初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀随堂练习题

1.1 等腰三角形（4）

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．下列条件中，不能得到等边三角形的是（    ）

A．有两个内角是60°的三角形      B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形      D．有两个外角相等的等腰三角形

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝60°，D，E分别是边AB，BC上两点，且DE∥AC，下列结论不正确的是（    ）

A．∠A＝60°           B．△BDE是等腰三角形   

C．BD≠DE           D．△BDE是等边三角形

3．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是（    ）

A．等腰三角形     B．直角三角形     C．等边三角形     D．等腰直角三角形

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3．若点P是BC边上任意一点，则AP的长不可能是（    ）

A．7       B．5.3       C．4.8       D．3.5

5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=5cm，AD⊥BC于D，则BD=（    ）

A．10cm       B．      C．      D．

第2题图               第4题图                   第5题图   

二．填空题（共4小题，每题5分）

6．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝60°，则△ABC是________三角形．

7．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=∠BAD=30°，DE⊥AB，若CD=2，则DE= ______ ．

第7题图                  第8题图                   第9题图 

8．如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2，BD＝CE，则△ADE是______三角形．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．

三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝5 cm，求△ABD的面积．

11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．

12．如图，把等边三角形ABD和等边三角形BCD拼合在一起，点E在AB边上移动，且满足AE＝BF，试说明不论点E怎样移动，△EDF总是等边三角形．

试题解析

1．D

【解析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．

解：A选项：两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B选项：三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D选项：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选：D．

3．C

【解析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：a-b=0，b-c=0，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状．

解：∵（a-b）2+|b-c|=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴以a，b，c，为三边长的三角形是等边三角形，
故选：C．

4．A

【解析】根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据AC、AB的值即可得出AP的取值范围，再根据AP的取值范围即可得出答案．

解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝6，

∴3≤AP≤6，

故选：A．

5．B

【解析】根据直角三角形的性质求出BC，根据互余关系求出∠CAD=∠B=30°，根据直角三角形的性质求出CD，结合图形计算即可．

解：∵∠BAC=90°，∠B=30°，

∴BC=2AC=10cm，

∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠CAD=∠B=30°，

∴CD=AC=2.5cm，

∴BD=BC-CD=7.5cm，

故选B．

6．等边

【解析】利用三角形的内角和180°，求得∠B的度数，进一步判断得出答案即可．

解：∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝60°，，

∴∠B=180°-∠A-∠C=60°，

∴∠A=∠B=∠C，

∴△ABC是等边三角形，

故答案为：等边．

7．2

【解析】利用已知条件易求∠CAD=30°，则AD的长可求，又因为∠BAD=30°，进而可求出DE的长．

解：∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

∵∠B=∠BAD=30°，

∴∠CAD=30°，

∵CD=2，

∴AD=4，

∵∠BAD=30°，

∴DE=AD=2，

故答案为：2．

8．等边

【解析】由条件可证明△ABE≌△ACD，从而AE=AD，∠BAC=∠CAE=60°,所以可知△DAE是等边三角形．

证明：∵三角形ABC为等边三角形

∴AB=AC，

在△ABD和△ACE中,

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AE=AD，∠BAD=∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形．

9．3

【解析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．

解：∵D为AB的中点，AB=12，
∴AD=6，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE=AD=3，
故答案是：3．

10．S△ABD＝25cm2．

【解析】先求得AD的长度，再根据S△ABD＝AD·BC计算可得.

解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，

∴∠BDC＝30°，

∴BD＝2BC＝2×5＝10(cm)，

∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，

∴∠ABD＝30°－15°＝15°，

∴∠A＝∠ABD，

∴AD＝BD＝10，

∴S△ABD＝AD·BC＝×10×5＝25(cm2)．

11．证明见解析.

【解析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF=BF求得∠B=∠2=∠1=30°，根据外角性质可得∠4=60°，在Rt△ADE中可得∠3=∠5=60°，进而可知∠4=∠5=60°，得证．

证明：如图，

∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠1=2∠2，
∵AF=BF，
∴∠2=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°，
∵∠4是△ABF的外角，
∴∠4=∠2+∠B=60°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=60°，
∵∠5=∠3，
∴∠4=∠5=60°，
∴△CEF是等边三角形．

12．证明见解析.

【解析】根据等边三角形性质得出BD=AD，∠CBD=∠A=60°，∠ADB=60°，根据SAS推出△EAD≌△FBD，推出DE=DF，∠ADE=∠BDF，求出∠EDF=60°，根据等边三角形的判定推出即可．

证明：∵△ABD和△BCD是等边三角形，

∴BD＝AD，∠CBD＝∠A＝∠ADB＝60°，

在△EAD和△FBD中，

，

∴△EAD≌△FBD,

∴DE＝DF，∠ADE＝∠BDF,

∴∠EDF＝∠BDF＋∠BDE＝∠ADE＋∠BDE＝∠ADB＝60°，

又∵DE＝DF，

∴△EDF是等边三角形．