安徽省合肥市2021届高三二模数学试卷级答案(理科)

这是一份安徽省合肥市2021届高三二模数学试卷级答案(理科)，共43页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省合肥市高考数学第二次教学质量检测试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1．设复数z满足z﹣iz＝4i（i是虚数单位），则z在复平面内的对应点位于（  ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2．已知A＝{x|x2＜4x}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）＝（  ）

A．（0，2]    B．（﹣∞，2]    C．[2，∞）    D．[2，4）

3．声强级（单位：dB）由公式LI＝10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10﹣7W/m2，2×10﹣9W/m2，5×10﹣10W/m2，9×10﹣11W/m2，则这4人中达到班级要求的有（  ）

A．1人    B．2人    C．3人    D．4人

4．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2y2＝3相交”的（  ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件   

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法．如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入x＝a，n＝2，输出s＝26，则输入的实数a的值为（  ）



A．﹣4或﹣3    B．﹣3或4    C．﹣4或3    D．3或4

6．函数f（x）＝的图象大致是（  ）

A．


B．


C．


D．


7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，ABC的面积等于c（asinAbsinB﹣csinC），则ab的取值范围是（  ）

A．（2，3]    B．（，3]    C．（3，2]    D．（，2]

8．设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点A的切线l的斜率为2，则切线l与AF夹角的正弦值为（  ）

A．B．C．D．

9．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（  ）

A．B．C．D．

10．在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型（其底面在正四面体一个面上），要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为（  ）

A．B．C．4    D．2

11．已知f（x）＝ex﹣e﹣x﹣sin2x，单调递增等差数列{an}满足f（a2﹣3）≤0，f（4a1）f（7﹣a2）≥0，则a3的取值范围是（  ）

A．（0，3]    B．（0，7）    C．（﹣，3]    D．（﹣，7]

12．某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源．这个特别密码与图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及图表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数．如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是（  ）


A．20212    B．20214    C．20216    D．20218

二、填空题（每小题5分）.

13．已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|﹣|＝　　．

14．在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图，对商户进行了文明城市知识教育培训．2021年初，该市创建办公室计划从2000户商户中，按照商户类型进行分层抽样，随机抽取100户进行文明城市知识教育培训效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为　　．



15．已知数列{an}满足an 1＝，a1＝1．若从四个条件：①A＝；②ω＝2π；③φ＝；④B＝中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{an}的通项an表示为Asin（ωnφ）B（ω＞0，|φ|＜）的形式，则an＝　　．

16．已知空间三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2∥l3，两两之间的距离都为2．点A，B是直线l1上的两动点，且AB＝2，C，D分别在直线l2，l3上运动．下列命题：

①四面体ABCD的体积是定值；

②四面体ABCD的棱AB与CD所成角为θ，CD•sinθ是定值；

③四面体ABCD表面积的最小值为 4；

④四面体ABCD的内切球的体积最大值为．

其中真命题是　　.（填上所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列{an}满足a1 2a2 3a3…nan＝（n﹣1）•2n 1 2（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜．

18．某外卖平台对其产品进行调查，发现用户数量约2.5亿，合作商户超过200万家，活跃骑手超过50万名，日完成订单超过1800万．抽样调查数据显示用户年龄分布如图．从所有用户中随机抽取100名对其一周内点外卖次数进行统计，得到数据如表：


2次及以下
3～5次
6～8次
8次以上
男
2
30
15
5
女
3
22
20
3

（1）根据上表，从一周点外卖“8次以上”的8名用户中随机抽取3名，求男性用户数量X的分布列及其期望；

（2）从所有用户中随机抽取n名用户，满足“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率超过，若用样本频率估计总体概率，求n的最小值．（参考数据：lg2∈（0.301，0.302），lg3∈（0.477，0.478））



19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝，AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为棱AB上一点，BD＝3AD，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上．

（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．



20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点M到左焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线MA，MB的斜率为k1，k2．若4k1k2 9＝0，求|AB|的最小值．

21．已知函数f（x）＝a（x 2）ex﹣（x 3）2（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＞时，证明：f（x﹣2）＞lnx﹣x2﹣x﹣3．

请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（t为参数）．在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为

．

（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C2与曲线C1交于点A，B，M（﹣2，2），求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝3．

（1）证明：；

（2）证明：

．



参考答案

一、选择题（每小题5分）.

