【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：圆的切线

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：圆的切线，共7页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共30小题；共150分）
1. 若直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2−2x−2y+1=0 相切，则 b 的值是
A. −2 或 12B. 2 或 −12
C. −2 或 −12D. 2 或 12

2. 直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2−2x−2y+1=0 相切，则 b 的值是
A. −2 或 12B. 2 或 −12C. −2 或 −12D. 2 或 12

3. 若直线 kx+y+4=0 上存在点 P，过 P 作圆 x2+y2−2y=0 的切线，切点为 Q，若 ∣PQ∣=2，则实数 k 的取值范围是
A. −2,2B. 2,+∞
C. −∞,−2∪2,+∞D. −∞,−1∪1,+∞

4. 过点 P2,−1 的直线与圆 C:x+12+y−12=5 相切，则切线长为
A. 2B. 5C. 22D. 13

5. 设 A 为圆 x2+y2−2x=0 上的动点，PA 是圆的切线且 PA=1，则 P 点的轨迹方程是
A. x−12+y2=4B. x−12+y2=2
C. y2=2xD. y2=−2x

6. 已知圆 O:x2+y2=1，直线 l 过点 −2,0，若直线 l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线 l 的斜率为
A. ±33B. ±3C. ±2D. ±1

7. 在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴，y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y−4=0 相切，则圆 C 面积的最小值为
A. 4π5B. 3π4C. 6−25πD. 5π4

8. 已知直线 l 经过坐标原点，且与圆 x2+y2−4x+3=0 相切，切点在第四象限，则直线 l 的方程为
A. y=−3xB. y=3xC. y=−33xD. y=33x

9. 自点 A−1,4 作圆 x−22+y−32=1 的切线，则切线长为
A. 5B. 3C. 10D. 5

10. 过点 4,4 引圆 x−12+y−32=4 的切线，则切线长是
A. 2B. 10C. 6D. 14

11. 已知圆：x2+y−12=2，则过点 1,2 作该圆的切线方程为
A. x+2y−4=0B. 2x+y−5=0C. x=2D. x+y−3=0

12. 点 P 为射线 x=2y≥0 上一点，过 P 作圆 x2+y2=3 的两条切线，若两条切线的夹角为 90∘，则点 P 的坐标为
A. 2,1B. 2,2C. 2,2D. 2,0

13. 已知过点 P2,2 的直线与圆 x−12+y2=5 相切，且与直线 ax−y+1=0 垂直，则 a=
A. −12B. 1C. 2D. 12

14. 点 P 是直线 x+y−3=0 上的动点，由点 P 向圆 O:x2+y2=4 作切线，则切线长的最小值为
A. 22B. 322C. 22D. 12

15. 从圆 x2−2x+y2−2y+1=0 外一点 P3,2 向这个圆引两条切线，则两切线夹角的余弦值为
A. 0B. 12C. 32D. 35

16. 斜率为 3 的直线 l 过抛物线 C：y2=2pxp>0 的焦点 F，若 l 与圆 M：x−22+y2=12 相切，则 p=
A. 12B. 8C. 10D. 6

17. 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x−3y=0 和 x 轴相切，则该圆的标准方程是
A. x−32+y−732=1B. x−22+y−12=1
C. x−12+y−32=1D. x−322+y−12=1

18. 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左，右焦点分别为 F1，F2，以 F2 为圆心的圆过椭圆 C 的中心，且与 C 在第一象限交于点 P，若直线 PF1 恰好与圆 F2 相切于点 P，则 C 的离心率为
A. 3−1B. 3−12C. 22D. 5−12

19. 已知直线 x+ay−1=0 是圆 C：x2+y2−4x−2y+1=0 的对称轴，过点 A−4,a 作圆 C 的一条切线，切点为 B，则 AB=
A. 2B. 6C. 42D. 210

20. 若圆 O1：x2+y2=5 与圆 O2：x+m2+y2=20 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是
A. 3B. 4C. 23D. 8

21. 一条光线从点 −2,−3 射出，经 y 轴反射后与圆 x+32+y−22=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为
A. −53 或 −35B. −32 或 −23C. −54 或 −45D. −43 或 −34

22. 过点 P3,1 作圆 C:x−12+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为
A. 2x+y−3=0B. 2x−y−3=0C. 4x−y−3=0D. 4x+y−3=0

23. 若圆 C:x2+y2+2x−4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由圆 C 外一点 a,b 向圆 C 所作的切线长的最小值是
A. 2B. 3C. 4D. 6

24. 过点 P2,1 作圆 C:x2+y2−ax+2ay+2a+1=0 的切线有两条，则 a 取值范围是
A. a>−3B. a<−3
C. −32

25. 过点 A4,6 作圆 C:x2+y2−2x−4y=0 的切线，切点为 B，则 AB 的长为
A. 2B. 5C. 25D. 45

26. 点 P 是直线 2x+y+10=0 上的动点，直线 PA 、 PB 分别与圆 x2+y2=4 相切于 A 、 B 两点，则四边形 PAOB （ O 为坐标原点）的面积的最小值等于
A. 24B. 16C. 8D. 4

27. 由直线 y=x+1 上的点向圆 x−32+y+22=1 引切线，则切线长的最小值为
A. 17B. 32C. 19D. 25

28. 由直线 y=x−1 上的一点向圆 C：x2+y2−6x+8=0 引切线，则切线长的最小值为
A. 1B. 2C. 3D. 2

29. 过点 3,1 作圆 x−12+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为
A. 2x+y−3=0B. 2x−y−3=0C. 4x−y−3=0D. 4x+y−3=0

30. 已知椭圆的短轴长为 8，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点，△PF1F2 的内切圆面积的最大值为 9π4，则椭圆的离心率为
A. 45B. 22C. 35D. 223
答案
第一部分
1. D【解析】圆的方程为 x2+y2−2x−2y+1=0 ，
可化为 x−12+y−12=1 ，
由圆心 1,1 到直线 3x+4y−b=0 的距离为 ∣7−b∣5=1 ，
得 b=2或12 ．
2. D【解析】因为直线 3x+4y=b 与圆心为 1,1，半径为 1 的圆相切，
所以 ∣3+4−b∣32+42=1，解得 b=2 或 12．
3. C
4. C【解析】因为点 P2,−1 到圆 C 的圆心 −1,1 的距离为 2+12+−1−12=13，
所以切线长为 13−5=8=22．
5. B
【解析】x2+y2−2x=0 可化为 x−12+y2=1，
由题意可得圆心 1,0 到 P 点的距离为 2，
所以点 P 在以 1,0 为圆心，2 为半径的圆上，
所以点 P 的轨迹方程是 x−12+y2=2．
6. A【解析】因为直线 l 上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，所以直线为圆的切线．由题知，切线的斜率一定存在，设切线为 y=kx+2，所以 ∣2k∣1+k2=1，解得 3k2=1，k=±33．
7. A【解析】因为以 AB 为直径的圆 C 的直径的最小值为 ∣4∣5，所以 rmin=25，则圆 C 面积的最小值为 π252=45π．
8. C
9. B
10. C
11. D【解析】根据题意，设圆：x2+y−12=2 的圆心为 M，且 M0,1，点 N1,2，
有 12+2−12=2，则点 N 在圆上，则过点 N 的切线有且只有 1 条；
则 KMN=2−12−0=1，
则过点 1,2 作该圆的切线的斜率 k=−1，切线的方程为 y−2=−x−1，
变形可得 x+y−3=0．
12. C【解析】如图所示．
设切点为 A，B，则 OA⊥AP，OB⊥BP，OA=OB，AP=BP，AP⊥BP，故四边形 OAPB 为正方形，
则 ∣OP∣=6，
又 xP=2，则 P2,2．
13. C【解析】易知过点 P2,2 的切线的斜率存在，设为 k，则直线方程为 y−2=kx−2，即 kx−y+2−2k=0，
因为该直线和圆相切，
所以 ∣k+2−2k∣k2+1=5，
解得 k=−12，
又直线 kx−y+2−2k=0 与直线 ax−y+1=0 垂直，
所以 −12×a=−1，
解得 a=2，
故选C．
14. C【解析】由已知得圆心 O0,0，半径 r=2．当切线长最小时，直线 OP 与直线 x+y−3=0 垂直．因为圆心 O 到直线 x+y−3=0 的距离 d=322，所以切线长的最小值为 3222−22=22．
15. D
【解析】圆 x2−2x+y2−2y+1=0 的圆心坐标为 1,1，半径 r=1，
设 A1,1，两切线夹角为 θ，
则 sinθ2=r∣PA∣=15，
所以 csθ=1−2sin2θ2=1−25=35．
故选D．
16. A【解析】抛物线 C：y2=2pxp>0 的焦点为 p2,0，
则直线 l 的方程为 y=3x−p2，
即 3x−y−32p=0．
因为 l 与圆 M：x−22+y2=12 相切，
所以圆心 2,0 到 l 的距离 d=23−32p2=23，
解得 p=12（负值舍去）．
17. B【解析】由题可知圆心的纵坐标为 1．排除 A，C；在 B，D 选项中只需验证圆心到直线 4x−3y=0 的距离为 1 即可，只有 B 合适．
18. A【解析】如图所示，
依题意得 ∠F1PF2=90∘，∣PF2∣=c，
所以 ∣PF1∣=2a−c，
又 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2，
所以 2a−c2+c2=4c2，即 c2+2ac−2a2=0，
所以 e2+2e−2=0，
解得 e=3−1 或 e=−3−1（舍去）．
19. B【解析】因为圆 C：x2+y2−4x−2y+1=0，即 x−22+y−12=4，表示以 C2,1 为圆心、半径等于 2 的圆．
由题意可得，直线 l：x+ay−1=0 经过圆 C 的圆心 2,1，故有 2+a−1=0，
所以 a=−1，点 A−4,−1．
因为 AC=−4−22+−1−12=210，CB=R=2，
所以切线的长 AB=AC2−CB2=40−4=6．
20. B
【解析】连接 O1A，O2A，
由于 ⊙O1 与 ⊙O2 在点 A 处的切线互相垂直，
因此 O1A⊥O2A，
所以 ∣O1O2∣2=∣O1A∣2+∣O2A∣2，即 m2=5+20=25，
设 AB 交 x 轴于点 C．
在 Rt△O1AO2 中，sin∠AO2O1=55，
所以在 Rt△ACO2 中，∣AC∣=∣AO2∣⋅sin∠AO2O1=25×55=2，
所以 ∣AB∣=2∣AC∣=4．
21. D【解析】点 −2,−3 关于 y 轴的对称点为 2,−3，故可设反射光线所在直线的方程为 y+3=kx−2，因为反射光线与圆 x+32+y−22=1 相切，所以圆心 −3,2 到直线的距离 d=∣−3k−2−2k−3∣k2+1=1，化简得 12k2+25k+12=0，解得 k=−43 或 k=−34．
22. A【解析】如图所示：
由题意知：AB⊥PC，kPC=12，
所以 kAB=−2，
所以直线 AB 的方程为 y−1=−2x−1，即 2x+y−3=0．
23. C【解析】依题意知圆心 −1,2 在直线 2ax+by+6=0 上，所以 b=a−3．
设切线长为 l，则 l2=a+12+b−22−2=2a2−8a+24=2a−22+16．
故当 a=2 时，lmin2=16，所以 lmin=4．
24. D
25. C
26. C【解析】提示：因为四边形 PAOB 的面积 S=2×12∣PA∣×∣OA∣=2OP2−OA2=2OP2−4 ，所以 当直线 OP 垂直直线 2x+y+10=0 时，其面积 S 最小．
27. A
28. A【解析】在直线 y=x−1 上取一点 P，过 P 向圆引切线，设切点为 A．连接 CA．
在 Rt△PAC 中，CA=r=1．
要使 PA 最小，则 PC 应最小．
又当 PC 与直线垂直时，PC 最小，其最小值为 3−0−12=2．
故 PA 的最小值为 22−12=1．
29. A【解析】根据平面几何知识，直线 AB 一定与点 3,1，1,0 的连线垂直，这两点连线的斜率为 12，
故直线 AB 的斜率一定是 −2，只有选项A中直线的斜率为 −2．
30. C
【解析】不妨设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0，则 2b=8，即 b=4，设 △PF1F2 内切圆的半径为 r，则有 S△PF1F2=122a+2cr=12×2c∣yP∣，即 r=c∣yP∣a+c，当点 P 运动到椭圆短轴的端点时，r 有最大值 32，此时 ∣yP∣=b，于是有 4ca+c=32，即 3a=5c，故椭圆的离心率 e=ca=35．