【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线的相关计算

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线的相关计算，共11页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共23小题；共115分）
1. 已知三角形的三个顶点 A2,4，B3,−6，C5,2，则过 A 点的中线长为
A. 10B. 210C. 112D. 310

2. 两直线y=kx+2k+1与x+2y−4=0交点在第四象限，则k的取值范围是( )
A. (−6，2)B. (−16,0)C. (−12,−16)D. (12,+∞)

3. 若点 Px,y 在直线 x+y−4=0 上，O 为坐标原点，则 ∣OP∣ 的最小值是
A. 10B. 22C. 6D. 2

4. 点 P2,3 到直线 ax+a−1y+3=0 的距离 d 最大时，d 与 a 的值依次为
A. 3，−3B. 5，2C. 5，1D. 7，1

5. 两条平行线 l1:3x−4y−1=0 与 l2:ax−8y−7=0 间的距离为
A. 12B. 35C. 65D. 1

6. 两条平行线 l1:3x−4y−1=0 与 l2:6x−8y−7=0 间的距离为
A. 12B. 35C. 65D. 1

7. 已知直线 mx+4y−2=0 与 2x−5y+n=0 互相垂直，垂足为 P1,p，则 m−n+p 的值是
A. 24B. 20C. 0D. −4

8. 已知点 Ax,5 关于点 1,y 的对称点 −2,−3，则点 Px,y 到原点的距离是
A. 4B. 13C. 15D. 17

9. 直线 l1:3ax−y−2=0 和直线 l2:2a−1x+5ay−1=0 分别过定点 A 和 B，则 ∣AB∣ 等于
A. 135B. 175C. 115D. 895

10. 两条平行直线 l1，l2 分别过点 P−1,3，Q2,−1，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终保持平行，则 l1，l2 之间的距离的取值范围是
A. 0,+∞B. 0,5C. 0,5D. 0,17

11. 若两条直线 l1:x+2y−6=0 与 l2:2x+ay+8=0 平行，则 l1 与 l2 之间的距离是
A. 25B. 1455C. 255D. 55

12. 已知动直线 l0:ax+by+c=0a>0,c>0 恒过点 P1,m，且 Q4,0 到动直线 l0 的最大距离为 3，则 12a+2c 的最小值为
A. 92B. 94C. 1D. 9

13. 若动点 A，B 分别在直线 l1:x+y−7=0 和 l2:x+y−5=0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为
A. 32B. 22C. 33D. 42

14. 已知圆 C1：x−12+y+12=1，圆 C2：x−42+y−52=9．点 M，N 分别是圆 C1，圆 C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 ∣PN∣−∣PM∣ 的最大值是
A. 25+4B. 9C. 7D. 25+2

15. 设直线 l1：x+3y−7=0 与直线 l2：x−y+1=0 的交点为 P，则 P 到直线 l：x+ay+2−a=0 距离的最大值为
A. 10B. 4C. 32D. 11

16. 设定点 A3,1，B 是 x 轴上的动点，C 是直线 y=x 上的动点，则 △ABC 周长的最小值是
A. 5B. 25C. 35D. 10

17. 直线 l1:kx−y−2k+4=0 与 x 轴交于点 M，直线 l2:x+ky−4k−2=0 与 y 轴交于点 N，线段 MN 的中点为 P，则点 P 的坐标 x,y 满足的方程为
A. x+2y−52x−y=0B. x+2y−5=0
C. 2x+y+42x+y=0D. 2x+y−4=0

18. 已知 A3,0，B0,3，从点 P0,2 射出的光线经 x 轴反射到直线 AB 上，又经过直线 AB 反射回到 P 点，则光线所经过的路程为
A. 210B. 6C. 33D. 26

19. 已知点 A2,−3，B−3,−2．若直线 l:mx+y−m−1=0 与线段 AB 相交，则实数 m 的取值范围是
A. −∞,−34∪4,+∞B. −34,4
C. 15,+∞D. −4,34

20. 已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0C1≠0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0C2≠0 交于点 M，O 为坐标原点，则直线 OM 的方程为
A. A1C1−A2C2x+B1C1−B2C2y=0B. A1C1−A2C2x−B1C1−B2C2y=0
C. C1A1−C2A2x+C1B1−C2B2y=0D. C1A1−C2A2x−C1B1−C2B2y=0

21. 已知点 A0,2,B2,0．若点 C 在函数 y=x2 的图象上，则使得 △ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1

