【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：坐标系与参数方程

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一、选择题（共30小题；共150分）
1. 点 P1,−3，则它的极坐标是
A. 2,π3B. 2,4π3C. 2,−π3D. 2,−4π3

2. 柱坐标 2,2π3,1 对应的点的直角坐标是
A. −1,3,1B. 1,−3,1C. 3,−1,1D. −3,1,1

3. P 是椭圆 x=23csα,y=4sinα,（α 为参数）上一点，且在第一象限，OP（O 为原点）的倾斜角为 π6，则点 P 的坐标为
A. 2,3B. 4155,455C. 23,3D. 4,3

4. 参数方程 x=sinθ+csθ,y=sinθcsθθ为参数 表示的曲线为
A. B.
C. D.

5. 下列可以作为直线 2x−y+1=0 的参数方程的是
A. x=1+t,y=3+t, （ t 为参数）B. x=1−t,y=5−2t, （ t 为参数）
C. x=1−t,y=3−2t, （ t 为参数）D. x=2+255t,y=5+55t, （ t 为参数）

6. 直线 x=−2+tcs30∘,y=3−tsin60∘ （ t 为参数），的倾斜角 α 等于
A. 30∘B. 60∘C. −45∘D. 135∘

7. 经过点 M1,5 且倾斜角为 π3 的直线，以定点 M 到动点 P 的位移（t 为参数）的参数方程
A. x=1+12t,y=5−32tB. x=1−12t,y=5+32tC. x=1−12t,y=5−32tD. x=1+12t,y=5+32t

8. 椭圆 x=4+5csφy=3sinφ（φ 为参数）的焦点坐标为
A. 0,0，0,−8B. 0,0，−8,0
C. 0,0，0,8D. 0,0，8,0

9. 将 y=sinx 的图象横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，所得图象的函数解析式为
A. y=2sin12xB. y=12sin2xC. y=2sin2xD. y=12sin12x

10. 曲线的参数方程为 x=3t2+2,y=t2−1（t 是参数），则曲线是
A. 线段B. 双曲线的一支C. 圆D. 射线

11. 椭圆 x=3+3csφy=−1+5sinφ 的两个焦点坐标是
A. −3,5,−3,−3B. 3,3,3,−5
C. 1,1,−7,1D. 7,−1,−1,−1

12. 过点 2,π4 平行于极轴的直线的极坐标方程是
A. ρcsθ=4B. ρsinθ=4C. ρsinθ=2D. ρcsθ=2

13. 点 P1,0 到曲线 x=t2,y=2t.（其中参数 t∈R）上的点的最短距离为
A. 0B. 1C. 2D. 2

14. 下列以 t 为参数的参数方程所表示的曲线中，与 xy=1 所表示的曲线完全一致的是
A. x=t12y=t−12B. x=∣t∣y=1∣t∣C. x=csty=sectD. x=tanty=ctt

15. 直线 y=2x+1 的参数方程是
A. x=t2,y=2t2+1t为参数B. x=2t−1,y=4t+1t为参数
C. x=t−1,y=2t−1t为参数D. x=sinθ,y=2sinθ+1θ为参数

16. 若直线 l 的参数方程为 x=1+3ty=2−4t（t 为参数），则直线 l 倾斜角的余弦值为
A. −45B. −35C. 35D. 45

17. 在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsinθ+π4=22，则点 A2,3π4 到直线 l 的距离为
A. 2B. 22C. 2−22D. 2+22

18. 已知直线 x=2+t,y=1+t（t 为参数）与曲线 M：ρ=2csθ 交于 P，Q 两点，则 PQ=
A. 1B. 2C. 2D. 22

19. 参数方程 x=t+1t,y=−2,（t 为参数）所表示的曲线是
A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D. 两条直线

20. 集合 M=x,yx=3csθ,y=3sinθθ是参数,0<θ<π，N=x,yy=x+b，若集合 M∩N≠Ø，则 b 应满足
A. −32≤b≤32B. −32C. 0≤b≤32D. −3
21. 在极坐标系中有如下三个结论：
①点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程；
② tanθ=1 与 θ=π4 表示同一条曲线；
③ ρ=3 与 ρ=−3 表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是
A. ①③B. ①C. ②③D. ③

22. 设 a，b∈R，a2+2b2=6，则 a+b 的最小值是
A. −22B. −533C. −3D. −72

23. 极坐标方程 ρcs2θ=0 表示的曲线为
A. 极点B. 极轴C. 一条直线D. 两条相交直线

24. 在极坐标系中，圆 ρ=2csθ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为
A. θ=0ρ∈R 和 ρcsθ=2
B. θ=π2ρ∈R 和 ρcsθ=2
C. θ=π2ρ∈R 和 ρcsθ=1
D. θ=0ρ∈R 和 ρcsθ=1

25. 方程 x=t+1t,y=2（t 为参数）表示的曲线是
A. 一条直线B. 两条射线
C. 一条线段D. 抛物线的一部分

26. 直线 θ=α 与 ρcsθ−α=1 的位置关系是
A. 平行B. 垂直
C. 相交不垂直D. 与 α 有关，不确定

27. 设 x1 、 x2∈R，常数 a>0，定义运算 " * "， x1*x2=x1+x22−x1−x22，若 x≥0，则动点 Px,x*a 的轨迹是
A. 圆B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分

