云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学（文）试题 PDF版含答案

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一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】∵集合，
集合，
∴．
2．【答案】A
【解析】根据题意，故选A．
3．【答案】C
【解析】对于A，命题“若|x|=5，则x=5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；
对于B，由x2−5x−6=0，解得x=−1或x=6，所以“x=−1”是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故B不正确；
对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，C正确;
对于D，“∃x0∈R，3x02+2x0−1>0”的否定是“∀x∈R，3x2+2x−1≤0”，故D不正确.
4．【答案】D
【解析】由题意，由，，，，组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：
，，，，，，共个基本事件，
所以恰好为“凸数”的概率为．
5．【答案】B
【解析】∵，∴．
设与的夹角为，则，
又，∴，即与的夹角为．
6．【答案】C
【解析】由，得，解得，或（舍），
从而，故选C．
7.【答案】A
【解析】f(−x)=(−x)3−(−x)|−x|+cs(−x)=−x3−x|x|+csx=−f(x)，
故f(x)在定义域上为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BD；
且f(1)=0，而π2≈1.57，则；故选：A．
8.【答案】A
由题意，该几何体的直观图为三棱锥，如下图，
其中底面，，在△中，，
边上的高为2，
所以三棱锥的体积为.
9．【答案】B
【解析】由约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（），的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，由图可知，最大．故答案为．
10．【答案】A
【解析】在中，由正弦定理及，
得，∴，
又，∴，
由正弦定理及，得，
∴由余弦定理得，即，∴．
11．【答案】A
【解析】设的坐标为，由左焦点，函数的导数，
则在处的切线斜率，即，得，则，
设右焦点为，则，即，
∵，∴双曲线的离心率．
12．【答案】C
【解析】①∵函数是在上的奇函数，∴，
令，则，，故①错；
②当 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，，
∵，∴是函数的一个零点，同理可以求出当，是函数的一个零点，
∵函数是奇函数，∴，
综上所述，函数有个零点，故②错；
由①可知函数，的解集为 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，故③正确；
④当 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，，
当时，，单增；当时，，单减；
当，函数有最小值，
同理在时，函数有最大值．
∴ SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，，都有，
∵，∴，故④正确．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】因为，所以，因此，曲线在点处的切线斜率为，又该切线与直线垂直，所以.故答案为.
14．【答案】
设大圆面积为，小圆面积，则，，
可得黑色区域的面积为，
所以落在黑色区域的概率为.故答案为：.
15．【答案】
【解析】．
16．【答案】
解：如图，在△ABC中，由正弦定理得 ⇒sinC=，
∵C＜B，∴C=30°，∴A=90°，
又∵PA⊥平面ABC，AP，AC，AB两两垂直，
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，2为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR2=16π．故答案为16π．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，，符合上式，
所以． 分
（2）由（1）得．
∴
． 分
18．【答案】（1），；（2）没有的把握认为；（3）．
【解析】（1），，解得，． 分
（2）由题知总数，得到，，
所以没有的把握认为测试成绩优秀与性别有关． 分
（3）结合，结合分层抽样原理，抽取人，则男生中抽取人设为，
女生抽取人设为，，，，则从6人中抽取2人，
总的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共种，
如果人全部都是女生，有，，，，，，共种，
所以． 分
19.【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在正方形中，，
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面，可得，
在直角梯形中，，，可得，
在中，，，所以，
所以，，所以平面． 分
（2）因为平面，所以平面平面，
过点作的垂线交于点，则平面，
所以点到平面的距离等于线段的长度．
在直角三角形中，，
所以，所以点到平面的距离等于． 分
20.【答案】（1）（2）
【详解】（1）由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率，由，，，得，，，故椭圆的方程为. 分
（2）不妨设，，联立方程组，得，
由，得.且，
所以.
又到直线的距离为，所以
.
当且仅当时取等号，所以. 分
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．
21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
当时，在时，，为单调减函数；
在时，为单调增函数．
当时，，为单调减函数．
当时，在时，，为单调减函数；在时，为单调增函数． 分
（2）由（1）知，当时，，，
令，则，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴，∴，
即，∴． 分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）6；（2）13．
【解析】（1）由，得，
将，代入，得，
设两点对应的参数分别为，则，故． 分
（2）直线的普通方程为，
设圆的方程为()，
圆心到直线的距离为，
∵，∴，解得（，舍去），
所以圆的半径为13． 分
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，解得；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则，
综上知，不等式的解集为． 分
（2）由，
若对任意，不等式恒成立，
则，解得或，
则的取值范围是． 分