2021年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷 - 解析版

这是一份2021年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷 - 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（ ）
A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒
3．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
4．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（ ）
A．a2＜a＜B．a＜＜a2C．＜a＜a2D．a＜a2＜
5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（ ）
A．140°B．50°C．60°D．40°
6．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，M，N分别是BC，AC的中点，CM＝2cm，则AB的长度为（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．6cm
8．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
9．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝45°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等边三角形；②DF＝DN；③AN＝BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A．②③B．①④C．②③④D．①②③
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④4a+2b+c＞0．其中，正确结论的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上。
13．一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
14．分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 ．
16．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．
17．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ．
18．已知正比例函数y1＝x，反比例函数，由y1，y2构造一个新函数y＝x+其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＜0时，该函数在x＝﹣1时取得最大值﹣2；
③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
其中正确的命题是 ．（请写出所有正确的命题的序号）
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
22．（8分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
23．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cs∠P＝，CF＝20，求BE的长．
24．（9分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，交BC于点E，连线AE、BF．
（1）如图1，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：BG＝AC；
（2）如图2，若BF⊥AC，AE＝6，AD＝12，求AF的长．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数：y＝x2﹣2x﹣6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求点A、点C的坐标及对称轴方程；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．
2021年广西玉林市玉州区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。
1．﹣的绝对值是（ ）
A．﹣B．C．D．﹣
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
【解答】解：﹣的绝对值为，
故选：B．
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（ ）
A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1秒＝1000000000纳秒，
∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．
故选：A．
3．已知一个几何体及其左视图如图所示，则该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的定义，并从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线，据此可得．
【解答】解：由主视图定义知，该几何体的主视图为：
故选：A．
4．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（ ）
A．a2＜a＜B．a＜＜a2C．＜a＜a2D．a＜a2＜
【分析】首先根据条件设出符合条件的具体数值，然后根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．
【解答】解：∵0＜a＜1，
∴设a＝，＝2，a2＝，
∵＜＜2，
∴a2＜a＜．
故选：A．
5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（ ）
A．140°B．50°C．60°D．40°
【分析】首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得∠β的度数．
【解答】解：∵∠α＝40°，
∴∠1＝∠α＝40°，
∵a∥b，
∴∠β＝∠1＝40°．
故选：D．
6．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：C．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，M，N分别是BC，AC的中点，CM＝2cm，则AB的长度为（ ）
A．2cmB．4cmC．8cmD．6cm
【分析】根据三角形中位线定理得到MN∥AB，MN＝AB，根据平行线的性质得到∠NMC＝∠ABC＝30°，根据余弦的定义求出MN，进而求出AB．
【解答】解：∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∴∠NMC＝∠ABC＝30°，
在Rt△CMN中，cs∠NMC＝，
∴MN＝＝＝4（cm），
∴AB＝2MN＝8（cm），
故选：C．
8．反比例函数y＝经过点（2，1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．函数图象分布在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数y＝经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝经过点（2，1），
∴1＝，
解得，k＝2，故选项A不符合题意；
∵k＝2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项B不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意、选项D不符合题意；
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD
【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．
【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝45°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接EN，下列结论：①△AFE为等边三角形；②DF＝DN；③AN＝BF；④EN⊥NC．其中正确的结论有（ ）
A．②③B．①④C．②③④D．①②③
【分析】由∠FAE＝45°可判断①，证明△BDF≌△ADN可判断②和③，证明△ABE≌△NBE可判断④，从而可得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AD⊥BC，
∴∠FAE＝45°，△AFE不是等边三角形，故①不正确；
AD＝BD，
∵△ABC是等腰直角三角形，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BFD＝67.5°＝∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE，
∵M为EF的中点，
∴∠DAN＝∠CAN＝∠DAC＝22.5°，
∴∠DAN＝∠DBF＝22.5°，
∵AD＝BD，∠BDF＝∠ADN，
在△BDF和△ADN中，
，
∴△BDF≌△ADN（ASA），
∴DF＝DN，AN＝BF，故②、③正确；
∠AND＝∠BFD＝67.5°，
∵∠BAN＝∠BAD+∠DAN＝67.5°，
∴∠AND＝∠BAN，
∴AB＝BN，
又∠ABE＝∠NBE，BE＝BE，
在△ABE和△NBE中，
，
∴△ABE≌△NBE（SAS），
∴∠BNE＝∠BAE＝90°，
∴EN⊥NC，故④正确，
故选：C．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线x＝1，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④4a+2b+c＞0．其中，正确结论的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由图象可得：a＞0，c＜0，b＜0，﹣＝1；由图象与x轴有两个交点，可得△＝b2﹣4ac＞0，判定①正确；根据a＞0，c＜0，b＜0可以判定②正确；利用图象找出x＝﹣2时的函数值为4a﹣2b+c＞0，由﹣＝1得出b＝﹣2a，将其代入4a﹣2b+c＞0中，可以判定③正确；利用图象找出x＝2时的函数值为4a+2b+c＜0，可判定④不正确．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线与y轴的负半轴相交，
∴c＜0．
∵该抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴＝1．
∴b＝﹣2a，b＜0．
①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
故①正确；
②∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴abc＞0．
故②正确；
③利用图象找出x＝﹣2时的函数值为4a﹣2b+c，
由图象可知4a﹣2b+c＞0，
∴4a﹣2（﹣2a）+c＝8a+c＞0，
故③正确；
④利用抛物线的对称性，在图象上找出x＝2时的函数值为4a+2b+c，如图，
由图象可知：4a+2b+c＜0，
故④错误；
综上所述，正确的结论有：①②③．
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案填在答题卡的横线上。
13．一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ 1 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4c＝0，
解得c＝1．
故答案为1．
14．分解因式：x3﹣2x2+x＝ x（x﹣1）2 ．
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y＝的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE＝2，BE＝2，
∴AB＝2，
S菱形ABCD＝底×高＝2×2＝4，
故答案为4．
16．新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．
【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），
其中男生30人，
则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．
故答案为：．
17．附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 11，60，61 ．
【分析】勾股定理和了解数的规律变化是解题关键．
【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，
故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为一，
故设第二个数为x，则第三个数为x+1，
根据勾股定理得：112+x2＝（x+1）2，
解得x＝60，
则得第5组数是：11、60、61．
故答案为：11、60、61．
18．已知正比例函数y1＝x，反比例函数，由y1，y2构造一个新函数y＝x+其图象如图所示．（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）．给出下列几个命题：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＜0时，该函数在x＝﹣1时取得最大值﹣2；
③y的值不可能为1；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
其中正确的命题是 ①②③ ．（请写出所有正确的命题的序号）
【分析】根据“双钩函数”的定义及图象可得．
【解答】解：①正比例函数y1＝x，反比例函数y2＝都是中心对称的，其和函数y＝x+也是中心对称图形，故①正确；
②当x＜0时，该函数在x＝﹣1时取得最大值﹣2，故②正确；
③y的值不可能为1，故③正确；
④在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．（6分）计算：（）﹣1﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣．
【分析】根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式的化简计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣2+1﹣2
＝1﹣2．
20．（6分）解方程组：．
【分析】①﹣②得出﹣2x＝﹣2，求出x，把x＝1代入①求出y即可．
【解答】解：，
①﹣②得：﹣2x＝﹣2，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1+2y＝7，
解得：y＝3，
所以原方程组的解为．
21．（6分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到△＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
△＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
22．（8分）在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀．
（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是 必然 事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是 不可能 事件；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是 ；
（3）学校决定在甲、乙两名同学中选取一名作为学生代表发言，制定如下规则：从盒子中任取两个球，若两球同色，则选甲；若两球异色，则选乙．你认为这个规则公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．
【分析】（1）直接利用必然事件以及怒不可能事件的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用概率公式求出答案；
（3）首先画出树状图，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是必然事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是不可能事件；
故答案为：必然，不可能；
（2）从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是：；
故答案为：；
（3）如图所示：
，
由树状图可得：一共有20种可能，两球同色的有8种情况，故选择甲的概率为：＝；
则选择乙的概率为：，
故此游戏不公平．
23．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cs∠P＝，CF＝20，求BE的长．
【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB＝90°，所以∠PCA＝∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB＝∠ABC，从而得结论；
（2）先证明∠CAF＝∠ACF，则AF＝CF＝20，根据cs∠P＝cs∠FAD＝，可得AD＝16，FD＝12，得CD＝CF+FD＝32，设OC＝r，OD＝r﹣16，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cs∠EAB＝，可得AE的长，从而计算BE的长．
【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA+∠ACO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠PCA＝∠ABC；
（2）∵AE∥PC，
∴∠CAF＝∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠PCA，
∴∠CAF＝∠ACF，
∴AF＝CF＝20，
∵AE∥PC，
∴∠P＝∠FAD，
∴cs∠P＝cs∠FAD＝，
在Rt△AFD中，cs∠FAD＝，AF＝20，
∴AD＝16，
∴FD＝＝12，
∴CD＝CF+FD＝32，
在Rt△OCD中，设OC＝r，OD＝r﹣16，
r2＝（r﹣16）2+322，
∴r＝40，
∴AB＝2r＝80，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，cs∠EAB＝，AB＝80，
∴AE＝64，
∴BE＝＝48．
24．（9分）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【分析】（1）直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案；
（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元；
（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100﹣m）套，
由题意可得：1.8（1100﹣m）≥1.2（1+25%）m，
解得：m≤600，
设明年需投入W万元，
W＝1.2×（1+25%）m+1.8（1100﹣m）
＝﹣0.3m+1980，
∵﹣0.3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤600，
∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
25．（10分）在平行四边形ABCD中，BC的垂直平分线交AC于F，交BC于点E，连线AE、BF．
（1）如图1，若AE，BF交于点G，且∠ACD＝∠BGE，求证：BG＝AC；
（2）如图2，若BF⊥AC，AE＝6，AD＝12，求AF的长．
【分析】（1）通过证明△BGE∽△ACD，可得＝＝2，可得结论；
（2）过点E作EH⊥AC于H，由等腰直角三角形的性质可求EF＝BE＝EC＝BC＝AD＝6，FC＝EC＝12，FH＝HC＝EH＝6，在Rt△AEH中，利用勾股定理可求AH的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，BC＝2BE，
∴∠FBC＝∠FCB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2BE，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠FBC，
又∵∠ACD＝∠BGE，
∴△BGE∽△ACD，
∴＝＝2，
∴BG＝AC；
（2）如图，过点E作EH⊥AC于H，
∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，EF⊥BC，BE＝EC，
又∵BF⊥AC，
∴EF＝BE＝EC＝BC＝AD＝6，
∴FC＝EC＝12，
∵EF＝EC，∠FEC＝90°，EH⊥FC，
∴FH＝HC＝EH＝6，
∴AH＝＝＝12，
∴AF＝AH﹣FH＝6．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数：y＝x2﹣2x﹣6的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）求点A、点C的坐标及对称轴方程；
（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；
（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．
【分析】（1）二次函数：y＝x2﹣2x﹣6，当y＝0时，解得x值即为A、B两点的横坐标，当x＝0时，二次函数的y值即为C的纵坐标，由对称轴公式可得对称轴方程；
（2）求出直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），由S△AOC＝×2×6＝6，×（m+6）（m+6）＝3，即可求解；
（3）分△DEO∽△AOC、△BED∽△AOC两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，代入二次函数解析式，
得：0＝x2﹣2x﹣6，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∵A在B的左边，
∴A的坐标为（﹣2，0），
当x＝0时，代入二次函数解析式，
得：y＝﹣6，
即C的坐标为（0，﹣6），
由对称轴公式得x＝﹣＝2，
即A的坐标为（﹣2，0），C的坐标为（0，﹣6），对称轴方程为x＝2；
（2）联立，
解得：x＝﹣（m+6），
直线y＝﹣x+m与y轴的交点为（0，m），
S△AOC＝×2×6＝6，
由题意得：×（m+6）（m+6）＝3，
解得：m＝﹣2或﹣10（舍去﹣10），
∴m＝﹣2；
（3）∵OA＝2，OC＝6，
∴＝3，
①当△DEB∽△AOC时，则＝＝3，
如图，过点E作EF⊥直线x＝2，垂足为F，过点B作BG⊥EF，垂足为G，
则Rt△BEG∽Rt△EDF，
则＝＝3，
则BG＝3EF，
设点E（h，k），
则BG＝﹣k，FE＝h﹣2，
则﹣k＝3（h﹣2），
即k＝6﹣3h，
∵点E在二次函数上，
故：h2﹣2h﹣6＝6﹣3h，
解得：h＝4或﹣6（舍去﹣6），
则点E（4，﹣6）；
②当△BED∽△AOC时，＝＝，
过点E作ME⊥直线x＝2，垂足为M，过点B作BN⊥ME，垂足为N，
则Rt△BEN∽Rt△EDM，
则＝＝，
则NB＝EM，
设点E（p，q），则BN＝﹣q，EM＝p﹣2，
则﹣q＝（p﹣2），
解得：p＝或（舍去），
故点E坐标为（4，﹣6）或（，）．
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
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