22. 如图所示，已知 A−2,0，B2,0，C0,2，E−1,0，F1,0，一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上（不含端点），则直线 FD 的斜率的取值范围是
A. −∞,−2B. 4,+∞C. 2,+∞D. 1,+∞

23. 已知直线 l:kx−y+2=0 过定点 M，点 Px,y 在直线 2x+y−1=0 上，则 ∣MP∣ 的最小值是
A. 10B. 55C. 6D. 35

二、选择题（共7小题；共35分）
24. 等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C3,3，若点 A 的坐标为 0,4，则点 B 的坐标可能是
A. 2,0B. 0,2C. 4,6D. 6,4

25. 已知直线 l 过 P1,2，且 A2,3，B4,−5 到直线 l 的距离相等，则 l 的方程可能是
A. 4x+y−6=0B. x+4y−6=0C. 3x+2y−7=0D. 2x+3y−7=0

26. 已知直线 l 过点 P3,4 且与点 A−2,2，B4,−2 等距离，则直线 l 的方程可以是
A. 2x+3y−18=0B. 2x−y−2=0C. 3x−2y+18=0D. 2x−y+2=0

27. 已知平面上一点 M5,0，若直线上存在点 P 使 ∣PM∣=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是
A. y=x+1B. y=2C. y=43xD. y=2x+1

28. 下列说法正确的是
A. 过 x1,y1，x2,y2 两点的直线方程为 y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
B. 点 0,2 关于直线 y=x+1 的对称点为 1,1
C. 直线 x−y−2=0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2
D. 经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0

29. 等腰直角 △ABC 中，∠C=90∘，若点 A，C 的坐标分别为 0,4，3,3，则点 B 的坐标不可能是
A. 6,4B. 2,0C. 4,6D. 0,2