1．设复数z满足z﹣iz＝4i（i是虚数单位），则z在复平面内的对应点位于（  ）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

解：由z﹣iz＝4i，得（1﹣i）z＝4i，

∴z＝

，

∴z在复平面内的对应点的坐标为（﹣2，2），位于第二象限．

故选：B．

2．已知A＝{x|x2＜4x}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩（∁RB）＝（  ）

A．（0，2]    B．（﹣∞，2]    C．[2，∞）    D．[2，4）

解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，

∴∁RB＝{x|x≤2}，A∩（∁RB）＝（0，2]．

故选：A．

3．声强级（单位：dB）由公式LI＝10lg给出，其中I为声强（单位：W/m2）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10﹣7W/m2，2×10﹣9W/m2，5×10﹣10W/m2，9×10﹣11W/m2，则这4人中达到班级要求的有（  ）

A．1人    B．2人    C．3人    D．4人

解：依题意，当I＝10﹣7W/m2时，

；

当I＝2×10﹣9W/m2时，

＝10（lg2 3）

＝30 10lg2＜30 10lg10＝40；

当I＝5×10﹣10W/m2时，

＝10（lg5 2）

＝20 10lg5＜20 10lg10＝30；

当I＝9×10﹣11W/m2时，

＝10lg（9×10）＝10（lg9 1）

＝10 10lg9＜10 10lg10＝20．

∴这4人中达到班级要求的有3人．

故选：C．

4．“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2y2＝3相交”的（  ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件   

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

解：由题意可得圆C：（x﹣2）2y2＝3，圆心C（2，0）半径为，

根据题意“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2y2＝3相交”，

可得圆的圆心到直线l：y＝kx的距离小于等于半径，

即，解得k∈[﹣，]．

故由“”可推出“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2y2＝3相交”，

由“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2y2＝3相交”不能推出“”，

故“”是“直线l：y＝kx与圆C：（x﹣2）2y2＝3相交”的充分不必要条件，

故选：A．

5．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法．如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入x＝a，n＝2，输出s＝26，则输入的实数a的值为（  ）



A．﹣4或﹣3    B．﹣3或4    C．﹣4或3    D．3或4

解：由题意，模拟程序的运行，

可得x＝a，n＝2；k＝0，s＝0；

执行循环体，s＝2，k＝1；

不满足退出循环的条件，执行循环体，s＝2a 2，k＝2；

不满足退出循环的条件，执行循环体，s＝a（2a 2） 2，k＝3；

此时，满足退出循环的条件，退出循环，输出s的值为a（2a 2） 2＝26，

整理可得a2a﹣12＝0，解得a＝﹣4或3．

故选：C．

6．函数f（x）＝的图象大致是（  ）

A．


B．


C．


D．


解：根据题意，f（x）＝＝＝1 ，

有f（﹣x）f（x）＝1 1﹣＝2，则f（x）的图像关于点（0，1）对称，排除C，

f（﹣1）＝＝﹣＜0，排除AD，

故选：B．

7．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，ABC的面积等于c（asinAbsinB﹣csinC），则ab的取值范围是（  ）

A．（2，3]    B．（，3]    C．（3，2]    D．（，2]

解：∵△ABC的面积＝acsinB＝c（asinAbsinB﹣csinC），

∴ab＝a2b2﹣c2，

∴cosC＝＝＝，

∵0＜C＜π，

∴C＝，

又∵c＝，由正弦定理＝2，可得a＝2sinA，b＝2sinB，

∴ab＝2sinA 2sinB＝2sinA 2sin（﹣A）＝cosA 3sinA＝2sin（A），

∵A∈（0，），A∈（，），可得sin（A）∈（，1]，

∴ab＝2sin（A）∈（，2]．

故选：D．

8．设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点A的切线l的斜率为2，则切线l与AF夹角的正弦值为（  ）

A．B．C．D．

解：抛物线x2＝4y，即y＝，可得y′＝x，

过抛物线上点A（m，n）的切线l的斜率为2，可得，解得m＝4，则n＝4，所以切点坐标A（4，4），

抛物线的焦点坐标：F（0，1），kAF＝＝，

切线l与AF夹角θ的正切函数值为：tanθ＝＝，

sinθ＝tanθ•cosθ＝＝＝．

故选：A．

9．某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为（  ）

A．B．C．D．

解：该同学投篮比赛得3分的情况有为：

①第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，

概率为P1＝

＝；

②第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，

概率为：P2＝（）2×（）3＝；

③第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，

概率为：P3＝（）2×（）3＝；

④第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，

概率为：P4＝（）2×（）3＝；

⑤第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，

概率为：P5＝（）2×（）3＝．

∴该同学投篮比赛得3分的概率为：

P＝P1P2P3P4P5＝

＝．

故选：C．

10．在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型（其底面在正四面体一个面上），要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为（  ）

