【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与圆锥曲线的位置关系

这是一份【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：直线与圆锥曲线的位置关系，共14页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共27小题；共135分）
1. 椭圆 C:x24+y2=1，过 A0,2 作直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若 △AOM 与 △AON 的面积之比为 5:3，则直线 l 的斜率为
A. 1B. 12C. ±1D. ±2

2. 已知抛物线 y2=2pxp>0 经过点 M2,y0，若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则 OM=
A. 2B. 22C. 4D. 23

3. 无论 k 为何值，直线 y=kx+2 和曲线 x29+y24=1 的交点个数为
A. 0B. 1C. 2D. 1 或 2

4. 若直线 y=kx+2 与椭圆 x23+y22=1 有且只有一个交点，则斜率 k 的值是
A. 63B. −63C. ±63D. ±33

5. 已知点 A0,2，抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N．若 |FM||MN|=55，则 p=
A. 18B. 14C. 2D. 4

6. 已知直线 y=kx+1 和椭圆 x2+2y2=1 有公共点，则 k 的取值范围是
A. k22B. −22b>0 的右焦点为 F，离心率为 22，过点 F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 AB 的中点为 1,1，则直线 l 的斜率 k=
A. 2B. −2C. 12D. −12

17. 已知点 A3,0，点 P 在抛物线 y2=4x 上，过点 P 的直线与直线 x=−1 垂直相交于点 B，∣PB∣=∣PA∣，则 cs∠APB 的值为
A. 12B. 13C. −12D. −13

18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，设直线 l 交抛物线 y=14x2 于 A，B 两点，若 ∣OA∣，∣OB∣ 恰好是 Rt△OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点），则此直线 l 恒过定点
A. 14,0B. 12,0C. 0,2D. 0,4

19. 已知点 A0,2,B2,0．若点 C 在函数 y=x2 的图象上，则使得 △ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为
A. 4B. 3C. 2D. 1

20. 已知点 F−c,0c>0 是双曲线 x2a2−y2b2=1 的左焦点，过 F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆 x2+y2=c2 交于点 P，且点 P 在抛物线 y2=4cx 上，则该双曲线的离心率的平方是
A. 3+52B. 5C. 5−12D. 1+52

21. 过双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点 F 作一条直线，当直线斜率为 1 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3 时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为
A. 1,2B. 1,10C. 2,10D. 5,10

22. 已知直线 y=kx−k−1 与曲线 C：x2+2y2=mm>0 恒有公共点，则 m 的取值范围是
A. 3,+∞B. −∞,3C. 3,+∞D. −∞,3

23. 如图，圆 F:x−12+y2=1 和抛物线 x=y24，过 F 的直线与抛物线和圆依次交于 A，B，C，D 四点，则 AB⋅CD 的值是
A. 1B. 2C. 3D. 无法确定

24. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 及点 B0,a，过点 B 与椭圆相切的直线交 x 轴的负半轴于点 A，F 为椭圆的右焦点，则 ∠ABF 等于
A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘

25. 若直线 kx−y+3=0 与椭圆 x216+y24=1 有两个公共点，则实数 k 的取值范围是
A. −54,54B. −54,54
C. −∞,−54∪54,+∞D. −∞,−54∪−54,54

26. 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，直线 l 过点 F 且与 C 交于 A，B 两点．若 ∣AF∣=3∣BF∣，则 l 的方程为
A. y=x−1 或 y=−x+1
B. y=33x−1 或 y=−33x−1
C. y=3x−1 或 y=−3x−1
D. y=22x−1 或 y=−22x−1

27. 已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且 ∣AK∣=2∣AF∣，则 △AFK 的面积为
A. 4B. 8C. 16D. 32

二、选择题（共3小题；共15分）
28. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F，直线 l 的斜率为 3 且经过点 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点（点 A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点 D，若 ∣AF∣=4，则下列结论正确的是
A. p=2B. F 为 AD 的中点
C. ∣BD∣=2∣BF∣D. ∣BF∣=2

29. 下列说法正确的是
A. 双曲线 y29−x216=1 的渐近线方程是 y=±43x
B. 双曲线 x2−y2=1 的离心率 e=2
C. 双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点 F 到渐近线的距离是 b
D. 直线 l 与双曲线 x24−y22=1 交于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标是 12,−1，则直线 l 的方程为 2x+8y+7=0

30. 已知双曲线 C 过点 3,2 且渐近线为 y=±33x，则下列结论正确的是
A. C 的方程为 x23−y2=1
B. C 的离心率为 3
C. 曲线 y=ex−2−1 经过 C 的一个焦点
D. 直线 x−2y−1=0 与 C 有两个公共点
答案
第一部分
1. C【解析】由题意，设 Mx1,y1，Nx2,y2，直线 l:y=kx+2，
由 x24+y2=1,y=kx+2 消去 y，整理得 1+4k2x2+16kx+12=0，
则 x1+x2=−16k1+4k2,x1x2=121+4k2,
Δ=256k2−481+4k2>0，解得 k2>34．
根据椭圆的对称性，可知 M，N 在 y 轴的同一侧，即 x1，x2 同号，
又 △AOM 与 △AON 的面积之比 5:3，
所以 S△AOMS△AON=12AOx112AOx2=x1x2=53，
则 x1=53x2，
代入 x1+x2=−16k1+4k2 可得 83x2=−16k1+4k2，即 x2=−6k1+4k2，
所以 x1=−10k1+4k2，
又 x1x2=121+4k2，
所以 10k1+4k2⋅6k1+4k2=121+4k2，
解得 k2=1，即 k=±1（满足 k2>34）．
故选C．
2. D
3. D【解析】因为直线 y=kx+2 过定点 0,2，且椭圆 x29+y24=1 的上顶点也为 0,2，
所以当直线的斜率为 0 时，直线与椭圆相切，仅有一个交点，
当直线的斜率不为零（或不存在）时，直线与椭圆有两个交点．
4. C【解析】由 y=kx+2,x23+y22=1,
消去 y 并整理，
得 2+3k2x2+12kx+6=0，
由题意知 Δ=12k2−4×6×2+3k2=0，
解得 k=±63．
5. C
【解析】如图，
Fp2,0，过点 M 作准线的垂线 MK，垂中为 K，|MK|=|MF|，|FM||MN|=55，即 |MK||MN|=55，则 |KN|:|MK|=2:1，即直线 FA 的斜率是 −2，所以 2−00−p2=−2，解得 p=2．故选C．
6. C【解析】由 y=kx+1,x2+2y2=1 得 2k2+1x2+4kx+1=0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以 Δ=16k2−42k2+1≥0，
解得 k≤−22 或 k≥22．
7. A【解析】解法一：直线 y=x+1 过点 0,1，将 0,1 代入 x25+y24=1 得，0+140，
所以直线与椭圆相交．
8. A【解析】设 Ax1,y1，Bx2,y2，
由题意可得 y1+y2=2×1=2，
将点 A，点 B 的坐标代入抛物线方程中得 y12=4x1,y22=4x2,
所以 y12−y22=4x1−x2，
所以 k=y1−y2x1−x2=4y1+y2=42=2，
所以直线 l 的方程为 y−1=2x−2，即 2x−y−3=0．
故选A．
9. C【解析】由 y=kx,x22−y26=1 得 12−k26x2=1，
由题知此方程无实数解，
则 12−k26≤0，
解得 k≤−3 或 k≥3．
又 k>0，
所以 k≥3．
10. C
【解析】易知过点 0,1，且斜率不存在的直线为 x=0，满足与抛物线 y2=4x 只有一个公共点，
当斜率存在时，设直线方程为 y=kx+1，
与 y2=4x 联立并整理，得 k2x2+2k−4x+1=0，
当 k=0 时，方程有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点；
当 k≠0 时，令 Δ=2k−42−4k2=0，
解得 k=1，即直线与抛物线有一个公共点，
所以满足题意的直线有 3 条．
11. A【解析】由 a=1 得直线 y=x+1 过点 0,1，又点 0,1 在椭圆 C：x225+y216=1 内部，故 a=1⇒ 直线 y=x+a 与椭圆 C：x225+y216=1 有公共点，而直线 y=x+a 与椭圆 C：x225+y216=1 有公共点不一定能得到 a=1．所以“a=1”是“直线 y=x+a 与椭圆 C：x225+y216=1 有公共点”的充分不必要条件．
12. C【解析】若 l⊥x 轴，则 AB 为通径，而通径长度 2b2a 正好是 4，
故直线 l 交双曲线于同支上的 A，B 两点且 ∣AB∣=4，
这样的直线只有一条．
若 l 经过顶点，此时 ∣AB∣=2，
故直线 l 交双曲线于异支上的 A，B 两点且 ∣AB∣=4，
这样的直线有且只有两条．
故满足 ∣AB∣=4 的直线 l 有 3 条．
故选C．
13. D【解析】由题意，设直线 l 的方程为 y=kx−1，代入双曲线方程，化简可得 k2−4x2−2kx−3=0，当 k2=4，即 k=±2 时，k2−4x2−2kx−3=0 只有一解，满足直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；
当 k≠±2 时，令 Δ=4k2+12k2−4=0，解得 k=±3，此时方程有两个相等的实数根，满足直线 l 与双曲线有且只有一个公共点．
综上，k=±2 或 k=±3．
14. C【解析】抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F1,0 和准线 l：x=−1，作图如下：
由 FA=−2FB，可得 ∣FA∣:∣AB∣=2:3，过 B 作 BC⊥l 于 C，设 l 与 x 轴交于 D，则 ∣FD∣:∣BC∣=2:3，
结合图形可发现三角形 ADF 与三角形 ACB 相似，则有对应线段成比例．
因为 ∣FD∣=2，
所以 ∣BC∣=3，∣FB∣=3，∣AB∣=3∣FB∣=9．
15. B
【解析】设直线 AB 的方程为 x=my+4．
由 x=my+4,x2−4y2−4=0, 得 m2−4y2+8my+12=0．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则
y1+y2=−8mm2−4,y1⋅y2=12m2−4, ⋯⋯①
因为 AP=4−x1,−y1，PB=x2−4,y2，AP=3PB，
所以 y1=−3y2，代入①得，
y2=4mm2−4,y22=−4m2−4⇒4m2m2−42=−4m2−4．
化简得，m2=45⇒m=±255，
因此直线 AB 的斜率为 1m=±52，故选B．
16. D【解析】因为 ca=22，
所以 4c2=2a2，
所以 4a2−b2=2a2，
所以 a2=2b2．
设 Ax1,y1，Bx2,y2，且 x1+x2=2，y1+y2=2，易得
b2x12+a2y12=a2b2, ⋯⋯①b2x22+a2y22=a2b2, ⋯⋯②
① − ②得 b2x1+x2x1−x2+a2y1+y2y1−y2=0，
所以 2b2x1−x2+2a2y1−y2=0，
所以 2b2+4b2y1−y2x1−x2=0，
所以 1+2k=0，
所以 k=−12．
17. D【解析】易知抛物线的焦点 F1,0，由过抛物线 y2=4x 上一点 P 的直线与直线 x=−1 垂直相交于点 B，可得 ∣PB∣=∣PF∣，又 ∣PB∣=∣PA∣，故 ∣PA∣=∣PF∣，所以 P 的坐标为 2,±22，可得 ∣AB∣=26，由余弦定理可得 cs∠APB=∣PB∣2+∣PA∣2−∣AB∣22⋅∣PB∣⋅∣PA∣=32+32−2622×3×3=−13．
18. D【解析】设直线 AB 的方程为 y=kx+bb≠0，Ax1,y1，Bx2,y2，
由 y=kx+b,x2=4y, 得 x2−4kx−4b=0，
由根与系数的关系可得 x1+x2=4k，x1x2=−4b，
若 ∣OA∣，∣OB∣ 恰好是 Rt△OAB 的“勾”“股”（O 为坐标原点），
则 ∣OA∣2+∣OB∣2=∣AB∣2，所以 OA⊥OB，即 OA⊥OB，
所以 OA⋅OB=x1x2+y1y2=0，
又 y1y2=14x12×14x22=116x1x22，
所以
OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+116x1x22=−4b+116×−4b2=0，
即 b2−4b=0，解得 b=4 或 b=0（舍），
所以直线 AB 的方程为 y=kx+4，直线恒过点 0,4．
故选D．
19. A【解析】根据题意，
S△ABC=12×AB×h=12×22×h=2,
解得 h=2，即点 C 到直线 AB 的距离为 2．
问题转化为与直线 AB 距离为 2 的直线与抛物线交点的个数．
由两平行线间的距离公式，得与直线 AB 距离为 2 的直线方程为
y=−x 或 y=−x+4,
分别将直线与抛物线方程联立，解得这两直线与抛物线分别有 2 个交点，因此，共有 4 个不同的 C 点满足条件．
20. D
