北师大版3 线段的垂直平分线优秀练习题

1.3 线段的垂直平分线（1）

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是（    ）

A．2       B．3       C．4       D．5

第1题图               第2题图             第3题图            第4题图      

2．如图，在△ABC中，AB边上的中垂线DE分别交AB、BC于点E、D，连接AD，若△ADC的周长为7cm，AC=2cm，则BC的长为（    ）cm．

A．4       B．5    C．3       D．以上答案都不对

3．如图，，＞＞，边上存在一点，使得．下列描述正确的是（    ）

A．是的垂直平分线与的交点   B．是的垂直平分线与的交点

C．是∠的平分线与的交点   D．是以点为圆心，长为半径的弧与边的交点

4．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，∠A＝50°，则∠DCB的度数是（    ）

A．15°       B．20°       C．25°       D．30°

5．给出下面两个定理:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.应用上述定理进行如下推理:

如右图,直线l是线段MN的垂直平分线.

∵点A在直线l上,∴AM=AN.___________

∵BM=BN,∴点B在直线l上___________

∵CM≠CN,∴点C不在直线l上.

这是∵如果点C在直线l上,那么CM=CN, ___________

这与条件CM≠CN矛盾.

以上推理中各橫线上应注明的理由依次是___________                       第5题图

A．②①①      B．②①②   C．①②②      D．①②①

二．填空题（共4小题，每题5分）

6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，若AB＝4，BC＝3，则CD的长为________．

7．如图，已知BD为△ABC的角平分线，EF垂直平分边BC，交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A+∠ACF＝90°，则∠FCB等于_________．

第6题图             第7题图               第8题图            第9题图  

8．如图，AB＝AC，∠C＝36°，AC的垂直平分线MN交BC于点D，则∠DAB＝_________．

9．如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是__________.

 三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）

10．如图，在Rt△ABC中，过直角边AC上的一点P作直线交AB于点M，交BC的延长线于点N，且∠APM＝∠A.求证：点M在BN的垂直平分线上．

11．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，求∠EAF的度数．

12．如图，△ABC中，∠A=∠ABC，DE垂直平分BC，交BC于点D，交AC于点E．

（1）若AB=5，BC=8，求△ABE的周长；   

（2）若BE=BA，求∠C的度数．

试题解析

2．B

【解析】根据题意可知，DE垂直平分边AB，再根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由△ADC的周长为7cm，即可求得AC+BC=7cm，然后由AC=2cm，即可求得BC的长．

解：∵AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为7cm，
∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=7cm，
∵AC=2cm，
∴BC=5cm．
故选：B．

3．B

【解析】利用线段垂直平分线的性质即可得出答案．

解：作BC的垂直平分线PQ交AB于P，连接PC．则BP=PC，∴PA+PC=PA+PB=AB．

故选B．

4．A

【解析】首先由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由DE垂直平分AC可得DC=AD，推出∠DAC=∠DCA．易求∠DCB．

解：AB=AC，∠A=50°⇒∠ABC=∠ACB=65°．.

∵DE垂直平分AC，∴∠DAC=∠DCA．.

∴∠DCB=∠ACB-∠DCA=65°-50°=15°．.

故选A．

5．D

【解析】解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①；

第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；

应用了垂直平分线的性质，填①．

应所以填①②①，故选D．

6．

【解析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可．

解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴CD＝AD，

∴AB＝BD＋AD＝BD＋CD，

设CD＝x，则BD＝4－x，

在Rt△BCD中，

CD2＝BC2＋BD2，即x2＝32＋(4－x)2，

解得x＝.

故答案为：.

7．30°

【解析】设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠ABC＝2x°，根据线段垂直平分线性质求出BF＝CF，推出∠FCB＝∠CBD，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．

解：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠ABC＝2x°，

∵EF是BC的垂直平分线，

∴BF＝CF，

∴∠FCB＝∠CBD＝x°，

∵∠A+∠ACF＝90°，

∴90°+x°+2x°＝180°，

解得：x＝30，

∴∠FCB＝30°．

故答案为：30°．

8．72°

【解析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝36°，由线段垂直平分线的性质得到CD＝AD，得到∠CAD＝∠C＝36°，根据外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，根据三角形的内角和即可得到结论．

解：∵AB＝AC，∠C＝36°，

∴∠B＝∠C＝36°，

∵AC的垂直平分线MN交BC于点D，

∴CD＝AD，

∴∠CAD＝∠C＝36°，

∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，

∴∠DAB＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝72°，

故答案为：72°

9．15

【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．

解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．

10．证明见解析

【解析】先利用两角互余的性质得出，，再由对顶角相等可得出，因为可知，故，由此可得出结论.

解：证明：∵∠B＋∠A＝90°，∠N＋∠CPN＝90°，

又∵∠CPN＝∠MPA＝∠A，

∴∠B＝∠N，

∴BM＝MN，

∴点M在BN的垂直平分线上．

11．20°

【解析】在△ABC中，利用三角形内角定理易求∠B+∠C，再根据线段垂直平分线的性质易求∠BAE=∠B，同理可得∠CAF=∠C，再结合三角形内角和定理进而可得∠BAE+∠CAF-∠BAC=∠EAF．

解：在△ABC中，∠BAC＝80°，

∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝100°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EB＝EA，

∴∠BAE＝∠B，

同理可得∠CAF＝∠C，

∴∠EAF＝∠BAE＋∠CAF－∠BAC＝∠B＋∠C－∠BAC＝20°.

12．（1）13（2）36°

【解析】（1）由等边对等角可知AC=BC=8，由线段垂直平分线的性质可知CE=BE,进而可求△ABE的周长；

（2）由BE=CE可知∠C=∠CBE，由外角性质可得∠BEA=2∠C，由BE=BA可证∠A=∠BEA=2∠C，然后利用三角形内角和等于180°列式求解即可.

解：（1）解：∵△ABC中，∠A=∠ABC

∴AC=BC=8

∵DE垂直平分BC，

EB=EC

又∵AB=5，

∴△ABE的周长为：

AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=5+8=13

（2）解：∵EB=EC 

∴∠C=∠CBE

∵∠AEB=∠C+∠CBE

∴∠BEA=2∠C

∵BE=BA

∴∠AEB=∠A

又∵AC=BC

∴ ∠CBA=∠A=2∠C

∵ ∠CBA+∠A+∠C=180°

∴5∠C=180°

∴∠C=36°