【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：线面角

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：线面角，共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共27小题；共135分）
1. 已知向量 m，n 分别是直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量，若 csm,n=−12，则 l 与 α 所成的角为
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘

2. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

3. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

4. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为
A. 75∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘

5. 所有棱长都是 a 的四棱柱 ABCD−A1B1C1D1，对角线 AC1 、 BD1 、 B1D 两两垂直，则侧棱与底面所成角的余弦值为
A. 0B. 13C. 33D. 12

6. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，对角线 AC1 与底面 ABCD 所成角的正切值等于
A. 1B. 2C. 22D. 33

7. 已知二面角 α−l−β 的大小为 φ，直线 a⊂α，a 与 β 所成的角为 θ，则
A. φ≥θ
B. φ≤θ
C. 当 φ>90∘ 时，φ>θ；当 φ≤90∘ 时，φ≤θ
D. φ 与 θ 的大小关系不确定

8. 如果平面的一条斜线长是它在这平面上的射影长的 3 倍，那么这条斜线与平面所成角的余弦值为
A. 13B. 223C. 22D. 23

9. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1，则 AB1 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为
A. 255B. 25C. 105D. 12

10. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘

11. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起成直二面角，点 E，F 分别是 AD，BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘

12. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 为 CC1 的中点，则直线 A1B 与平面 BDE 的夹角为
A. π6B. π3C. π2D. 56π

13. 如图，已知长方体 ABCD−­A1B1C1D1 中，AD=AA1=1，AB=3，E 为线段 AB 上一点，且 AE=13AB，则 DC1 与平面 D1EC 所成的角的正弦值为
A. 33535B. 277C. 33D. 24

14. 如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，底面边长为 2，直线 CC1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 13，则正四棱柱的高为
A. 2B. 3C. 4D. 5

15. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 F 是线段 BC1 上的动点，则下列说法错误的是
A. 当点 F 移动至 BC1 中点时，直线 A1F 与平面 BDC1 所成角最大且为 60∘
B. 无论点 F 在 BC1 上怎么移动，都有 A1F⊥B1D
C. 当点 F 移动至 BC1 的中点时，才有 A1F 与 B1D 相交于一点，记为点 E，且 A1EEF=2
D. 无论点 F 在 BC1 上怎么移动，异面直线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30∘

16. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1，则直线 BC1 与平面 BB1DD1 所成角的正弦值为
A. 63B. 102C. 155D. 105

17. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是 AB，CC1 的中点，则直线 A1E 与平面 B1D1F 所成角的正弦值是
A. 155B. 1510C. 55D. 3010

18. 平面 α 的一个法向量为 n=1,−3,0，则 y 轴与平面 α 所成的角的大小为
A. π6B. π3C. π4D. 5π6

19. 如图，在三棱锥 P−ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D 为 AB 的中点，则异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为
A. 14B. 24C. 34D. 12

20. 若直线 l 与平面 α 所成的角为 π3 ，直线 a 在平面 α 内且与直线 l 异面，则直线 l 与直线 a 所成的角的取值范围是
A. 0,2π3B. π3,2π3C. π3,π2D. π3,π2

21. △ABC 的顶点 B 在平面 α 内，A，C 在平面 α 的同侧，AB，BC 与 α 所成的角分别是 30∘ 和 45∘，若 AB=3，BC=42，AC=5，则 AC 与 α 所成的角为

A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 15∘

22. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 、 F 分别是 AB 、 C1D1 的中点，则 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角为
A. arccs63B. arctan62C. arctan2D. arccs22

23. A,B 两点相距 4 cm，且 A、B 与平面 α 的距离分别为 3 cm 和 1 cm，则 AB 与平面 α 所成的角是
A. 30∘B. 90∘
C. 30∘ 或 90∘D. 30∘ 或 90∘ 或 150∘

24. 等腰 △ABC 中，AB=BC=3，AC=2，沿 AC 边上的高 BD 把 △ABC 折成 60∘ 的二面角，则 AB 与平面 BCD 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 以上都不对

25. 如图，已知六棱锥 P−ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中正确的是
A. PB⊥AD
B. 平面PAB⊥平面PBC
C. 直线BC∥平面PAE
D. 直线PD 与 平面ABC 所成的角为 45∘