30. 下列说法中，正确的有
A. 直线 y=ax−3a+2a∈R 必过定点 3,2
B. 直线 y=3x−2 在 y 轴上的截距为 2
C. 直线 x−3y+1=0 的倾斜角为 30∘
D. 点 5,−3 到直线 x+2=0 的距离为 7
答案
第一部分
1. B【解析】根据题意，设 BC 的中点为 D，
又由 B3,−6，C5,2，则 BC 的中点 D 坐标为 4,−2，
则 ∣AD∣=4+36=210．
2. C【解析】【分析】联立方程组可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于0，综坐标小于0，解不等式组即可．
【解析】解：联立方程y=kx+2k+1x+2y−4=0，可解得x=2−4k2k+1y=6k+12k+1，
由两直线y=kx+2k+1与x+2y−4=0交点在第四象限可得x=2−4k2k+1>0y=6k+12k+1<0，
解此不等式组可得−12故选：C．
【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解方程组和不等式组是解决问题的关键，属基础题．
3. B【解析】∣OP∣ 的最小值即点 O 到直线 x+y−4=0 的距离，由点到直线的距离公式，得 ∣OP∣min=∣−4∣12+12=22．
4. C【解析】易知直线恒过点 A−3,3，根据已知条件可知当直线 ax+a−1y+3=0 与 A，P 两点所在直线垂直时，距离 d 最大，最大值为 5，此时 a=1．
5. A
【解析】因为两直线平行，
所以 3×−8−a×−4=0，解得 a=6，
将直线 l2:6x−8y−7=0 化为 l2:3x−4y−72=0，
所以两条平行线间的距离为 −1−−7232+−42=525=12．
6. A【解析】将直线 l1 变形为 6x−8y−2=0，所以所求距离为 −2+762+82=12．
7. B
8. D【解析】根据中点坐标公式得到 x−22=1,5−32=y, 解得 x=4,y=1.
所以 P 的坐标为 4,1．
则点 Px,y 到原点的距离 d=4−02+1−02=17．
9. A【解析】直线 l1:y=3ax−2 过定点 A0,−2，直线 l2:a2x+5y−x+1=0 过定点 B−1,25，所以 ∣AB∣=−1−02+25−−22=135．
10. C
【解析】当两条平行直线 l1，l2 与直线 PQ 垂直时，l1，l2 间的距离最大最大距离为 PQ=−1−22+3+12=5，
所以 l1，l2 之间的距离的取值范围是 0,5．
11. A【解析】两条直线 l1:x+2y−6=0 与 l2:2x+ay+8=0 平行，
则 12=2a≠−68，
解得 a=4．
所以 2x+4y+8=0 可化为 x+2y+4=0，
所以两直线间的距离 d=∣−6−4∣12+22=105=25．
故选A．
12. B【解析】由题得 ∣PQ∣=3，解得 m=0，所以 a+c=2，则 1212a+2ca+c≥94．
13. A【解析】依题意知动线段 AB 的中点 M 的轨迹为与直线 l1:x+y−7=0 和 l2:x+y−5=0 等距的直线，
则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，
设点 M 的轨迹方程为 x+y+m=0，根据平行线间的距离公式得 m+72=m+52⇒m+7=m+5⇒m=−6，
即点 M 的轨迹方程为 x+y−6=0，
根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为 ∣−6∣2=32．
14. B【解析】圆 C1：x−12+y+12=1 的圆心 E1,−1，半径为 1，
圆 C2：x−42+y−52=9 的圆心 F4,5，半径是 3．
要使 ∣PN∣−∣PM∣ 最大，需 ∣PN∣ 最大，且 ∣PM∣ 最小，∣PN∣ 最大值为 ∣PF∣+3，∣PM∣ 的最小值为 ∣PE∣−1，
故 ∣PN∣−∣PM∣ 最大值是 ∣PF∣+3−∣PE∣−1=∣PF∣−∣PE∣+4，
F4,5 关于 x 轴的对称点 Fʹ4,−5，
∣PN∣−∣PM∣=∣PFʹ∣−∣PE∣≤∣EFʹ∣=4−12+−5+12=5,
故 ∣PN∣−∣PM∣ 的最大值为 5+4=9．
15. A
【解析】由 x+3y−7=0,x−y+1=0 得 x=1,y=2, 故 P1,2．
直线 l 的方程可整理为 x+2+ay−1=0，故直线 l 过定点 Q−2,1．
因为 P 到直线 l 的距离 d≤∣PQ∣，当且仅当 l⊥PQ 时等号成立，
所以 dmax=1+22+2−12=10．
16. B【解析】作出点 A3,1 关于 y=x 的对称点 Aʹ1,3，
关于 x 轴的对称点 Aʺ3,−1，
连接 AʹAʺ，交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 B，如图，
则 ∣AC∣=∣AʹC∣，∣AB∣=∣AʺB∣，
所以 △ABC 周长的最小值为 ∣AʹAʺ∣=1−32+3+12=25．
17. B【解析】由题意得 k≠0，M2−4k,0，N0,4+2k，
因此 P1−2k,2+1k．
令 x=1−2k，y=2+1k，
消去 k 得 x+2y−5=0．
18. D【解析】由题易知直线 AB 的方程为 x+y=3，
点 P0,2 关于 x 轴的对称点为 P10,−2，
设点 P0,2 关于直线 AB 的对称点为 P2a,b，
如图．
所以 b−2a×−1=−1,a2+2+b2=3,
解得 a=1,b=3.
所以 P21,3．
所以光线所经过的路程为 ∣PQ∣+∣QM∣+∣MP∣=P1P2=12+3+22=26．
19. A【解析】设直线 l 必过定点 Px,y，则直线 l:mx+y−m−1=0 可写成 mx−1+y−1=0，
令 x−1=0,y−1=0, 解得 x=1,y=1.
所以直线 l 必过定点 P1,1．
kPA=−3−12−1=−4，kPB=−2−1−3−1=34．
