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苏科版八年级上册3.1 勾股定理测试题
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这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理测试题，共20页。试卷主要包含了1勾股定理等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.1勾股定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•江苏省沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解析】根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，
12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
2．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据勾股定理和角平分线的性质解答即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB²=AC2+BC2=62+82=10²，AB=10
∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，
∴CE＝ED，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
故选：C．
3．（2019秋•江苏省常州期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．18 B．36 C．65 D．72
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形面积求法得出即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，
∴AB²=92-42=65，
则正方形ABDE的面积为：AB²＝65．
故选：C．
4．（2019秋•江苏省新吴区期中）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．
【解析】在直角三角形中，
根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，设斜边为c
∴c²=62+82=10²，c=1
故选：D．
5．（2019秋•江苏省沭阳县期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（ ）
A．9 B．92 C．94 D．3
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，设AE=EC=a，CF=BC=b，AD=BD=c，
则AC²=2a²，BC²=2b²，AB²=2c²，
S阴影＝S△AEC+S△BFC+S△ADB=12×a2+12×b2+12×c2
=14（AC2+BC2+AB2）=12AB2=12×32=92．
故选：B．
6．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）
A．36 B．9 C．6 D．18
【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，
∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3+3＝6，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．
故选：A．
7．（2019秋•江苏省金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长的平方=32+42=25，
或直角三角形的第三边长的平方=42-32=7，
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故选：C．
8．（2019秋•江苏省吴中区期中）2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（ ）
A．2 B．0.5 C．13 D．1
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝49，大正方形的面积为25，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解析】∵（a+b）2＝49，
∴a2+2ab+b2＝49，
∵大正方形的面积为25，
∴2ab＝49﹣25＝24，
∴小正方形的面积为25﹣24＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020春•泰兴市校级期中）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为 98° ．
【分析】根据邻补角得出∠3，进而利用等腰直角三角形得出∠4，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．
【解析】如图所示：
由题意可得：∠4＝45°，
∵∠1＝53°，
∴∠3＝127°，
∴∠5＝360°﹣90°﹣45°﹣127°＝98°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠5＝98°，
故答案为：98°
10．（2019秋•江苏省宿豫区期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝ 5 ．
【分析】在△ABC中，∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2，根据题目给出的BC＝12，AB＝13，根据勾股定理可以求AC的长．
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴AC²=AB2-BC2=25．AC=5
故答案为：5．
11．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为 6 ．
【分析】由正方形的面积和勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，可求BC的长，再根据三角形面积公式即可求解．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴9+BC2＝25，
∴BC2＝25﹣9＝16，
∴BC＝4，
∴Rt△ABC的面积＝4×9÷2＝6．
故答案为：6．
12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为 485 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出12AB•AC=12BC•AD，即可求出AD．
【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，
∴AB²=BC2-AC2=144，AB=12
∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AD，
∴12×12×16=12×20AD，
∴AD=485．
故答案为：485．
13．（2019秋•江苏省亭湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．
【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．
【解析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，
则有：S1=12π（BC2）2=π⋅BC28，
同理，S2=π⋅AC28，S3=π⋅AB28，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3；
∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，
在直角△ABC中，BC²=AB2-AC2=9，BC=3
则S阴影＝S△ABC=12AC•BC=12×4×3＝6．
故答案为6．
14．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为 4 ．
【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得到正方形S1，S2的面积和是斜边AB的平方．
【解析】∵以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，
∴正方形S1的面积是AC2，正方形S2的面积是BC2，AC2+BC2＝AB2，
∴正方形S1，S2的面积和为：AC2+BC2＝AB2＝22＝4．
故答案是：4．
15．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，
∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故答案是：3
16．（2019秋•江苏省常州期中）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为 6 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解析】
过A作AD⊥BC于D，则BD＝8，
在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，
则AD²=102-82=36．AD=6
所以BC边上高的长的高为6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上． （1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．
【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．
（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，
同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=2BD=2，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，
∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，
∴AD2+CD2＝2．
18．（2019秋•江苏省新北区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．
【分析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．
（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．
【解析】（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE=12DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE=12BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝10，CF＝8，
∵EF⊥AC．
∴EF²=02-82=36．EF=6
19．（2019秋•江苏省大丰区期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式： （a+b）2＝c2+4×12ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ 5：9 ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 28 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4×12ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c=5a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：12（a+b）×k（a+b）＝3×12×b×ka+12×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
20．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，所以4×12ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 125 ．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也利用表示为12ab+12c2+12ab，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，
即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h，
∴h=125，
故答案为125；
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，
∴边长为a﹣2b，
由此可画出的图形为：
21．（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 （b﹣a） ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 c2﹣2ab 、 （b﹣a）2
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为 13
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；
（4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（6）代入（5）中的等式求出即可．
【解析】（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）
∴43＝a3+b3+3×2×4，
解得：a3+b3＝40．
22．（2019秋•江苏省宜兴市期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长即可；
（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，继而求出△ABC的面积．
【解析】（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即CD2+92＝152，
解得CD＝12；
（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+122＝202，解得AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
∴S△ABC=12AB•CD=12×25×12＝150．
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题3.1勾股定理
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•江苏省沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2
【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．