26. 如图所示，四棱锥 S−ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

27. 过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60∘，则该截面的面积是
A. πB. 2πC. 3πD. 23π

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 如图，已知正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，则下列四种说法正确的是
A. 直线 BC 与平面 ABC1D1 所成的角等于 π4
B. 点 C 到平面 ABC1D1 的距离为 22
C. 两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为 π4
D. 三棱柱 AA1D1−BB1C1 外接球的半径为 32

29. 在长方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，AB=2，AD=3，AAʹ=1，以 D 为原点，DA，DC，DDʹ 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是
A. BDʹ=−3,−2,1
B. 异面直线 AʹD 与 BDʹ 所成角的余弦值为 23535
C. 平面 AʹCʹD 的一个法向量为 −2,−3,6
D. 二面角 Cʹ−AʹD−Dʹ 的余弦值为 37

30. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则下列结论中正确的是
A. AC⊥BDB. AB，CD 所成角为 π3
C. △ADC 为等边三角形D. AB 与平面 BCD 所成角为 π3
答案
第一部分
1. A【解析】设所求角为 θ，0∘≤θ≤90∘，则 sinθ=∣csm,n∣=12，
所以 θ=30∘．
2. C
3. C
4. C【解析】提示：如图所示，
∠PAO 即为侧棱与底面所成的角，容易得到 AO=22，而 PA=1，∴cs∠PAO=AOPA=22．
5. C
【解析】提示：联结 AD1 、 AB1 、 B1D1，如图，
由 AC1 、 BD1 垂直可得四边形 ABC1D1 是菱形，所以 AD1=AB=a，同理可得 B1D1=AB1=a，∠AA1C1 为侧棱与底面所成角，而 ∠A1AC1 为直角，A1C1=3a，所以 csAA1C1=33．
6. C
7. A
8. A
9. B【解析】如图所示，
作 B1H⊥BC1 于点 H 连接 AH，
因为 AB⊥平面BCC1B1，B1H⊂平面BCC1B，
所以 AB⊥B1H，
又因为 B1H⊥BC1，BC1∩AB=B，
所以 B1H⊥平面ABC1D1，
所以 AB1 与平面 ABC1D1 所成的角为 ∠B1AH，
在 Rt△BB1C1 中，BB1=1，B1C1=2，
由等面积法得到 B1H=25，AB1=5，
所以 ∠B1AH 的正弦值为 B1HAB1=25．故选B．
10. C
【解析】如图，当 DO⊥平面ABC 时，三棱锥 D−ABC 的体积最大．

