析】由旋转的性质可证△PBP'是等腰直角三角形，再运用勾股定理求出PP'的长．
解：∵将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP′A重合，
∴∠PBP'＝∠ABC＝90°，BP＝BP'，
∴△PBP'是等腰直角三角形，
∴PP'＝＝3，
故选：A．
9．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．6﹣π B．6﹣2π C．6+π D．6+2π
【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6××2×）＝6﹣π，
故选：A．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴与轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n＝ ﹣1 ．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
所以，m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，求方程的另一根是 ﹣3 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个实根之积求出另一根即可．
解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2x1＝﹣6，
∴x1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是 4 ．
【分析】根据题意求出AB，根据勾股定理求出OC，根据垂径定理解答．
解：∵A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），
∴OA＝2，OB＝2，
则AB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2OC＝4，
故答案为：4．
14．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ 12 ．
【分析】方法一：根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△AON＝S△OBM，由BC∥x轴，AC∥y轴可得S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，再根据S△AON＝xA•yA＝3，即可得出三角形ABC的面积．
方法二：设出A点坐标，根据题意得出B、C点的坐标，再根据面积公式刚好消掉未知数求出面积的值．
解：方法一：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴S△AON＝S△OBM，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，
即S△ABC＝4S△AON＝4×xA•yA＝4×＝12；
方法二：根据题意设A（t，），
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（﹣t，﹣），
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴C（t，﹣），
∴S△ABC＝BC•AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；
故答案为：12．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 ．
【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴线段OQ的最小值为．
故答案为．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
则x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，
∴2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝0.5．
17．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0
1
﹣2
3
0
1
﹣2
3
1
﹣1
﹣3
2
﹣2
2
3
5
3
﹣3
﹣2
﹣5
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
∴此游戏公平．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C，画出旋转后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
【分析】（1）先利用点A、B的坐标建立直角坐标系，根据三角形外心的性质得到AC的中点为D；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A′、B′即可；
（3）先计算出CA的长，然后根据弧长公式计算．
解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；
（2）如图，△A'B'C为所作；
（3）CA＝＝2，
所以△ABC旋转过程中点A经过的路径长＝＝π．
19．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠AOE＝60°，OE＝3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的最小值．
【分析】（1）过点O作OD⊥AC，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段OD＝半径OE，根据切线的定义即可得出结论；
（2）延长AO交⊙O于点G，连接EG交BC于点P，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点P为所求的点；连接EF，过点E作EH⊥AO于点H，利用等边三角形的判定定理可得△OEF为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求OH与EH的长，再利用勾股定理即可求得结论．
【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AC与点D，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC．
∵OE⊥AB，OD⊥AC，
∴OD＝OE．
∵OE是圆的半径，
∴OD是圆的半径．
这样，AC经过半径OD的外端，且垂直于半径OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值．
延长AO交⊙O于点G，连接EG交BC于点P，连接PF，则此时PF+PE最小．
连接EF，过点E作EH⊥AO于点H，如图，
∵∠AOE＝60°，OE＝OF，
∴△OEF为等边三角形，
∴EF＝OE＝OF＝3．
∵EH⊥OF，
∴OH＝HF＝OF＝．
∴GH＝OG+OH＝3+＝．
在Rt△EHO中，
∵sin∠AOE＝，
∴EH＝OE×＝．
在Rt△EHG中，
EG＝＝3．
∵BC⊥FG，OG＝OF，
∴PG＝PF．
∴PE+PF＝PE+PG＝EG＝3．
∴在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值．PF+PE的最小值为3．
21．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
例如：已知方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2．
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1、x2＝＝＝﹣．
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）设a，b是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 2021 ．
（3）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的两个实数根分别是x1，x2且，求k的值．
【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，求出a2+a＝2022，再代入求出即可．
（3）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．
解：（1）∵方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣2；
（2）∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2022，
则a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2022﹣1＝2021；
故答案为：2021；
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的两个实数根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，
又∵，
∴+＝＝，
即 ＝，
解得：k1＝，k2＝，
又∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1≥0，
解得k≥﹣，
即：k＝．
22．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数y＝k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和B（﹣1，﹣k）．
（1）当k＝﹣3时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的值的范围；
（3）设一次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．（参考：两点间距离公式）
【分析】（1）利用待定系数法直接可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据直角三角形的性质可得OQ＝OA＝OB，作AD⊥OC，QC⊥OC，根据勾股定理可得方程，求解可得答案．
解：（1）当k＝﹣3时，A（1，﹣3），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y＝，
代入A（1，﹣3）得：﹣3＝，
解得：m＝﹣3．
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函数y＝k（x2+x﹣1）＝k（x+）2﹣k，对称轴为：直线x＝﹣，
要使二次函数y＝k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x＜﹣；
（3）由（2）可得：Q（﹣，﹣k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称．
∴原点O平分AB，
∴OQ＝OA＝OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为D、C，
∴OQ＝＝，
∵OA＝＝，
∴＝，
