初中数学苏科版八年级上册3.3 勾股定理的简单应用习题

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

              专题3.3勾股定理的简单应用

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2019春•泉山区期中）如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（　　）

A．7m B．8m C．9m D．10m

【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．

【解析】由勾股定理得：

楼梯的水平宽度4，

∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，

∴地毯的长度至少是3+4＝7（m）．

故选：A．

2．（2019秋•江苏省连云港期中）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一轮船以12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（　　）

A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了48，36海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．

【解析】∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

∴∠BAC＝90°，

3小时后，两艘船分别行驶了16×3＝48，12×3＝36海里，

根据勾股定理得：60（海里）．

故选：C．

3．（2019秋•江苏省靖江市校级期中）一个长为10米的梯子AB斜靠在墙上，AC⊥BC，AC＝BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子足B沿CB方向水平滑动y米，则x与y 的大小关系是（　　）

A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．不确定

【分析】根据题意由勾股定理得出关于AC，BC，x，y的等式，再利用2AC﹣x＜2BC+y，得出x＞y．

【解析】∵AC＝BC，当梯子的顶端A下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动了y米，

∴CD＝AC﹣x，EC＝BC+y＝AC+y，

∴AC2+BC2＝（AC﹣x）2+（AC+y）2，

∴2AC•x﹣x2＝2BC•y+y2，

∴x（2AC﹣x）＝y（2BC+y），

∵AC＝BC，

∴2AC﹣x＜2BC+y，

∴x＞y，

故选：B．

4．（2019秋•江苏省睢宁县期中）一海轮以24海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，另一海轮以18海里/时的速度同时从港口A出发向西南方向航行，离开港口2小时后，两海轮之间的距离为（　　）

A．36海里 B．48海里 C．60海里 D．84海里

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了48，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．

【解析】如图，连接BC．

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

∴∠BAC＝90°，

两小时后，两艘船分别行驶了24×2＝48（海里），18×2＝36（海里），

根据勾股定理得：BC60（海里）．

故选：C．

5．（2019秋•江苏省新北区期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（　　）

A．10m B．11m C．12m D．13m

【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．

【解析】设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m

根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，

右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，

∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11．

故选：B．

6．（2019秋•江苏省镇江期中）如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．

【解析】如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，

∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即10（cm），

∴筷子露在杯子外面的长度至少为13﹣10＝3cm，

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上）

7．（2019秋•江苏省惠山区校级期中）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是　6　米．

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度．

【解析】∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，

如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，

∴AB＝2AC＝4米，

∴折断前高度为2+4＝6（米）．

故答案为6．

8．（2019秋•江苏省鼓楼区校级期中）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为　10　m．

【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．

【解析】过C作CB⊥AD于B，

设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+62＝x2，

解得：x＝10，

即绳子的长度为10m．

故答案为：10．

9．（2019秋•江苏省大丰区期中）如图，台风过后某中学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C点6米处，已知旗杆总长15米，则旗杆是在距底部　6.3　米处断裂．

【分析】旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的未知求出．

【解析】设旗杆是在距底部x米处断裂，则折断部分的长为（15﹣x）m，

由勾股定理得：x2+62＝（15﹣x）2，

解得：x＝6.3，

即旗杆是在距底部6.3米处断裂，

故答案为：6.3．

10．（2019秋•江苏省溧水区期中）已知小明和小王从同一地点出发，小明向正东方向走了2km，小王向正南方向走了3km，此时两人之间相距　　km．

【分析】根据小明和小王两人所走的方向，可知小明和小王两人的路线可构成直角三角形，两人的距离为直角三角形的斜边，根据勾股定理可求解出．

【解析】如图所示，∠ACB＝90°，

∴AB（km）．

故答案为：．

11．（2019秋•江苏省海州区期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面半径为3厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为　2　厘米．

【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．

【解析】如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，

∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即10cm，

∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，

故答案为2．

12．（2019秋•江苏省连云港期中）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入　7200　元．

