【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线的点斜式与斜截式方程

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一、选择题（共28小题；共140分）
1. 直线 y=2x−6 通过
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限

2. 数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 △ABC 的顶点 B−1,0，C0,2，AB=AC，则 △ABC 的欧拉线方程为
A. 2x−4y−3=0B. 2x+4y+3=0
C. 4x−2y−3=0D. 2x+4y−3=0

3. 已知过点 M2,1 的直线与 x 轴、 y 轴分别交于 P，Q 两点．若 M 为线段 PQ 的中点，则这条直线的方程为
A. 2x−y−3=0B. 2x+y−5=0C. x+2y−4=0D. x−2y+3=0

4. 过点 P−1,3 且倾斜角为 30∘ 的直线方程为
A. 3x−3y+43=0B. 3x−y+23=0
C. 3x−3y+23=0D. 3x−y=0

5. 若原点在直线 l 上的射影是 P−2,1，则直线 l 的方程为
A. x+2y=0B. y−1=−2x+2
C. y=2x+5D. y=2x+3

6. 已知点 A1,2，B3,1，则线段 AB 的垂直平分线的方程是
A. 4x+2y=5B. 4x−2y=5C. x+2y=5D. x−2y=5

7. 过圆 x+12+y−22=4 的圆心，且斜率为 1 的直线 l 的方程为
A. x+y−1=0B. x+y+3=0C. x−y+3=0D. x−y−3=0

8. 过直线 x+y−3=0 和 2x−y=0 的交点，且与 2x+y−5=0 垂直的直线方程是
A. 4x+2y−3=0B. 4x−2y+3=0C. x+2y−3=0D. x−2y+3=0

9. 已知 A2,4，B1,0，动点 P 在直线 x=−1 上，当 ∣PA∣+∣PB∣ 取最小值时，点 P 的坐标为
A. −1,85B. −1,215C. −1,2D. −1,1

10. 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90∘，所得到的直线为
A. y=−13xB. y=13xC. y=3x−3D. y=−3x

11. 已知直线 l 过点 −2,1，且倾斜角是 π2，则直线 l 的方程是
A. x+y+1=0B. y=−12xC. x+2=0D. y−1=0

12. 直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 135∘，则 a，b 满足
A. a+b=1B. a−b=1C. a+b=0D. a−b=0

13. 直线 ax+by=1 （ a,b 不为 0 ）与两坐标轴围成的三角形的面积为
A. 12abB. 12∣ab∣C. 12abD. 12∣ab∣

14. 经过点 −3,2，倾斜角为 60∘ 的直线方程是
A. y+2=3x−3B. y−2=33x+3
C. y−2=3x+3D. y+2=33x−3

15. 在同一平面直角坐标系中，直线 l1:ax+y+b=0 和直线 l2:bx+y+a=0 有可能是
A. B.
C. D.

16. 方程 y=ax+1a 表示的直线可能是
A. B.
C. D.

17. 经过点 −2,2，倾斜角是 60∘ 的直线方程是
A. y+2=33x−2B. y−2=3x+2
C. y−2=33x+2D. y+2=3x−2

18. 直线 l 过点 P−1,2，倾斜角为 45∘，则直线 l 的方程为
A. x−y+1=0B. x−y−1=0C. x−y−3=0D. x−y+3=0

19. 与直线 y=−2x+3 平行，且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是
A. y=−2x+4B. y=−x+4C. y=−2x−83D. y=−12x−83

20. 若直线 l 过原点，且点 P3,5 到直线 l 的距离等于 3，则直线′的方程是
A. 15x−8y=0B. 8x−15y=0
C. x=0 或 15x−8y=0D. x=0 或 8x−15y=0

21. 两圆 x2+y2−4x+6y=0 和 x2+y2−6x=0 的圆心连线方程为
A. x+y+3=0B. 2x−y−5=0C. 3x−y−9=0D. 4x−3y+7=0

22. 斜率为 −3，在 x 轴上的截距为 2 的直线方程的一般式方程是
A. 3x+y+6=0B. 3x−y+2=0C. 3x+y−6=0D. 3x−y−2=0

23. 直线 l 垂直于直线 y=x+1，原点 O 到 l 的距离为 1，且 l 与 y 轴正半轴有交点，则直线 l 的方程是
A. x+y−2=0B. x+y+1=0C. x+y−1=0D. x+y+2=0

24. 任意三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知 △ABC 的顶点 A2,0，B0,4，若其欧拉线的方程为 x−y+2=0，则顶点 C 的坐标为
A. −4,0B. −3,−1C. −5,0D. −4,−2

25. 下面说法正确的是
A. 经过定点 Px0,y0 的直线都可以用方程 y−y0=kx−x0 表示
B. 不经过原点的直线都可以用方程 xa+yb=1 表示
C. 经过定点 A0,b 的直线都可以用方程 y=kx+b 表示
D. 经过任意两个不同的点 Px1,y1，Qx2,y2 的直线都可以用方程 x2−x1y−y1=y2−y1x−x1 表示

26. 从集合 A=−1,1,2 中随机选取一个数记为 k，从集合 B=−2,1,2 中随机选取一个数记为 b，则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为
A. 29B. 13C. 49D. 59

27. 已知椭圆：y29+x2=1，过点 P12,12 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为
A. 9x−y−4=0B. 9x+y−5=0C. 2x+y−2=0D. x+y+5=0

28. 已知 4,2 是直线 l 被椭圆 x236+y29=1 所截得线段的中点，则直线 l 的方程是
A. x−2y=0B. x+2y−4=0C. 2x+3y+4=0D. x+2y−8=0

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 已知直线 l 过点 P−1,1，且与直线 l1:2x−y+3=0 以及 x 轴围成一个底边在 x 轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是
A. 直线 l 与直线 l1 的斜率互为相反数
B. 直线 l 与直线 l1 的倾斜角互补
C. 直线 l 在 y 轴上的截距为 −1
D. 这样的直线 l 有两条

30. 已知直线 l 经过点 3,4，且点 A−2,2，B4,−2 到直线 l 的距离相等，则直线 l 的方程可能为
A. 2x+3y−18=0B. 2x−y−2=0C. x+2y+2=0D. 2x−3y+6=0
答案
第一部分
1. C【解析】y=2x−6 过点 3,0 、 T0,−6，因此直线过一、三、四象限．
2. D【解析】因为 B−1,0，C0,2，
所以线段 BC 的中点的坐标为 −12,1，线段 BC 所在直线的斜率 kBC=2，
则线段 BC 的垂直平分线的方程为 y−1=−12x+12，即 2x+4y−3=0，
因为 AB=AC，
所以 △ABC 的外心、重心、垂心都在线段 BC 的垂直平分线上，
所以 △ABC 的欧拉线方程为 2x+4y−3=0．
3. C【解析】设所求直线的方程为 y−1=kx−2．令 x=0，得 y=1−2k，所以 Q 点坐标为 0,1−2k，又因为 M 为线段 PQ 的中点，P 点纵坐标为 0，所以根据中点坐标公式得 0+1−2k2=1，解得 k=−12，故所求直线的方程为 x+2y−4=0．
4. A【解析】由倾斜角为 30∘ 知，直线的斜率 k=33，
因此，其直线方程为 y−3=33x+1，
化简得，3x−3y+43=0．
5. C
【解析】由题意得，直线 OP 的斜率为 −12，且 OP⊥l，
所以直线 l 的斜率为 2，
又直线 l 经过点 P−2,1，
所以直线的点斜式方程为 y−1=2x+2，化简得 y=2x+5．
6. B【解析】线段 AB 的中点坐标为 2,32，
因为直线 AB 的斜率 k=1−23−1=−12，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2．
由直线的点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程为 y−32=2x−2，即 4x−2y=5．
7. C【解析】圆 x+12+y−22=4 的圆心坐标为 −1,2，
因为直线 l 的斜率 k=1，
所以由点斜式得直线 l 的方程是 y−2=x+1，
化简得 x−y+3=0，
故选C．
8. D【解析】解法一：由 x+y−3=0,2x−y=0, 得 x=1,y=2.
因此两直线的交点为 1,2．
又直线 2x+y−5=0 的斜率为 −2，
所以要求直线的斜率为 12，
所以直线方程为 y−2=12x−1，即 x−2y+3=0，
故选D．
解法二：设要求的直线方程为 x+y−3+λ2x−y=0，
即 1+2λx+1−λy−3=0，
又该直线与直线 2x+y−5=0 垂直，
所以 21+2λ+1×1−λ=0，解得 λ=−1．
因此所求直线方程为 −x+2y−3=0，即 x−2y+3=0．
故选D．
9. A【解析】点 B 关于直线 x=−1 对称的点为 B1−3,0．
由图形知，当 A，P，B1 三点共线时，∣PA∣+∣PB1∣=∣PA∣+∣PB∣min．
此时，直线 AB1 的方程为 y=45x+3，
令 x=−1，得 y=85．
10. A
11. C
12. D【解析】当直线的倾斜角为 135∘ 时，直线的斜率为 −1，
将直线方程化为 y=−abx−cb，则其斜率 k=−ab=−1，
所以 a−b=0．
13. D
14. C【解析】因为 α=60∘，
所以 k=3，l:y−2=3x+3．
15. B
【解析】直线 l1:y=−ax−b，l2:y=−bx−a，可知 l1 的斜率是 l2 的纵截距，l1 的纵截距是 l2 的斜率，
在A选项中，l1 的纵截距为正，而 l2 的斜率为负，不合题意，排除A，
同理可排除C，D．
16. B【解析】直线 y=ax+1a 的斜率是 a，在 y 轴上的截距是 1a．当 a>0 时，斜率 a>0，在 y 轴上的截距是 1a>0，则直线 y=ax+1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当 a<0 时，斜率 a<0，在 y 轴上的截距是 1a<0，则直线 y=ax+1a 过第二、三、四象限，仅有选项B符合．
17. B【解析】k=tan60∘=3，则点斜式方程为 y−2=3x+2．
18. D【解析】由题意 k=tan45∘=1，所以直线 l 的方程为 y−2=1⋅x+1，即 x−y+3=0．
19. C【解析】直线 y=−2x+3 的斜率为 −2，则所求直线斜率 k=−2，直线方程 y=3x+4 中，令 y=0，得 x=−43，即所求直线与 x 轴的交点坐标为 −43,0．故所求直线方程为 y=−2x+43，即 y=−2x−83．
20. D
21. C【解析】两圆的圆心分别为 2,−3 、 3,0，直线方程为 y=0+33−2x−3 即 3x−y−9=0．
22. C
23. A【解析】因为直线 l 与直线 y=x+1 垂直，所以直接设直线 l 的方程为 y=−x+b，又 l 与 y 轴正半轴有交点，知 b>0，即 x+y−b=0b>0 的距离 ∣0+0−b∣12+12=1，求得 b=2b=−2舍去，所以所求直线 l 的方程为 x+y−2=0．
24. A【解析】设 Cm,n，由重心坐标公式，得 △ABC 的重心为 2+m3,4+n3，代入欧拉线的方程得 2+m3−4+n3+2=0，
整理得 m−n+4=0. ⋯⋯ ①
AB 的中点为 1,2，kAB=4−00−2=−2，
所以 AB 的垂直平分线的方程为 y−2=12x−1，即 x−2y+3=0．
由 x−2y+3=0,x−y+2=0,
解得 x=−1,y=1.
所以 △ABC 的外心为 −1,1．
则 m+12+n−12=32+12=10. ⋯⋯ ②
由①②联立，得 m=−4，n=0 或 m=0，n=4．
当 m=0，n=4 时，B，C 重合，不符合题意，舍去，
所以顶点 C 的坐标是 −4,0．
25. D
26. A【解析】从集合 A，B 中分别选取一个数记为 k,b，
则有 −1,−2,−1,1,−1,2,1,−2,1,1,1,2,2,−2,2,1,2,2，共有 9 个基本事件，
设直线 y=kx+b 不经过第三象限为事件 M，
则 k<0，b≥0，
则事件 M 包含的基本事件是 −1,1,−1,2，共有 2 个基本事件，
则 PM=29．
27. B【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
因为 A，B 在椭圆 y29+x2=1 上，
所以 y129+x12=1,y229+x22=1,
两式相减得 y12−y229+x12−x22=0，整理得 y1−y2y1+y29+x1−x2x1+x2=0，
又弦 AB 被点 P12,12 平分，
所以 x1+x2=1，y1+y2=1，将其代入上式得 y1−y29+x1−x2=0，得 y1−y2x1−x2=−9 即直线 AB 的斜率为 −9，
所以直线 AB 的方程为 y−12=−9x−12，即 9x+y−5=0．
28. D
第二部分
29. A， B， C
【解析】由于直线 l 与 l1 及 x 轴围成一个底边在 x 轴上的等腰三角形，所以 l 与 l1 的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；
易知直线 l 的方程为 y−1=−2x+1，因此其在 y 轴上的截距为 −1，故C选项正确；
易知这样的直线 l 只有一条，故D选项错误．
30. A， B
【解析】当直线 l 的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y−4=kx−3，即 kx−y+4−3k=0．
由已知得 ∣−2k−2+4−3k∣k2+1=∣4k+2+4−3k∣k2+1，
所以 k=2 或 k=−23，
所以直线 l 的方程为 2x−y−2=0 或 2x+3y−18=0．