【解析】根据题意得：S=12（a+b）（a+b），S=12ab+12ab+12c2，
12（a+b）（a+b）=12ab+12ab+12c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得：a2+b2＝c2．
故选：D．
2．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据勾股定理和角平分线的性质解答即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB²=AC2+BC2=62+82=10²，AB=10
∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，
∴CE＝ED，
∴△ACE≌△ADE（AAS），
∴AD＝AC＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
故选：C．
3．（2019秋•江苏省常州期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（ ）
A．18 B．36 C．65 D．72
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形面积求法得出即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，
∴AB²=92-42=65，
则正方形ABDE的面积为：AB²＝65．
故选：C．
4．（2019秋•江苏省新吴区期中）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．
【解析】在直角三角形中，
根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，设斜边为c
∴c²=62+82=10²，c=1
故选：D．
5．（2019秋•江苏省沭阳县期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（ ）
A．9 B．92 C．94 D．3
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，设AE=EC=a，CF=BC=b，AD=BD=c，
则AC²=2a²，BC²=2b²，AB²=2c²，
S阴影＝S△AEC+S△BFC+S△ADB=12×a2+12×b2+12×c2
=14（AC2+BC2+AB2）=12AB2=12×32=92．
故选：B．
6．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（ ）
A．36 B．9 C．6 D．18
【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．
【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，
∴∠1＝∠2=12∠ACB，∠3＝∠4=12∠ACD，
∴∠2+∠3=12（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△CEF是直角三角形，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，
∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，
∴EM＝CM，CM＝MF，
∵EM＝3，
∴EF＝3+3＝6，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．
故选：A．
7．（2019秋•江苏省金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A．25 B．7 C．25或7 D．25或16
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，
∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长的平方=32+42=25，
或直角三角形的第三边长的平方=42-32=7，
∴直角三角形的第三平方为25或7，
故选：C．
8．（2019秋•江苏省吴中区期中）2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（ ）
A．2 B．0.5 C．13 D．1
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝49，大正方形的面积为25，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解析】∵（a+b）2＝49，
∴a2+2ab+b2＝49，
∵大正方形的面积为25，
∴2ab＝49﹣25＝24，
∴小正方形的面积为25﹣24＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020春•泰兴市校级期中）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为 98° ．
【分析】根据邻补角得出∠3，进而利用等腰直角三角形得出∠4，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．
【解析】如图所示：
由题意可得：∠4＝45°，
∵∠1＝53°，
∴∠3＝127°，
∴∠5＝360°﹣90°﹣45°﹣127°＝98°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠5＝98°，
故答案为：98°
10．（2019秋•江苏省宿豫区期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝ 5 ．
【分析】在△ABC中，∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2，根据题目给出的BC＝12，AB＝13，根据勾股定理可以求AC的长．
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，
∴AC²=AB2-BC2=25．AC=5
故答案为：5．
11．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为 6 ．
【分析】由正方形的面积和勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，可求BC的长，再根据三角形面积公式即可求解．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴9+BC2＝25，
∴BC2＝25﹣9＝16，
∴BC＝4，
∴Rt△ABC的面积＝4×9÷2＝6．
故答案为：6．
12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为 485 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出12AB•AC=12BC•AD，即可求出AD．
【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，
∴AB²=BC2-AC2=144，AB=12
∵S△ABC=12AB•AC=12BC•AD，
∴12×12×16=12×20AD，
∴AD=485．
故答案为：485．
13．（2019秋•江苏省亭湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．
【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．
【解析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，
则有：S1=12π（BC2）2=π⋅BC28，
同理，S2=π⋅AC28，S3=π⋅AB28，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴S1+S2＝S3；
∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，
在直角△ABC中，BC²=AB2-AC2=9，BC=3
则S阴影＝S△ABC=12AC•BC=12×4×3＝6．
故答案为6．
14．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为 4 ．
【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得到正方形S1，S2的面积和是斜边AB的平方．
【解析】∵以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，
∴正方形S1的面积是AC2，正方形S2的面积是BC2，AC2+BC2＝AB2，
∴正方形S1，S2的面积和为：AC2+BC2＝AB2＝22＝4．
故答案是：4．
15．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，
∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故答案是：3
16．（2019秋•江苏省常州期中）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为 6 ．
【分析】过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长即可．
【解析】
过A作AD⊥BC于D，则BD＝8，
在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，
则AD²=102-82=36．AD=6
所以BC边上高的长的高为6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上． （1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．
【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．
（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，
同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=2BD=2，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，
∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，
∴AD2+CD2＝2．
18．（2019秋•江苏省新北区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．
（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．
【分析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．
（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．
【解析】（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE=12DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE=12BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝10，CF＝8，
∵EF⊥AC．
∴EF²=02-82=36．EF=6
19．（2019秋•江苏省大丰区期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式： （a+b）2＝c2+4×12ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ 5：9 ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为 28 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4×12ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c=5a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：12（a+b）×k（a+b）＝3×12×b×ka+12×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
20．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，所以4×12ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 125 ．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也利用表示为12ab+12c2+12ab，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，
即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h，
∴h=125，
故答案为125；
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，
∴边长为a﹣2b，
由此可画出的图形为：
21．（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 （b﹣a） ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 c2﹣2ab 、 （b﹣a）2
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为 13
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；
（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（3）根据（1）的结果，即可得出答案；
（4）代入求出即可；
（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（6）代入（5）中的等式求出即可．
【解析】（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）
∴43＝a3+b3+3×2×4，
解得：a3+b3＝40．
22．（2019秋•江苏省宜兴市期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长即可；
（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，继而求出△ABC的面积．
【解析】（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即CD2+92＝152，
解得CD＝12；
（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∴AD2+122＝202，解得AD＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
∴S△ABC=12AB•CD=12×25×12＝150．
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