因为直线 l:mx+y−m−1=0 与线段 AB 相交，
所以由图象知（图略），−m≥34 或 −m≤−4，
解得 m≤−34 或 m≥4，
则实数 m 的取值范围是 −∞,−34∪4,+∞．
20. A
【解析】由已知得直线 l1:A1C1x+B1C1y+1=0，直线 l2:A2C2x+B2C2y+1=0，两式相减可得 A1C1−A2C2x+B1C1−B2C2y=0．
易知点 O，M 的坐标都满足该直线的方程，故点 O，M 都在该直线上．
所以直线 OM 的方程为 A1C1−A2C2x+B1C1−B2C2y=0．
故选A．
21. A【解析】根据题意，
S△ABC=12×AB×h=12×22×h=2,
解得 h=2，即点 C 到直线 AB 的距离为 2．
问题转化为与直线 AB 距离为 2 的直线与抛物线交点的个数．
由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 2 的直线方程为
y=−x 或 y=−x+4,
分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．
22. B【解析】如图所示，
从特殊位置考虑．
因为点 A−2,0 关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 A12,4，
所以直线 A1F 的斜率 kA1F=4，
所以 kA1F因为点 E−1,0 关于直线 AC:y=x+2 的对称点为 E1−2,1，
点 E1−2,1 关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 E21,4，此时直线 E2F 的斜率不存在．
综上，kFD∈4,+∞．
23. B【解析】直线 l:kx−y+2=0 恒过点 0,2，
所以 M0,2．
因为点 Px,y 在直线 2x+y−1=0 上，
所以 ∣MP∣ 的最小值为点 M 到直线 2x+y−1=0 的距离，
所以 d=∣2×0+2−1∣22+12=15=55．
故选B．
第二部分
24. A， C
【解析】设 Bx,y，
根据题意可得 kAC⋅kBC=−1,∣BC∣=∣AC∣,
即 3−43−0⋅y−3x−3=−1,x−32+y−32=0−32+4−32,
解得 x=2,y=0 或 x=4,y=6, 所以 B2,0 或 B4,6．
25. A， C
【解析】由条件可知直线 l 平行于直线 AB 或过线段 AB 的中点，
当直线 l∥AB 时，AB 的斜率为 3+52−4=−4，l 的方程是 y−2=−4x−1，即 4x+y−6=0；
当直线 l 经过线段 AB 的中点 3,−1 时，l 的斜率为 2+11−3=−32，
l 的方程是 y−2=−32x−1，即 3x+2y−7=0．
26. A， B
【解析】解法一：若直线 l 的斜率不存在，则方程为 x=3，易验证知不合题意；
若直线 l 的斜率存在，设所求直线的方程为 y−4=kx−3，即 kx−y−3k+4=0，
由已知及点到直线的距离公式可得 ∣−2k−2+4−3k∣1+k2=∣4k+2+4−3k∣1+k2，解得 k=2 或 k=−23，
故所求直线的方程为 2x+3y−18=0 或 2x−y−2=0，
故选AB．
解法二：由题意，知直线 l 平行于 AB 或过线段 AB 的中点 1,0，
若 l∥AB，则 kl=kAB=−2−24−−2=−23，
所以直线 l 的方程为 y−4=−23x−3，即 2x+3y−18=0，
若直线 l 过线段 AB 的中点，则 kl=4−03−1=2，
所以直线 l 的方程为 y−4=2x−3，即 2x−y−2=0．
综上所述，所求直线的方程为 2x+3y−18=0 或 2x−y−2=0，
故选AB．
27. B， C
【解析】对A，点 M5,0 到直线 y=x+1 的距离为 d=62=32>4，故 y=x+1 不是“切割型直线”；
对B，点 M5,0 到直线 y=2 的距离为 d=3<4，故 y=2 是“切割型直线”；
对C，点 M5,0 到直线 y=43x 的距离为 d=43×5−12+432=4，
故 y=43x 是“切割型直线”；
对D，点 M5,0 到直线 y=2x+1 的距离为 d=2×5+1−12+22=1155>4，故 y=2x+1 不是“切割直线”．
故选BC．
28. B， C
【解析】对于A，当 x1≠x2，y1≠y2 时，过 x1,y1，x2,y2 两点的直线方程为 y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，所以A不正确；
对于B，点 0,2 与点 1,1 连线的中点坐标为 12,32，满足直线方程 y=x+1，并且两点所在直线的斜率为 −1，所以点 0,2 关于直线 y=x+1 的对称点为 1,1，所以B正确；
对于C，直线 x−y−2=0 在两坐标轴上的截距分别为 2，−2，故直线 x−y−2=0 与坐标轴围成的三角形的面积是 12×2×2=2，所以C正确；
对于D，经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x，所以D不正确．
故选BC．
29. A， D
【解析】由题意，知 AC⊥BC，且 ∣AC∣=∣BC∣．
设 Bx,y，则 y−3x−3⋅4−30−3=−1,x−32+y−32=9+1,
解得 x=2,y=0 或 x=4,y=6, 即点 B 的坐标可以是 2,0 或 4,6．
30. A， C， D
【解析】对于A，化简得直线 y=ax−3+2，故直线必过定点 3,2，故A正确；
对于B，直线 y=3x−2 在 y 轴上的截距为 −2，故B错误；
对于C，直线 x−3y+1=0 的斜率为 33，故倾斜角 θ 满足 tanθ=33，0∘≤θ<180∘，则 θ=30∘，故C正确；
对于D，因为直线 x=−2 垂直于 x 轴，故点 5,−3 到直线 x=−2 的距离为 5−−2=7，故D正确．
故选ACD．