A．B．C．4    D．2

解：如图：正四面体ABCD的内接正三棱柱DEF﹣D1E1F1，

首先D、E、F三个顶点必在四个全的三棱柱棱上，才能使得三棱柱体积体积最大值，

正四面体ABCD棱长为6，

则高为AM＝＝2，

设正三棱柱高为h，底面边长为a，因为平面DEF∥平面BCD，

所以，，

＝

＝，


＝，

≤

＝8，

当且仅当2h＝2﹣h，即时等式成立，



故选：A．

11．已知f（x）＝ex﹣e﹣x﹣sin2x，单调递增等差数列{an}满足f（a2﹣3）≤0，f（4a1）f（7﹣a2）≥0，则a3的取值范围是（  ）

A．（0，3]    B．（0，7）    C．（﹣，3]    D．（﹣，7]

解：因为f（x）＝ex﹣e﹣x﹣sin2x，所以f′（x）＝exe﹣x﹣2cos2x≥2﹣2cos2x≥0，

所以f（x）在R上单调递增，又f（0）＝0，

所以f（a2﹣3）≤0，等价于f（a2﹣3）≤f（0），所以a2﹣3≤0，解得a2≤3，

f（﹣x）＝e﹣x﹣ex sin2x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，

所以f（4a1）f（7﹣a2）≥0，等价于f（4a1）≥f（a2﹣7），

所以4a1≥a2﹣7，

由a2≤3，可得6≥a1a3，①

由4a1≥a2﹣7，可得8a1≥a1a3﹣7，即7a1≥a3﹣7，②

①×7 ②可得42 7a1≥7a1 7a3a3﹣7，解得a3≤7，

因为{an}是单调递增数列，

所以a3＞a2＞a1，

所以4a2＞4a1≥a2﹣7，所以a2＞﹣，所以a3＞a2＞﹣，

所以a3的取值范围是（﹣，7]．

故选：D．

12．某校建立了一个数学网站，本校师生可以用特别密码登录网站免费下载学习资源．这个特别密码与图数表有关．数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到．以此类推．每年的特别密码是由该年年份及图表中第年份行（如2019年即为第2019行）自左向右第一个数的个位数字构成的五位数．如：2020年特别密码前四位是2020，第五位是第2020行自左向右第1个数的个位数字．以此规则，2021年的特别密码是（  ）


A．20212    B．20214    C．20216    D．20218

解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第n行的公差是2n﹣1，

记第n行的第m个数为f（n，m），

则有f（n，1）＝f（n﹣1，1）f（n﹣1，2）＝2f（n﹣1，1） 2n﹣2，

所以＝，

故数列{f（n，1）}构成一个首项为，公差为等差数列，

所以＝（n 1）•2﹣2，

故f（n，1）＝（n 1）•2n﹣2，

所以第n行第1个数是（n 1）•2n﹣2．

又因为2的1次方，个位是2

2的2次方，个位是4

2的3次方，个位是8

2的4次方，个位是6

2的5次方，个位是2 （开始循环），

2019＝4×504 3，

故第2012行的第一个数为：（2021 1）•22021﹣2的末位是8×2＝16的6，

故2021年的特别密码是：20216．

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．

13．已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|﹣|＝　　．

解：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），

若∥，则有（﹣2）x＝1，则有x＝﹣，

则＝（﹣，1），则有﹣＝（﹣，3），故|﹣|＝＝，

故答案为：．

14．在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图，对商户进行了文明城市知识教育培训．2021年初，该市创建办公室计划从2000户商户中，按照商户类型进行分层抽样，随机抽取100户进行文明城市知识教育培训效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为　25，15　．



解：共有2000户，需要抽取100户，故抽取的比例为＝，

由图表可知，衣帽类有500户，果蔬类有300户，

则衣帽类抽取500×＝25户，果蔬类抽取300×＝15户．

故答案为：25，15．

15．已知数列{an}满足an 1＝，a1＝1．若从四个条件：①A＝；②ω＝2π；③φ＝；④B＝中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{an}的通项an表示为Asin（ωnφ）B（ω＞0，|φ|＜）的形式，则an＝　