【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．

【解析】连接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

∴∠DBC＝90°，

S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC，

36．

所以需费用36×200＝7200（元）．

故答案为：7200

13．（2019秋•江苏省邗江区校级期中）在一次玩耍中，小丽问小颖：“如果我现在从你所站的位置向东走3米，再向南走12米，再向东走2米，那么我与你相距　13　米．”

【分析】根据题意作出直角三角形，再利用勾股定理进而得出答案．

【解析】由题意可得：

AC＝5m，BC＝12m，

则AB13（m）．

故答案为：13．

14．（2019秋•江苏省永嘉县期中）如图，将一根长为20cm的吸管，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是　7≤h≤8　．

【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．

【解析】如图，当筷子、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，

此时AB13，故h最短＝20﹣13＝7（cm）；

当筷子竖直插入水杯时，h最大，此时h最大＝20﹣12＝8（cm）．

故答案为：7≤h≤8．

三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝8m，AD＝6m，CD＝24m，BC＝26m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．

【分析】本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．

【解析】连接BD，

∵∠A＝90°，

∴BD2＝AD2+AB2＝100

则BD2+CD2＝100+576＝676＝262＝BC2，因此∠CBD＝90°，

S四边形ABCD＝S△ADB+S△CBDAD•ABBD•CD6×824×10＝144（平方米）．

16．（2019秋•江苏省睢宁县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．

（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？

（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；

（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．

【解析】（1）如图，连接AC，

在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2

∴AC＝5cm，

在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；

（2）∵S△ABC3×4＝6，S△ACD5×12＝30，

∴S四边形ABCD＝6+30＝36，

费用＝36×80＝2880（元）．

答：铺满这块空地共需花费2880元．

17．（2019秋•江苏省连云港期中）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m．现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地，且扩允部分是以12m为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积．（如图备用）

【分析】根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB＝AD时或AB＝BD，求出CD即可；（2）当AB＝BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，求出即可．

【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝5m，BC＝12m，

∴AB＝13m，

（1）如图1，当AB＝AD时，CD＝5m，

则△ABD的面积为：BD•AC（5+5）×12＝60（m2）；

若延长BC到D，使CD＝AC＝12m，则△ABD的面积为AD×BC＝60 （m2），

60﹣30＝30 （m2）；

 （2）图2，当AB＝BD时，CD＝8m，则△ABD的面积为：BD•AC（5+8）×12＝78（m2）；

78﹣30＝48（m2）；

（3）如图3，当DA＝DB时，设AD＝x，则CD＝x﹣5，

则x2＝（x﹣5）2+122，

∴x＝16.9，

则△ABD的面积为：BD•AC16.9×12＝101.4（m2）；

101.4﹣30＝71.4（m2）．

答：扩充后等腰三角形绿地的面积是30m2或48m2或71.4m2．

18．（2019秋•江苏省溧水区期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度．

【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．

【解析】设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2

∴x2+52＝（x+1）2

解得x＝12

∴AB＝12

∴旗杆的高12m．

19．（2019秋•江苏省溧水区期中）如图所示，木工师傅做一个三角形屋梁架ABC．已知AB＝AC＝4m，为牢固起见，还需做一根中柱AD（AD是△ABC的中线）加以连接，中柱AD＝3m，求屋梁跨度BC的长．

【分析】首先利用等腰三角形的性质求得D为BC的中点，然后利用勾股定理求得BD的长，从而求得BC的长．

【解析】∵AB＝AC＝4，AD是△ABC的中线，AD＝3，

∴AD⊥BC，BDBC，

在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD，

∴BC＝2BD＝2，

∴屋梁跨度BC的长度是2m．

20．（2019秋•江苏省建湖县期中）苏科版《数学》八年级上册第35页第2题，介绍了应用构造全等三角形的方法测量了池塘两端A、B两点的距离．星期天，爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的：

选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m．

小刚同学测量的结果正确吗？为什么？

【分析】由勾股定理的逆定理证出△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，得出∠ACB＝90°，再由勾股定理求出AB即可．

【解析】小刚同学测量的结果正确，理由如下：

∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，

∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169，

∴PC2+BC2＝PB2，

∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴AB15（m）．