北师大版八年级下册第一章 三角形的证明3 线段的垂直平分线优秀教案设计

新知导入

同学们，在上前面的学习中，我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，下面请同学们回答：

问题1、说一说线段垂直平分线的性质定理？

答案：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

问题2、说一说线段垂直平分线的判定定理？

答案：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

学生根据老师的提问回答问题.

通过回顾线段的垂直平分线的性质和判定，为证明三角形三边的垂直平分线的性质的探究做好铺垫

新知讲解

下面，让我们一起完成下面的问题：

例1：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

已知：如图,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线与边BC相交于点P.

求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.

证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，

∴ PA = PB(线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端

点的距离相等）.

同理，PB ＝PC.

∴PA =PB ＝PC.

∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），

即：边AC的垂直平分线经过点P.

归纳：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

追问：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点一定在三角形内部吗？

答案：如图所示

(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；

(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；

(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．

指出：这是一个证明三条直线交于一点的证明依据.

练习1：如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝________．

答案：38°

议一议：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？

答：如图所示，能画出来，能画无数个，它们不一定全等

议一议：(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？

答：能，能作1个.

例1：已知一个等腰三角形的底边及底边上的高,求作这个等腰三角形.

已知：如图，线段a，h.

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.

作法：（1）作线段BC=a,

（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D，

（3）在l上作线段DA，使DA=h，

（4）连接AB、AC.

△ABC为所求的等腰三角形.

思考：已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.

小明的作图过程如下，

你能明白他的作法吗？

答案：先在直线l上作线段AB，使点P是线段AB的中点；再作线段AB的垂直平分线.即可以过点P出直线l垂线.

议一议：如果点C是直线AB外一点，那么怎样用尺规作直线AB的垂线，使它经过点C呢？

作法：(1)任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB的两旁；

(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；

(3)分别以点D和点E为圆心，以大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F；

(4)作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

练习2：已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)

答案：D

学生在老师的引导下进行证明.

学生归纳三角形三边垂直平分线的性质并作三种三角形三边垂直平分线图形，观察后说出交点的位置.并尝试转化为几何符号语言.

学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.

学生根据问题作图，回答问题（1）后，然后在老师的引导下对问题（2）进行尺规作图画满足条件的等腰三角形.

学生独立思考问题，然后与同伴交流，最后仔细听老师的讲解.

学生独立思考问题，然后与同伴交流，最后仔细听老师的讲解.

学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.

证明三角形三边线段垂直平分线的性质.

归纳三角形三边垂直平分线的性质，并得出交点在不同三角形中的位置.并掌握几何符号语言的表达形式.

应用三角形三边垂直平分线的性质解决实际问题.

探究利用尺规作图画满足条件的等腰三角形的作法.

探究过直线上一点作已知直线的垂线的作图方法.

探究过直线外一点作已知直线的垂线的作图方法.

提高学生应用尺规作图解决实际问题的能力.

课堂练习

1．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在(　　)

A．△ABC三边垂直平分线的交点处

B．△ABC三条角平分线的交点处

C．△ABC三条高所在直线的交点处

D．△ABC三条中线的交点处

答案：A

2．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作线段AB的垂直平分线．

小芸的作法如下：

如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

②作直线CD．

老师说：“小芸的作法正确．”

请回答：小芸的作图依据是什么？

答案：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线

3.如图，河流AB的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P供水，要使供水路径最短，求作供水站M的位置．

作法：（1）以P为圆心，以适当的长度为半径画弧，交直线AB于C，D两点．

（2）作线段CD的垂直平分线MN，交CD于M.

M点就是所求作的点．

学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.

借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.

拓展提高

如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，

交弧①于点D；

步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.

下列叙述正确的是(　　)

A．BH垂直平分线段AD        B．AC平分∠BAD

C．S△ABC＝BC·AH             D．AB＝AD

答案：A

在师的引导下完成问题.

提高学生对知识的应用能力

中考链接

下面让我们一起赏析一道中考题：

（2018·河北）尺规作图要求：

Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；

Ⅱ、作线段的垂直平分线；

Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；

Ⅳ、作角的平分线．

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

正确的配对是（　　）

A.①-Ⅳ,②-Ⅱ,③-Ⅰ,④-Ⅲ B.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅱ,④-Ⅰ

C.①-Ⅱ,②-Ⅳ,③-Ⅲ,④-Ⅰ D.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅱ,④-Ⅲ

答案：D

在师的引导下完成中考题.

体会所学知识在中考试题运用.

课堂总结

在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：

问题1、说一说三角形三条边的垂直平分线有什么特点？

答案：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；

(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；

(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．

问题2、如何过一点作已知直线的垂线？

答案：核心作图是作线段的垂直平分线

跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.

帮助学生加强记忆知识.

作业布置

基础作业

教材第26页习题1.8第1、2题

能力作业

教材第27页习题1.8第4题.

学生课下独立完成.

检测课上学习效果.

板书设计

借助板书，让学生知道本节课的重点。