解得：k＝±．
2021-2022学年山东省济宁市汶上县九年级第一学期期末数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．2021年国庆节期间，许多单位用鲜花围成了几何图形庆祝祖国母亲72周岁生日下列围成的几何图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
2．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．+4＝0
3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝3x2，则平移前的抛物线解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣3
4．某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝285
B．60（1﹣x）2＝285
C．60（1+x）+60（1+x）2＝285
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么使得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP′A重合，连接PP′，如果BP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
9．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．6﹣π B．6﹣2π C．6+π D．6+2π
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
二．填空题（共5小题）
11．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n＝ ．
12．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，求方程的另一根是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是 ．
14．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 ．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
17．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C，画出旋转后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
19．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠AOE＝60°，OE＝3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的最小值．
21．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
例如：已知方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2．
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1、x2＝＝＝﹣．
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）设a，b是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．
（3）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的两个实数根分别是x1，x2且，求k的值．
22．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数y＝k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和B（﹣1，﹣k）．
（1）当k＝﹣3时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的值的范围；
（3）设一次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．（参考：两点间距离公式）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．2021年国庆节期间，许多单位用鲜花围成了几何图形庆祝祖国母亲72周岁生日下列围成的几何图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D．正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．+4＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．x（x﹣1）＝（x+1）2+3，
整理得：﹣3x﹣4＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝3x2，则平移前的抛物线解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣3
【分析】利用反向平移解决问题，先确定y＝x2+4x+4的顶点坐标为（﹣2，0），在把把点（﹣2，0）反向平移得到（0，﹣4），然后根据顶点式写出原抛物线解析式．
解：y＝3x2，此抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移3个单位再向右平移2个单位所得对应点的坐标为（2，﹣3），
所以原抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2﹣3．
故选：C．
4．某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝285
B．60（1﹣x）2＝285
C．60（1+x）+60（1+x）2＝285
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285
【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．
解：∵三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
∴四月份接种人数为60（1+x），五月份为60（1+x）2人，
∴方程为：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，
故选：D．
5．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数的性质判断即可．
解：∵k＝﹣3＜0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜0，
∵y1＞0，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
6．在﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么使得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】确定得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的a的值，然后利用概率公式求解即可．
解：∵关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴△＝22﹣4×1×（3﹣a）＝﹣8+4a≥0，
解得：a≥2，
∴a可取3，2，
∵3﹣a≠0，
∴a≠3，
∴a的值为2，
∴使得关于x的二次函数y＝（3﹣a）x2+2x+1的图象与x轴有交点的概率为，
故选：B．
7．如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝50°，则∠OCD为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠AOB＝40°，再利用圆周角定理得到∠ADC＝20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．
解：连接OA，如图，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠B＝50°，
∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ADC＝∠AOB＝20°，
∵AD∥OB，
∴∠OCD＝∠ADC＝20°．
故选：B．
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP′A重合，连接PP′，如果BP＝3，那么PP′的长等于（ ）
A．3 B．2 C．4 D．3
【分析】由旋转的性质可证△PBP'是等腰直角三角形，再运用勾股定理求出PP'的长．
解：∵将△BPC绕点B逆时针旋转后，能与△BP′A重合，
∴∠PBP'＝∠ABC＝90°，BP＝BP'，
∴△PBP'是等腰直角三角形，
∴PP'＝＝3，
故选：A．
9．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A．6﹣π B．6﹣2π C．6+π D．6+2π
【分析】图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
解：6个月牙形的面积之和＝3π﹣（22π﹣6××2×）＝6﹣π，
故选：A．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，与轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴与轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．坐标平面内的点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m+n＝ ﹣1 ．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
所以，m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，求方程的另一根是 ﹣3 ．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常数）的两个实根之积求出另一根即可．
解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2x1＝﹣6，
∴x1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长度是 4 ．
【分析】根据题意求出AB，根据勾股定理求出OC，根据垂径定理解答．
解：∵A、B两点的坐标分别为（0，2）、（0，﹣2），
∴OA＝2，OB＝2，
则AB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2OC＝4，
故答案为：4．
14．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ 12 ．
