初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试精品课后练习题

人教版九年级下册

第28章 锐角三角函数

常考+易错题 综合练习

一．选择题（共11小题）

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则sinA的值为（　　）

A． B． C． D．

2．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7m，则树高BC为（用含α的代数式表示）（　　）

A．7sinα B．7cosα C．7tanα D．

3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝（　　）

A． B．2 C． D．

4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）

A． B． C． D．4

5．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为24°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45．结果精确到0.1）（　　）

A．55.1 米 B．30.4 米 C．51.2 米 D．19.2 米

6．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则cos∠OBC＝（　　）

A． B．2 C． D．

7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　）

A．cm B．cm C．64cm D．54cm

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点且AE：EB＝4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（　　）

A． B． C． D．

9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（　　）

A．16 B．18 C．6 D．7

10．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB﹣）（2sinA﹣）＝0，则△ABC一定是（　　）

A．等腰三角形 

B．等边三角形 

C．直角三角形 

D．有一个角是60°的三角形

11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE＝EF＝4，FC＝9，则cos∠ACB的值为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共9小题）

12．2sin45°+（﹣1）0﹣＝　   　．

13．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是：　   　．

14．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是 　   　．

15．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是i＝1：，堤高BC是50米，则迎水坡面AB的长是　   　米．

16．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是　   　．

17．已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝，tan∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝　   　．

18．如图，在△ABC中，MN是△ABC的中位线，NH⊥BC于H，已知AB＝6cm，BC边上高线AD＝4cm，那么cos∠NMH的值为　   　．

19．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，已知EC＝1，cosB＝，则这个菱形的面积是　   　．

20．林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知∠BAC＝53°8′，AB＝0.5米，则这棵大树的直径约为　   　米．

三．解答题（共7小题）

21．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，若AB＝2，求AC的长．

22．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12，cosB＝，AP⊥AB，交BC于点P．

（1）求CP的长；

（2）求∠PAC的正弦值．

23．如图，某校20周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF为旗杆，气球从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AF延长线上的点B处测得气球和旗杆EF的顶点E在同一直线上．

（1）已知旗杆高为12米，若在点B处测得旗杆顶点E的仰角为30°，A处测得点E的仰角为45°，试求AB的长（结果保留根号）；

（2）在（1）的条件下，若∠BCA＝45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC的长（结果保留根号）？

24．大雁塔是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所绘制的便是这座著名古塔．我校社会实践小组为了测量大雁塔的高度AB，在地面上立两根高为2m的标杆CD和GH，两杆之间的距离CG＝62米，点G、C、B成一线．从C处退行4米到点E处，人的眼睛贴着地面观察A点，A、D、E三点成一线；从G处退行6米到点F处，从F观察A点，A、F、H也成一线．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度AB．

25．为方便市民绿色出行，临沂市政府推出共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD均与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．

（1）求坐垫E到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约78cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度E'，求EE'的长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）

26．如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．

27．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长；

（2）当MN∥AB时，求t的值；

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

人教版九年级下册

第28章 锐角三角函数

常考+易错题 综合练习参考答案

一．选择题

1．A．2．C．3．A．4．C．5．A．6．D．7．C．8．C．9．A．10．D．11．D

二．填空题

12．0．13．等腰直角三角形．14．（4，）．15．100．16．5．17．2或．18．

19．．20．0.5

三．解答题

21．解：过A点作AD⊥BC于D点，

在直角三角形ABD中，∠B＝45°，AB＝2

∴AD＝AB•sinB＝2

在直角三角形ADC中，∠C＝30°

∴AC＝2AD＝4

22．解：（1）过点A作AD⊥BC于D

在Rt△ABD中，AB＝12，cosB＝

∴BD＝cosB•AB＝9

∵AB＝AC

∴BD＝CD＝9，∠B＝∠C

∵AP⊥A

∴∠PAB＝90°，

在Rt△ABP中，AB＝12，cosB＝，

∴BP＝＝16

∴PC＝BC﹣BP＝9×2﹣16＝2

（2）过点P作PE⊥AC于E

在Rt△PCE中，PC＝2，cosC＝cosB＝

∴CE＝cosC•PC＝2×＝

∴PE＝＝

AP＝＝＝＝4

∴sin∠PAC＝＝

23．解：（1）∵在直角△BEF中，tan∠EBF＝

∴BF＝＝＝12

同理AF＝EF＝12（米）

则AB＝BF+AF＝12+12（米）

（2）作AG⊥BE于点G

在直角△ABG中，AG＝AB•sin30°＝（12+12）＝6+6

又∵直角△AGC中，∠ACG＝45°

∴AC＝AG＝6+6（米）

24．解：设AB＝x，BC＝y，由题意可知，△ABE∽△DCE，△ABF∽△HGF

∴＝，＝

∵CE＝4米，EB＝BC+CE＝（y+4）米，GF＝6米，FB＝CB+CG+FG＝y+62+6＝（y+68）米，CD＝GH＝2米

代入比例式，得，整理，得

解得    所以大雁塔AB的高度为64米。

25．解：（1）如图②，过点E作EH⊥CD，垂足为G，交直线l于点H

∵CD∥l

∴EH⊥l

∴GH等于车轮半径32cm

在Rt△CGE中，，即

∴EG＝67.50≈67.5（cm）

坐垫E到地面的距离为67.5+32＝99.5（cm）

（2）如图②，在BE上取点E'，过点E'作E'P⊥CD于点P

当E'P＝78×0.8＝62.4时

在Rt△E'CP中，

即

∴E'C≈69.33（cm）

∴E'E＝EC﹣E'C＝5.67≈5.7（cm）

26．解：存在的一般关系有：

（1）sin2A+cos2A＝1；

（2）tanA＝．

证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，a2+b2＝c2

∴sin2A+cos2A＝＝1．

（2）∵sinA＝，cosA＝，

∴tanA＝＝＝

27．解：（1）如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．

∴KH＝AD＝3

在Rt△ABK中，AK＝AB•sin45°＝4•＝4，BK＝AB•cos45°＝4＝4

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC＝＝3

∴BC＝BK+KH+HC＝4+3+3＝10

（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．

∵MN∥AB

∴MN∥DG

∴BG＝AD＝3

∴GC＝10﹣3＝7

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN＝t，CM＝10﹣2t

∵DG∥MN

∴∠NMC＝∠DGC

又∵∠C＝∠C

∴△MNC∽△GDC

∴，即  解得，

（3）分三种情况讨论：

①当NC＝MC时，如图③，即t＝10﹣2t，

②当MN＝NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E

由等腰三角形三线合一性质得：EC＝MC＝（10﹣2t）＝5﹣t

在Rt△CEN中，cosC＝＝

又在Rt△DHC中，cosC＝

∴  解得t＝

③当MN＝MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC＝NC＝t

  解得

综上所述，当t＝、t＝或t＝时，△MNC为等腰三角形