易知 ∠DBO 为直线 BD 和平面 ABC 所成的角．
因为在 Rt△DOB 中，OD=OB，
所以直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为 45∘．
11. C【解析】OE=12OA+OD，OF=12OB+OC，
所以
OE⋅OF=14OA⋅OB+OA⋅OC+OD⋅OB+OD⋅OC=−14OA2.
又 OE=OF=22OA，
所以
csOE,OF=−14OA212OA2=−12.
所以 ∠EOF=120∘，
故选C．
12. B【解析】以点 D 为原点，DA，DC，DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 D0,0,0，A1,0,0，B1,1,0，E0,1,12，A11,0,1，
所以 DB=1,1,0，DE=0,1,12，A1B=0,1,−1．
所以平面 BDE 的一个法向量 n=1,−1,2 .
因为 BA1=0,−1,1，
所以 csBA1,n=1+223=32，
所以 BA1,n=π6．
所以直线 A1B 与平面 BDE 的夹角为 π3．
13. A【解析】如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则 C10,3,1，D10,0,1，E1,1,0，C0,3,0，
所以 DC1=0,3,1，D1E=1,1,−1，D1C=0,3,−1．
设平面 D1EC 的法向量为 n=x,y,z，
则 n⋅D1E=0,n⋅D1C=0, 即 x+y−z=0,3y−z=0,
即 x=2y,z=3y, 取 y=1，得 n=2,1,3．
因为 csDC1,n=DC1⋅nDC1⋅n=0,3,1⋅2,1,310×14=33535，
所以 DC1 与平面 D1EC 所成的角的正弦值为 33535．
14. C
15. A
16. D【解析】以 D 点为坐标原点，以 DA，DC，DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0，C10,2,1，
所以 BC1=−2,0,1，AC=−2,2,0，AC 为平面 BB1D1D 的一个法向量．
所以 csBC1,AC=45⋅8=105．
所以直线 BC1 与平面 BB1DD1 所成角的正弦值为 105．
17. D
18. B
19. B【解析】取 AC 的中点 O，连接 OP，OB，
因为 PA=PC，
所以 AC⊥OP，
因为 平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
所以 OP⊥平面ABC，
又因为 AB=BC，
所以 AC⊥OB，
以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 △PAC 是等腰直角三角形，PA=PC=4，
△ABC 为等边三角形，
所以 A22,0,0，C−22,0,0，P0,0,22，D2,6,0，
所以 AC=−42,0,0，PD=2,6,−22，
所以 cs⟨AC,PD⟩=AC⋅PD∣AC∣∣PD∣=−842×4=−24．
所以异面直线 AC 与 PD 所成角的余弦值为 24．
20. D
21. C
22. C
23. C
24. A【解析】A 到面 BCD 的距离为 32，则 AB 与平面 BCD 所成的角的正弦值为 12，所以 AB 与平面 BCD 所成的角为 30∘．
25. D
【解析】因为 PA⊥平面ABC，
所以 ∠ADP 是直线 PD 与平面 ABC 所成的角．
又因为六边形 ABCDEF 为正六边形，
所以 AD=2AB，
所以 tan∠ADP=PAAD=2AB2AB=1．
26. D【解析】选项 A 正确，
因为 SD 垂直于平面 ABCD，而 AC 在平面 ABCD 中，所以 AC 垂直于 SD；
再由 ABCD 为正方形，所以 AC 垂直于 BD，而 BD 与 SD 相交，所以，AC 垂直于平面 SBD，进而垂直于 SB．选项 B 正确；
因为 AB 平行于 CD，而 CD 在平面 SCD 内，AB 不在平面 SCD 内，所以 AB 平行于平面 SCD．选项 C 正确；
设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 SO，则 SA 与平面 SBD 所成的角就是 ∠ASO，SC 与平面 SBD 所成的角就是 ∠CSO，易知这两个角相等．选项 D 错误；
AB 与 SC 所成的角等于 ∠SCD，而 DC 与 SA 所成的角是 ∠SAB，这两个角不相等．
27. A【解析】若 OA 与该截面所成的角是 60∘，则截面圆的半径是 R=1，该截面的面积是 π．
第二部分
28. A， B， D
【解析】正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1，对于A，易得直线 BC 与平面 ABC1D1 所成的角为 ∠CBC1=π4，故A正确；
对于B，易证 B1C⊥平面ABC1D1，所以点 C 到平面 ABC1D1 的距离为 B1C 长度的一半，为 22，故B正确；
对于C，因为 BC1∥AD1，所以异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为 ∠AD1C，而 △AD1C 为等边三角形，故两条异面直线 D1C 和 BC1 所成的角为 π3，故C错误；
对于D，因为三棱柱 AA1D1−BB1C1 的外接球也是正方体 ABCD−A1B1C1D1 的外接球，所以外接球半径 R=12+12+122=32，故D正确．
29. A， C， D
30. A， B， C
【解析】如图，
A．取 BD 中点为 O，连接 AO，CO，易知 BD⊥平面AOC，故 BD⊥AC．
B．以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方形 ABCD 边长为 a，则 A22a,0,0，B0,22a,0，C0,0,22a，D0,−22a,0，故 AB=−22a,22a,0，CD=0,−22a,−22a．由两向量夹角公式得 \（\cs\left=-\dfrac{1}{2}\），故异面直线 AB，CD 所成的角为 π3．
C．在直角三角形 AOC 中，由 AO=CO=22a，AO⊥CO，得 AC=2AO=a，故 △ADC 为等边三角形．
D．易知 ∠ABO 即为直线 AB 与平面 BCD 所成的角，易得 ∠ABO=π4，故D错误．