或

．　．

解：数列{an}满足an 1＝，a1＝1．

当n＝1时，解得，

当n＝2时，解得a3＝1，

当n＝3时，解得，

故数列的周期为2，

故，解得ω＝π，故②不能作为条件，

设an＝Asin（ωnφ）B，

所以a1＝Asin（πφ）B＝1，①，

a2＝Asin（2πφ）B＝﹣，②，

①②得B＝，故④不能作为条件．

当①A＝时，φ），

由于a1＝1，所以φ＝﹣．

故

．

当③φ＝作为条件时，

，

由于a1＝1，所以A＝﹣，故

．

故答案为：

或

．

16．已知空间三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2∥l3，两两之间的距离都为2．点A，B是直线l1上的两动点，且AB＝2，C，D分别在直线l2，l3上运动．下列命题：

①四面体ABCD的体积是定值；

②四面体ABCD的棱AB与CD所成角为θ，CD•sinθ是定值；

③四面体ABCD表面积的最小值为 4；

④四面体ABCD的内切球的体积最大值为．

其中真命题是　①②④　.（填上所有真命题的序号）

解：根据题意作图如下，



①AB＝2，在△ABD中，无论D在哪个位置，高h为定值2，

故S△ABC的面积为定值，点C到平面ABD的距离不变，故四面体ABCD的体积是定值，①正确；

②无论D在哪个位置，CD•sinθ表示的都是l2到l3的距离，故CD•sinθ是定值，②正确；

③当CD移动到垂直平分AB的位置时，四面体ABCD表面积最小，

为S＝×××2 2×2××2＝4 2，③错误；

④当CD移动到垂直平分AB的位置时，内切球的体积最大，V＝πR3＝π，④正确．

故答案为：①②④．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知数列{an}满足a1 2a2 3a3…nan＝（n﹣1）•2n 1 2（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜．

【解答】（1）解：∵a1 2a2 3a3…nan＝（n﹣1）•2n 1 2（n∈N*），

∴当n≥2时，有a1 2a2 3a3…（n﹣1）an﹣1＝（n﹣2）•2n 2，

两式相减得：nan＝（n﹣1）•2n 1﹣（n﹣2）•2n＝n•2n，即an＝2n，n≥2，

又当n＝1时，有a1＝2也适合上式，

∴an＝2n；

（2）证明：由（1）可得：bn＝＝＝﹣，

∴Sn＝﹣﹣…﹣＝﹣＜．

18．某外卖平台对其产品进行调查，发现用户数量约2.5亿，合作商户超过200万家，活跃骑手超过50万名，日完成订单超过1800万．抽样调查数据显示用户年龄分布如图．从所有用户中随机抽取100名对其一周内点外卖次数进行统计，得到数据如表：


2次及以下
3～5次
6～8次
8次以上
男
2
30
15
5
女
3
22
20
3

（1）根据上表，从一周点外卖“8次以上”的8名用户中随机抽取3名，求男性用户数量X的分布列及其期望；

（2）从所有用户中随机抽取n名用户，满足“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率超过，若用样本频率估计总体概率，求n的最小值．（参考数据：lg2∈（0.301，0.302），lg3∈（0.477，0.478））



解：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，

所以P（X＝0）＝，

P（X＝1）＝，

P（X＝2）＝，

P（X＝3）＝，

所以用户数量X的分布列为：

X
0
1
2
3
P





所以X的数学期望为E（X）＝

；

（2）用随机变量Y表示n名用户中年龄为30岁以上的用户数量，

则事件“至少一名用户年龄为30岁以上”的概率为P（Y≥1）＝1﹣P（Y＝0）＞，

所以P（Y＝0）＜，即，

所以，

因为且n∈N*，

所以n的最小值为7．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝，AC＝BC＝2，AC⊥BC，D为棱AB上一点，BD＝3AD，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上．

（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求二面角E﹣CF﹣B的正弦值．



解：（1）证明：如图，取AB的中点H，连接CH，DE，PE，

∵BD＝3AD，∴D为AH的中点，∴DE∥CH，

∵AC＝BC，∴CH⊥AB，∴ED⊥AB，

∵点E在平在PAB上的射影F在线段PD上，

∴EF⊥平面PAB，∴EF⊥AB，

∵EF∩ED＝E，EF、DE⊂平面PDE，

∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，

∵点E为棱AC的中点，PA＝PC，∴PE⊥AC，

∵AC∩AB＝A，AC，AB⊂平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，

∵PE⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．

（2）∵AC⊥BC，∴以C为原点，，所在方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系，

∵PA＝PC＝，AC＝BC＝2，∴AB＝4，CH＝2，PE＝DE＝1，F为PD的中点，

∴C（0，0，0），B（0，2，0），E（，0，0），P（，0，1），D（，，0），F（），

＝（），＝（，0，0），＝（0，2，0），＝（，），

设平面ECF的法向量＝（x，y，z），

则

，取y＝，得＝（0，，﹣1），

设平面BCF的法向量＝（a，b，c），

则

，取a＝2，得＝（2，0，﹣5），

∴cos＜＞＝＝＝．

∴二面角E﹣CF﹣B的正弦值为＝．



20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，右顶点M到左焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线MA，MB的斜率为k1，k2．若4k1k2 9＝0，求|AB|的最小值．