【解析】如图，
设抛物线 y2=4cx 的准线为 l，作 PQ⊥l 于 Q，双曲线的右焦点为 Fʹ，由题意可知 FFʹ 为圆 x2+y2=c2 的直径，
所以设 Px,yx>0，则 PFʹ⊥PF，且 tan∠PFFʹ=ba，
所以满足 y2=4cx, ⋯⋯①x2+y2=c2, ⋯⋯②yx+c=ba, ⋯⋯③
将 ① 代入 ② 得 x2+4cx−c2=0，
则 x=−4c±25c2=−2c±5c，
即 x=5−2c，或 x=−5−2c（舍去），
将 x=5−2c 代入 ③，
得 y5c−2c+c=ba=y5−1c，
即 y=bc5−1a，再将 y 代入 ① 得，
b2c25−12a2=4c25−2，
即 b25−12a2=45−2，
所以 b2a2=45−25−12=c2−a2a2=e2−1，
即
e2=1+45−25−12=1+45−86−25=45−8+6−256−25=25−26−25=25−26+2562−252=85+836−20=85+816=5+12.
21. C【解析】双曲线右焦点坐标为 a2+b2,0，
设过右焦点的直线为 y=kx−ka2+b2，
与双曲线方程联立消去 y 可得到 b2−a2k2x2+2a2k2a2+b2x−a2a2k2+b2k2+b2=0．
由题意可知，当 k=1 时，此方程有两个异号实根，
所以 a2a2+2b2b2−a2>0，得 054 或 k0>y2，
因为 ∣AF∣=3∣BF∣，
所以 y1=−3y2，
由 y1y2=−4,y1=−3y2,
解得 y2=−23，
所以 y1=23．
所以 m=y1+y24=33，
所以直线 l 的方程为 x=33y+1．
由对称性知，这样的直线有两条，即 y=±3x−1．
27. B【解析】y2=8x 的焦点为 F2,0，准线为 x=−2，K−2,0，过点 A 做 AB 垂直准线于点 B．设 Ax,y，由 AK=2AF，得 ∣AK∣=2∣AB∣，所以 ∣AB∣=∣BK∣，即 ∣y∣=x+2，又 y2=8x，联立解得 x=2，y=±4．因此
S△AFK=12⋅FK⋅y=12×4×4=8.
第二部分
28. A， B， C
【解析】如图所示：作 AC⊥准线 于 C，AM⊥x轴 于 M，BE⊥准线 于 E．
直线 l 的斜率为 3，故 tan∠AFM=3，∠AFM=π3，∣AF∣=4，
故 ∣MF∣=2，∣AM∣=23．
将 Ap2+2,23 代入抛物线方程得到 p=2；
∣NF∣=∣FM∣=2，故 △AMF≌△DNF，故 F 为 AD 的中点；
∠BDE=π6，故 ∣DB∣=2∣BE∣=2∣BF∣；
∣BD∣=2∣BF∣，∣BD∣+∣BF∣=∣DF∣=∣AF∣=4，故 ∣BF∣=43．
29. B， C， D
【解析】因为双曲线 y29−x216=1，所以 a=3，b=4，焦点在 y 轴上，所以渐近线方程是 y=±34x，故A错误；
因为双曲线 x2−y2=1，所以 a=1，b=1，所以离心率 e=2，故B正确；
因为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0，所以焦点坐标为 −c,0，c,0，渐近线方程为 ±bx−ay=0，所以焦点到渐近线的距离为 d=∣bc∣a2+b2=b，故C正确；
设 Ax1,y1，Bx2,y2，则 x124−y122=1，x224−y222=1，两式相减得 y12−y222=x12−x224，因为 AB 的中点坐标是 12,−1，所以直线 l 的斜率 k=y1−y2x1−x2=x1+x22y1+y2=−14，所以直线 l 的方程为 2x+8y+7=0，故D正确．
故选BCD．
30. A， C
【解析】对于选项A：由 y=±33x，得 y2=13x2，
从而设所求双曲线方程为 13x2−y2=λ，又双曲线 C 过点 3,2，
所以 13×32−22=λ，即 λ=1，从而选项A正确；
对于选项B：由双曲线方程可知 a=3，b=1，c=2，
从而离心率 e=ca=23=233，所以选项B错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为 2,0，满足 y=ex−2−1，从而选项C正确；
对于选项D：联立 x−2y−1=0,x23−y2=1, 整理得 y2−22y+2=0，
由 −222−4×2=0，知直线 x−2y−1=0 与双曲线 C 只有一个交点，选项D错误．