高一数学寒假作业同步练习题圆与方程含解析

圆与方程

1．若点在圆内部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，解得．故选：A．

2．已知实数、满足，的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：

设为圆上的任意一点，

则点P到直线的距离为，

点P到原点的距离为，

所以，

设圆与直线相切，

则，解得，

所以的最小值为，最大值为，

所以

所以，故选：B

3．直线过点，且截圆所得的弦长为2，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设所求直线方程为，即，

圆心到直线的距离，

，解得：.故选：.

4．已知过点的直线l与圆C：相切，且与直线垂直，则实数a的值为（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】因为点满足圆的方程，所以在圆上，

又过点的直线与圆相切，且与直线垂直，所以切点与圆心连线与直线平行，

所以直线的斜率为：，

∴故选：D

5．已知点在圆上，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【解析】，表示的是点到点的距离

因为点在圆上，

所以的最小值为圆心到的距离减去半径，即

故选：A

6．点P在圆的内部，若圆中以P为中点的弦长为2，则F（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【点睛】由可得，即圆心为，半径为

所以圆心到的距离为，因为圆中以P为中点的弦长为2

所以，解得故选：A

7．已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【解析】化简得圆C的标准方程为，故圆心是，半径，

则连接线段OC，交圆于点P时最小，因为原点到圆心的距离，故此时.故选：B.

8．已知直线与圆相交于、两点（为坐标原点），且为等边三角形，则实数______．

【答案】

【解析】∵是等边三角形，，

∴圆心到直线距离为，又圆心为

∴，解得．故答案为：．

9．过原点且倾料角为的直线被圆所截的弦长为________.

【答案】

【解析】过原点且倾料角为的直线方程为

圆，即的圆心为，半径为

所以圆心到直线的距离为

所以弦长为 故答案为：

10．两圆与的公共弦长为______．

【答案】

【解析】两圆与方程相减得：

，即，

由得圆心，半径，

所以圆心到直线的距离为，

所以公共弦长为，

故答案为：

11．过抛物线焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若以线段为直径的圆与直线相切，则直线l的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【解析】当直线l垂直与x轴时，解得，

以为直径的圆为与直线相离，

故直线不满足题意；

当直线l的斜率存在时，设，

直线l的方程为，

则化简得．

圆的半径为，

圆心到直线的距离为，

解得，故直线l的方程为或．

故选：B．

另解：过A，B分别作准线的垂线．垂足分别为，，

则，

所以以为直径的圆与直线相切，

又以为直径的圆与相切，

故圆的直径为17，所以．

设直线与抛物线联立得．

记，则，

∴．

又．

∴．故选：B．

12．已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（  ）

A． B．[,]

C． D．）

【答案】D

【解析】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），

因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：

PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，

则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.

直线过定点（0，－2），直线方程即，

只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，

即：，解得：，

即实数的取值范围是）.

本题选择D选项.

13．已知方程：

①该方程表示圆，且圆心在直线上；

②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；

③当时，该方程表示的曲线关于直线的对称曲线为，则曲线上的点到直线的最大距离为；

④若，过点作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为，则所在的直线方程为．

以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）

【答案】③④

【解析】方程：

可化为：，

当即或时，方程表示圆，故①错；

由①知，当或时，该方程表示圆，且圆心在直线上移动，且半径不定，故②显然不正确；

当时，方程表示圆：,由条件知曲线上的点到直线的最大距离即为圆上的点到直线的最大距离，即为，所以③正确；

当时，，所以当时，圆面积最小，此时圆心为，圆方程为：，

设，则的中点为，，

所以为直径的圆方程为，

两圆方程相减即得所在的直线方程为，故④正确.

故答案为：③④

14．已知圆经过点，且圆心在直线上，直线与圆相切．

（1）求圆的方程；

（2）已知斜率为的直线经过原点，求直线被圆截得的弦长．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设圆心的坐标为，

则

化简，得，

解得，

所以，

半径，

所以圆的方程为

（2）直线的方程为，

设圆心到直线的距离为，

则，

设弦长为，得，

所以直线被圆截得的弦长为．