28. 直线 3x+y−23=0 与圆 x=1+2csθ,y=3+2sinθ（θ 为参数）的位置关系是
A. 相离B. 相切
C. 相交但不过圆心D. 相交且过圆心

29. 若直线 y=x−b 与曲线 x=2+csθy=sinθθ∈0,2π 有两个不同的公共点，则实数 b 的取值范围为
A. 2−2,1
B. 2−2,2+2
C. −∞,2−2∪2+2,+∞
D. 2−2,2+2

30. 已知抛物线 y=−316x−1x−9 与 x 轴交于 A，B 两点，对称轴与抛物线交于点 C，与 x 轴交于点 D，⊙C 的半径为 2，G 为 ⊙C 上一动点，P 为 AG 的中点，则 DP 的最大值为
A. 72B. 412C. 342D. 23
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. C
5. C
6. D
7. D
8. D【解析】提示：因为椭圆的直角坐标方程为 x−4225+y29=1，相当于椭圆 x225+y29=1 的焦点 −4,0 、 4,0 向右平移 4 个单位．
9. D【解析】y=sinx→[纵坐标缩短为原来的12]横坐标不变y=12sinx→[横坐标伸长为原来的2倍]纵坐标不变y=12sin12x．
10. D
【解析】代入消去参数得 x−3y−5=0，因为 x≥2，故曲线是射线．
11. B【解析】可得 a=3，b=5，c=4，椭圆的对称中心为 3,−1，在直角坐标系中的焦点坐标为 3,3，3,−5．
12. C
13. B【解析】曲线方程可化为 y2=4x，为焦点在 x 轴的抛物线，且点 P 为抛物线的焦点．设点 Qx0,y0（x0≥0）为抛物线上的点，则由抛物线定义可得，∣PQ∣=x0+1≥1，所以所求最短距离为 1．
14. D
15. C
16. B
17. B
18. C
19. B【解析】提示：由均值定理，t>0，t+1t≥2；t<0，t+1t≤−2 .
20. D
【解析】集合 M 表示 x2+y2=9 的圆，其中 y>0，集合 N 表示一条直线，画出集合 M 和 N 表示的图形，可知 −321. D
22. C【解析】设 a=6csα,b=3sinα（α 为参数），则 a+b=6csα+3sinα=3⋅sinα+θ0，其中 tanθ0=2．
所以 a+b 的最小值为 −3．
23. D【解析】依题意得 cs2θ=0，即 csθ−sinθ=0 或 csθ+sinθ=0，
即 ρcsθ−ρsinθ=0 或 ρcsθ+ρsinθ=0，
即 x−y=0 或 x+y=0．
所以该极坐标方程表示的曲线是两条相交直线．
24. B【解析】圆的直角坐标方程为 x−12+y2=1，则圆的垂直于 x 轴的两条切线方程为 x=0 和 x=2，所以两条垂直于极轴的切线的极坐标方程为 θ=π2ρ∈R 和 ρcsθ=2．
25. B
【解析】对于 x=t+1t t≠0，当 t>0 时，x=t+1t≥2t⋅1t=2
当 t<0 时，−t>0，−t−1t≥2−t⋅−1t=2 得 x≤−2．
∴ x 的范围为：x≤−2 或 x≥2，方程 x=t+1t,y=2（t 为参数）表示的曲线是两条射线．
26. B【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程分别为 y=tanαx，csαx+sinαy−1=0，这两条直线的斜率分别为 tanα，−ctα，由 tanα−ctα=−1，所以这两条直线互相垂直．
27. D【解析】x*a=x+a2−x−a2=2ax，则 Px,2ax．
设 Px1,y1，即 x1=x,y1=2ax 消去 x 得 y12=4ax1x1≥0,y1≥0．
故点 P 的轨迹为抛物线的一部分．
28. C【解析】把圆的参数方程化为直角坐标方程得 x−12+y−32=4，所以圆心为 1,3，半径为 2．圆心 1,3 到直线 3x+y−23=0 距离为 d=∣3+3−23∣3+1=3−32<2，所以直线与圆相交．又点 1,3 不符合直线方程，所以直线不过圆心．
29. D【解析】x=2+csθy=sinθ 化为普通方程 x−22+y2=1，表示圆，因为直线与圆有两个不同的交点，所以 ∣2−b∣2<1，解得 2−230. A
【解析】抛物线 y=−316x−1x−9 与 x 轴交于 A，B 两点，
可得 A1,0，B9,0，D5,0，C5,3，
圆的方程为：x−52+y−32=4，
设 G5+2csθ,3+2sinθ．P 为 AG 的中点，
可得 P3+csθ,32+sinθ．
DP=csθ−22+32+sinθ2=5+94−4csθ+3sinθ=5+94+5sinθ−γ,
其中 tanγ=43．
5+94+5sinθ−γ≤10+94=72．