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    北师大版八年级下册1 等腰三角形精品课时训练

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    这是一份北师大版八年级下册1 等腰三角形精品课时训练,共7页。试卷主要包含了用反证法证明“若,则”,应假设,已知,用反证法证明等内容,欢迎下载使用。

    (满分:100分,考试时间:40分钟)
    一.选择题(共5小题,每题8分)
    1.要使得△ABC是等腰三角形,则需要满足下列条件中的( )
    A.∠A=50°,∠B=60° B.∠A=50°,∠B=100°C.∠A+∠B=90° D.∠A+12∠B=90°
    2.用反证法证明“若,则”,应假设( )
    A. B. C.≤ D.≥
    3.如果一个三角形的外角平分线与这个三角形一边平行,则这个三角形一定是( )
    A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
    4.已知:△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤:
    ①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾
    ②因此假设不成立.∴∠B<90°
    ③假设在△ABC中,∠B≥90°
    ④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )
    A.③④①② B.③④②① C.①②③④ D.④③①②
    5.如图是由8个全等的长方形组成的大正方形,线段AB的端点都在小长方形的顶点上,如果点P是某个小长方形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP为等腰三角形的点P的个数是( )
    A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

    第5题图 第7题图 第8题图 第9题图
    二.填空题(共4小题,每题5分)
    6.用反证法证明AB≠AC时,首先假设________成立.
    7.如图,∠ABD=76°,∠C=38°,BC=30cm,则BD的长为_____.
    8.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC交AB,AC于点E,F,若BE+CF=20,则EF=_____.
    9.一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处,它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行,2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处,则 N 处与灯塔 P 的距离为_______.
    三.解答题(共3小题,第10题10分,第11、12题各15分)
    10.用反证法证明:
    已知:如图,点D是△ABC内一点。
    求证:△ABD,△BDC,△ADC不可能都是锐角三角形。
    11.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠CBE.求证:BD=CD.
    12.如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.试回答:
    (1)图中等腰三角形是 .猜想:EF与BE、CF之间的关系是 .并说明理由.
    (2)如图②,若AB≠AC,图中等腰三角形是 .在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?
    (3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.
    试题解析
    1.D
    【解析】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形.
    解:A、∵∠A=50°,∠B=60°,
    ∴∠C=180°-∠A-∠B=70°,
    所以∠A≠∠B≠∠C,
    所以△ABC不是等腰三角形;
    B、∵∠A=50°,∠B=100°,
    ∴∠C=180°-∠A-∠B=30°,
    所以∠A≠∠B≠∠C,
    所以△ABC不是等腰三角形;
    C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形;
    D、∠A+12∠B=90°,
    则2∠A+∠B=180°,
    ∵∠A+∠B+∠C=180°,
    ∴∠A=∠C,
    所以△ABC是等腰三角形.
    故选:D.
    2.C
    【解析】反证法的一般步骤是先假设结论不成立,故用反证法证明“若a>b>0,则a2>b2”的第一步是假设a2⩽b2,
    故选:C.
    3.B
    【解析】可依据题意线作出图形,结合图形利用平行线的性质和角平分线的定义可得∠B=∠A,利用“等角对等边”可得其为等腰三角形.
    解:如图,
    DC平分∠ACE,且AB∥CD,
    ∴∠ACD=∠DCE,∠A=∠ACD,∠B=∠DCE,
    ∴∠B=∠A,
    ∴△ABC为等腰三角形.
    故选:B.
    4.A
    【解析】通过反证法的证明步骤:①假设;②合情推理;③导出矛盾;④结论;理顺证明过程即可.
    解:由反证法的证明步骤:①假设;②合情推理;③导出矛盾;④结论;
    所以题目中“已知:△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°”.
    用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤:
    应该为:假设∠B≥90°;