【分析】方法一：根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△AON＝S△OBM，由BC∥x轴，AC∥y轴可得S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，再根据S△AON＝xA•yA＝3，即可得出三角形ABC的面积．
方法二：设出A点坐标，根据题意得出B、C点的坐标，再根据面积公式刚好消掉未知数求出面积的值．
解：方法一：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴S△AON＝S△OBM，
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，
即S△ABC＝4S△AON＝4×xA•yA＝4×＝12；
方法二：根据题意设A（t，），
∵正比例函数y＝kx与函数y＝的图象交于A，B两点，
∴B（﹣t，﹣），
∵BC∥x轴，AC∥y轴，
∴C（t，﹣），
∴S△ABC＝BC•AC＝×[t﹣（﹣t）]×[﹣（﹣）]＝12；
故答案为：12．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 ．
【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴线段OQ的最小值为．
故答案为．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
则x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）∵2x（x﹣1）＝x﹣1，
∴2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝0.5．
17．4张相同的卡片上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 ；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）利用概率公式求解即可；
（2）利用列表法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
解：（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：．
（2）列表如下：
0
1
﹣2
3
0
1
﹣2
3
1
﹣1
﹣3
2
﹣2
2
3
5
3
﹣3
﹣2
﹣5
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率＝乙获胜的概率＝＝，
∴此游戏公平．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在图中标出△ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；
（2）将△ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到△A'B'C，画出旋转后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋转过程中点A经过的路径长．
【分析】（1）先利用点A、B的坐标建立直角坐标系，根据三角形外心的性质得到AC的中点为D；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A′、B′即可；
（3）先计算出CA的长，然后根据弧长公式计算．
解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；
（2）如图，△A'B'C为所作；
（3）CA＝＝2，
所以△ABC旋转过程中点A经过的路径长＝＝π．
19．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+220；
（2）设药店每天获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣50）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣80）2+1800，
∵﹣2＜0，函数有最大值，
∴当x＝80时，w有最大值，此时最大值是1800，
故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作圆O交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠AOE＝60°，OE＝3，在BC边上是否存在一点P使PF+PE有最小值，如果存在，请求出PF+PE的最小值．
【分析】（1）过点O作OD⊥AC，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段OD＝半径OE，根据切线的定义即可得出结论；
（2）延长AO交⊙O于点G，连接EG交BC于点P，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点P为所求的点；连接EF，过点E作EH⊥AO于点H，利用等边三角形的判定定理可得△OEF为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求OH与EH的长，再利用勾股定理即可求得结论．
【解答】（1）证明：过点O作OD⊥AC与点D，如图，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC．
∵OE⊥AB，OD⊥AC，
∴OD＝OE．
∵OE是圆的半径，
∴OD是圆的半径．
这样，AC经过半径OD的外端，且垂直于半径OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值．
延长AO交⊙O于点G，连接EG交BC于点P，连接PF，则此时PF+PE最小．
连接EF，过点E作EH⊥AO于点H，如图，
∵∠AOE＝60°，OE＝OF，
∴△OEF为等边三角形，
∴EF＝OE＝OF＝3．
∵EH⊥OF，
∴OH＝HF＝OF＝．
∴GH＝OG+OH＝3+＝．
在Rt△EHO中，
∵sin∠AOE＝，
∴EH＝OE×＝．
在Rt△EHG中，
EG＝＝3．
∵BC⊥FG，OG＝OF，
∴PG＝PF．
∴PE+PF＝PE+PG＝EG＝3．
∴在BC边上存在一点P使PF+PE有最小值．PF+PE的最小值为3．
21．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
例如：已知方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2．
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1、x2＝＝＝﹣．
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）设a，b是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 2021 ．
（3）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的两个实数根分别是x1，x2且，求k的值．
【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，求出a2+a＝2022，再代入求出即可．
（3）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．
解：（1）∵方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣2；
（2）∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴a2+a﹣2022＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2022，
则a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2022﹣1＝2021；
故答案为：2021；
（3）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0的两个实数根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2，
又∵，
∴+＝＝，
即 ＝，
解得：k1＝，k2＝，
又∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1≥0，
解得k≥﹣，
即：k＝．
22．在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数y＝k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和B（﹣1，﹣k）．
（1）当k＝﹣3时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的值的范围；
（3）设一次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．（参考：两点间距离公式）
【分析】（1）利用待定系数法直接可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得答案；
（3）根据直角三角形的性质可得OQ＝OA＝OB，作AD⊥OC，QC⊥OC，根据勾股定理可得方程，求解可得答案．
解：（1）当k＝﹣3时，A（1，﹣3），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y＝，
代入A（1，﹣3）得：﹣3＝，
解得：m＝﹣3．
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函数y＝k（x2+x﹣1）＝k（x+）2﹣k，对称轴为：直线x＝﹣，
要使二次函数y＝k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大，
∴综上所述，k＜0且x＜﹣；
（3）由（2）可得：Q（﹣，﹣k），
∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称．
∴原点O平分AB，
∴OQ＝OA＝OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为D、C，
∴OQ＝＝，
∵OA＝＝，
∴＝，
解得：k＝±．
相关试卷
2024年山东省济宁市汶上县中考四模数学试题： 这是一份2024年山东省济宁市汶上县中考四模数学试题，共27页。试卷主要包含了下列式子运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
山东省济宁市汶上县2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题： 这是一份山东省济宁市汶上县2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题，共8页。
山东省济宁市汶上县南站中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)： 这是一份山东省济宁市汶上县南站中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
