数学七年级下册6.3 实数同步达标检测题

实数（提高）

【学习目标】

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

         （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

    实数

按与0的大小关系分：

    实数

   2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【典型例题】

类型一、实数概念 

1、把下列各数分别填入相应的集合内：

，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）

【答案与解析】

有理数有：， ，，，0，

无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.

举一反三：

【变式】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)
　　(2)无理数都是无限小数.(　　)
　　(3)无限小数都是无理数.(　　)
　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)
　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)
　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)
　　(7)有理数都是有限小数.(　　)
　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)
【答案】

(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.

(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.

(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.

(4)(×)0是有理数.

(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.

(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.

(7)(×)有理数还包括无限循环小数.

(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以     实数可以用有限小数和无限小数表示.

类型二、实数大小的比较

2、比较与的大小．

【思路点拨】根据，，则来比较两个实数的大小．

【答案与解析】

解：因为，．

所以＜

【总结升华】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.

举一反三：

【变式】（2015•自贡）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　 　．

【答案】7．

解：∵，

∴，

∵x＜+1＜y，

∴x=3，y=4，

∴x+y=3+4=7．

类型三、实数的运算

3、求的值．

【答案与解析】

解：（1）当≥0时，，，

所以．

（2）当＜0时，，，

所以．

即值为0或2．

【总结升华】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．

举一反三：

【变式】若的两个平方根是方程的一组解．

   （1）求的值；

   （2）求的算术平方根．

【答案】

解：（1）∵  的平方根是的一组解，则设的平方根为，，

则根据题意得：解得

          ∴  为．

     （2）∵  ．

∴  的算术平方根为4．

类型四、实数的综合运用

4、已知，且，求的值．

【答案与解析】

解：∵  ，且，．

∴  ，即，．

解得  ＝3，＝5，得＝64．

∴  ．

【总结升华】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．

举一反三：

【变式】已知，求的值．

【答案】

解：知条件得，

由②得，，∵  ，∴  ，则．

把代入①得，＝1．

∴  ．

5、（2015秋•萧山区期中）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr）

（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是　   　；

（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：

+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2

①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？

②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？

【思路点拨】（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；

（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；

②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．

【答案与解析】

解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；

故答案为：﹣2π；

（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；

②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，

Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；

（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，

1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．

【总结升华】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．