    那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°
    所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾;
    所以因此假设不成立.∴∠B<90°;
    原题正确顺序为:③④①②.
    故选A.
    5.D
    【解析】根据等腰三角形的判定即可得到结论.
    解:如图所示,使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6.
    故选D.
    6.AB=AC
    【解析】反证法的步骤是:(1)假设结论不成立;(2)从假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立. 由此可得用反证法证明AB≠AC时,首先假设AB=AC成立.
    7.30cm.
    【解析】解:∵∠ABD=76°,∠C=38°,∴∠D=∠ABD﹣∠C=76°﹣38°=38°,∴∠C=∠D,∴BD=BC=30cm.故答案为:30cm.
    8.20
    【解析】由平行线的性质可得内错角∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,再由角平分线的性质可得∠ABD=∠EDB,∠ACD=∠FDC,即BE=DE,DF=FC,进而可求EF的长.
    解:∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB,
    ∵BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB,
    ∴∠ABD=∠DBC,∠ACD=∠DCB,
    ∴∠ABD=∠EDB,∠ACD=∠FDC,
    即BE=DE,DF=FC,
    EF=DE+DF=BE+FC=20.
    故答案为:20
    9.80海里
    【解析】∠NPM=∠M,推出NP=MN,求出MN即可.
    解:如图,
    ∠NPM=180°-70°-40°=70°,
    ∵向北的方向线是平行的,
    ∴∠M=70°,
    ∴∠NPM=∠M,
    ∴NP=MN=40海里×2=80海里,
    故答案为:80海里.
    10.证明见解析
    【解析】先假设△ABD,△BDC,△ADC都是锐角三角形,则∠ADB,∠BDC,∠ADC都是锐角,得∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°,与已知矛盾,故可得证.
    证明:假设△ABD,△BDC,△ADC都是锐角三角形,
    则∠ADB,∠BDC,∠ADC都是锐角,
    ∴∠ADB+∠BDC+∠ADC<360°,
    这与∠ADB+∠BDC+∠ADC=360°矛盾.
    ∴假设不成立.
    ∴△ABD,△BDC,△ADC不可能都是锐角三角形.
    11.证明见解析
    【解析】想办法证明∠ABC=∠ACB,即可推出AB=AC,理由等腰三角形的性质即可解决问题.
    证明:∵AD是BC边上的高,BE⊥AC于点E,
    ∴∠ADB=∠BEC=90°,
    ∴∠BAD+∠ABC=90°,∠CBE+∠ACB=90°,
    ∵∠BAD=∠CBE,
    ∴∠ABC=∠ACB,
    ∴AB=AC,
    ∵AD⊥BC,
    ∴BD=CD.
    12.(1)答案见解析 (2)△EOB、△FOC 存在 (3)答案见解析
    【解析】(1)由AB=AC,可得∠ABC=∠ACB;又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB;故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB;根据EF∥BC,可得:∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠FCO=∠BCO;由此可得出的等腰三角形有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
    已知了△EOB和△FOC是等腰三角形,则EO=BE,OF=FC,则EF=BE+FC.
    (2)由(1)的证明过程可知:在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中,与AB=AC的条件没有关系,故这两个等腰三角形还成立.所以(1)中得出的EF=BE+FC的结论仍成立.
    (3)思路与(2)相同,只不过结果变成了EF=BE-FC.
    解:(1)图中是等腰三角形的有:△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC;
    EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC.理由如下:
    ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB,
    ∴∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB,
    ∵EF∥BC,
    ∴∠EOB=∠OBC=∠EBO,∠FOC=∠OCB=∠FCO,
    即EO=EB,FO=FC,
    ∴EF=EO+OF=BE+CF;
    (2)当AB≠AC时,△EOB、△FOC仍为等腰三角形,(1)的结论仍然成立.
    (3)△EOB和FOC仍是等腰三角形,EF=BE-FC.理由如下:
    同(1)可证得△EOB是等腰三角形;
    ∵EO// BC,
    ∴∠FOC=∠OCG
    ∵OC平分∠ACG,
    ∴∠ACO=∠FOC=∠OCG,
    ∴FO=FC,故△FOC是等腰三角形
    ∴EF=EO-FO=BE-FC
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