解：（1）由题意可得：且ac＝3，所以a＝2，c＝1，则b＝，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，

则可设直线l的方程为：x＝myn，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程，消去x整理可得：（4 3m2）y2 6mny 3n2﹣12＝0，

所以y

，

所以k1k2＝＝


＝

＝


＝

，解得n＝1，

所以直线l的方程为：x＝my 1，直线l过定点（1，0），

此时y

，

所以|AB|＝

＝


＝

≥3，当且仅当m＝0时取等号，

此时|AB|的最小值为3．

21．已知函数f（x）＝a（x 2）ex﹣（x 3）2（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＞时，证明：f（x﹣2）＞lnx﹣x2﹣x﹣3．

解：（1）f′（x）＝a（x 3）ex﹣2（x 3）＝（x 3）（aex﹣2），

a≤0时，aex﹣2＜0，可得f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，∞）上单调递减．

a＞0时，令aex﹣2＝0，解得x＝ln，

令ln＝﹣3，解得a＝2e3．

0＜a＜2e3时，ln＞﹣3，则函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，ln）上单调递减，在（ln，∞）上单调递增．

a＝2e3时，f′（x）＝（x 3）2≥0，函数f（x）在R上单调递增．

a＞2e3时，ln＜﹣3，则函数f（x）在（﹣∞，ln）上单调递增，在（ln，﹣3）上单调递减，在（﹣3，∞）上单调递增．

综上可得：a≤0时，f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，∞）上单调递减．

0＜a＜2e3时，函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（﹣3，ln）上单调递减，在（ln，∞）上单调递增．

a＝2e3时，函数f（x）在R上单调递增．

a＞2e3时，函数f（x）在（﹣∞，ln）上单调递增，在（ln，﹣3）上单调递减，在（﹣3，∞）上单调递增．

（2）证明：f（x﹣2）＝axex﹣2﹣（x 1）2，

f（x﹣2）＞lnx﹣x2﹣x﹣3，即axex﹣2﹣lnx﹣x 2＞0，x∈（0，∞）．

当a＞时，axex﹣2﹣lnx﹣x 2＞xex﹣3﹣lnx﹣x 2，因此只要证明：xex﹣3﹣lnx﹣x 2≥0即可．

令g（x）＝xex﹣3﹣lnx﹣x 2，x∈（0，∞）．

g′（x）＝（x 1）ex﹣3﹣﹣1＝（x 1）（ex﹣3﹣），

令h（x）＝ex﹣3﹣在x∈（0，∞）上单调递增，

又h（3）＝1﹣＝＞0，h（2）＝﹣＜0，

∴存在唯一x0∈（2，3），使得h（x0）＝0，＝，即x0﹣3＝﹣lnx0．

x0是函数g（x）的极小值点，此时函数g（x）在x0取得最小值．

∴g（x）≥g（x0）＝1 x0﹣3﹣x0 2＝0，

∴当a＞时，axex﹣2﹣lnx﹣x 2＞0．

请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

（t为参数）．在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为

．

（1）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C2与曲线C1交于点A，B，M（﹣2，2），求的值．

解：（1）曲线C1的参数方程为

（t为参数）．整理得

，

两式相减得：；

曲线C2的极坐标方程为

，根据，转换为直角坐标方程为：

x﹣y 4＝0，

（2）由于点M（﹣2，2）满足直线的方程，

故转换为参数方程为（t为参数），

把直线的参数式代入，

得到：，

所以，，

故

＝．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知a，b，c为正数，且满足abc＝3．

（1）证明：；

（2）证明：

．

【解答】证明：（1）a，b，c为正数，abc＝3，

可得abc≥3，即为0＜abc≤1，

所以＝＝≥3，

当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，

故原不等式成立；

（2）因为a，b，c＞0，所以＝≥＝，

同理可得≥，≥，

所以≥

＝[（a 3）（b 3）（c 3）]（）＝×3

×3

＝3，

当且仅当a＝b＝c＝1时，取得等号，

所以原不等式成立．