2020-2021学年28.2 解直角三角形及其应用精品课件ppt

28.2.1 解直角三角形

知识点1 已知两边解直角三角形

1.在中，.若，，则        ，        ，          .

2．（2021·山东泰山·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．

知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形

3．（黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2019-2020学年九年级6月阶段测试数学试题）在中，，，，则边的长是（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·山东东平东原实验学校九年级阶段练习）如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（    ）

A． B． C． D．以上都有可能

5．（2021·山东招远·九年级期中）如图，在中，，，，求的长．

6．（2020·甘肃·甘州中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c

（1）已知a＝6，b＝2，解这个直角三角形

（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形

（3）已知sinA＝，c＝6，解这个直角三角形．

知识点3 解直角三角形的综合运用

7．（宁夏吴忠市盐池县2020届九年级下学中考一模数学试题）如图是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为______

8．（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）在中，，则的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

9．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）如图，在中，，，是的平分线，交于点，若，则的长是（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·上海·九年级专题练习）已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（  ）

A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°

11．（2021·山东·阳谷县实验中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若sin∠CBD＝，则BC的长是（　　）

A．16 B．8 C．4 D．8

素质提升

12．（2021·山东河口·九年级期末）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是_____m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．

13．（海南省2021年中考数学真题试卷）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．

14．（2021·北京·九年级单元测试）如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（    ）

A． B． C． D．

15．（2021·全国·九年级课时练习）在锐角中，，，则底边BC的长为（    ）．

A．6 B．8 C．12 D．16

16．（2021·广东·九年级专题练习）下图由直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺的交点，点B为光盘与直尺的唯一交点．若AB=3，则光盘的直径是（   ）

A．6 B．3 C．6 D．3

17．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）如图，中，，点D为AB上一点，过点D作，垂足为E，且，若，，则线段__________．

18．（2016·江苏·九年级单元测试）已知：在△ABC中，AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 (即cosC＝)，则BC边的长是_________．

19．（上海·中考真题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．

（1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

20．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的周长为24，sinB=，点D为BC的中点．

（1）求BC的长；

（2）求∠BAD的正弦值．

21．（2019·广东广东·模拟预测）如图，在四边形中，的延长线与的延长线交于点．

（1）若，求的长；

（2）若，求的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

28.2.1 解直角三角形参考答案

知识点1 已知两边解直角三角形

1.在中，.若，，则        ，        ，          .

【答案】，，

【详解】，∵，∴，

2．（2021·山东泰山·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2．解这个直角三角形．

【答案】AB＝4，∠A＝30°，∠B＝60°

【分析】

由勾股定理求得AB的长，再由锐角三角函数定义得到∠A的度数，然后求出∠B的度数即可．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，

∴AB＝＝4，

∵tanA＝，

∴∠A＝30°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．

【点睛】

本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答．

知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形

3．（黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2019-2020学年九年级6月阶段测试数学试题）在中，，，，则边的长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

画出图形后，由正弦的定义即可求解．

【详解】

解：如下图所示，

由，代入数据可得：，

即，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角函数的基本概念，熟练掌握正弦、余弦、正切的概念是解题的关键．

4．（2021·山东东平东原实验学校九年级阶段练习）如图，底边上的高为，底边上的高为，则有（    ）

A． B． C． D．以上都有可能

【答案】A

【分析】

分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，然后根据图形及三角函数可直接进行排除选项．

【详解】

解：分别过点A作AE⊥BC于点E，PF⊥QR于点F，如图所示：

由题意得：，

∴，

∴，

∴，

∴；

故选A．

【点睛】

本题主要考查解直角三角形，熟练掌握利用三角函数求解问题是解题的关键．

5．（2021·山东招远·九年级期中）如图，在中，，，，求的长．

【答案】

【分析】

过点作，垂足为，首先根据∠A的正弦知值求出CM的长度，根据∠A的余弦值求出AM的长度，然后根据∠B的正切值求出BM的长度，即可求出AB的长度．

【详解】

解：如图，过点作，垂足为，

在中，，

，

同理可求：，

在中，，

，

．

【点睛】

此题考查了解非直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线和熟记特殊角的三角函数值．

6．（2020·甘肃·甘州中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c

（1）已知a＝6，b＝2，解这个直角三角形

（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解这个直角三角形

（3）已知sinA＝，c＝6，解这个直角三角形．

【答案】（1）；（2），；（3），

【分析】

（1）直角三角形中知两边，求第三边，运用勾股定理即可

（2），即，，即可知．再运用勾股定理即可

（3），其中，即可求解．

【详解】

解：依题意

（1）在中，，

，，

根据勾股定理得，，

；

（2），

为等腰直角三角形，

，

，

根据勾股定理得，

，

，

此三角形的三边分别为：，，；

（3）在中，，

，

，

，

根据勾股定理得．

，

此三角形的三边分别为：，，．

【点睛】

此题主要考查直角三角形勾股定理的运用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟练运用勾股定理．

知识点3 解直角三角形的综合运用

7．（宁夏吴忠市盐池县2020届九年级下学中考一模数学试题）如图是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为______

【答案】10cm．

【分析】

因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．

【详解】

解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：
，

又AC=30cm，tan∠BAC=，
则BC=ACtan∠BAC=30×=10cm．
故答案为：10cm．

【点睛】

此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义，是一道基础题．要求注意观察生活中的数学问题，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学来自于生活且服务于生活．

8．（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级期中）在中，，则的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】C

【分析】

根据三角函数值确定BC和AB的关系，再利用勾股定理求解即可．

【详解】

∵，

∴，即，

∵

∴，，

解得，（负值舍去），

故选：C．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，解题关键是明确三角函数的意义，准确得出直角三角形边之间的关系．

9．（2021·陕西·交大附中分校八年级开学考试）如图，在中，，，是的平分线，交于点，若，则的长是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用是的平分线，求出，得出，再计算的长即可．

【详解】

解：在中，

，，

，

是的平分线，

，

，

在中，

，

在中，，

，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，属于简单题．′

10．（2021·上海·九年级专题练习）已知直角梯形的一腰长为18cm，另一腰长为9cm，则较长的腰与底所成角为（  ）

A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°

【答案】C

【分析】

作梯形的另一高，得到一个矩形和一个直角三角形，根据矩形的对边相等得该高等于9，则直角三角形中，斜边是18，一条直角边是9，所以较长的腰与一底所成的角是30度．根据平行线的性质，得与另一底所成的角是150°．

【详解】

作DE⊥BC，

∵AD∥BC，AB⊥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AB=DE=9
∴sinC

∴∠C=30°
∴∠ADC=150°
∴较长的腰与底所成的角为30°或150°
故选C．

【点睛】

考查了三角函数，解题关键是作直角梯形的另一高，组成了一个矩形和一个30°的直角三角形．

11．（2021·山东·阳谷县实验中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若sin∠CBD＝，则BC的长是（　　）

A．16 B．8 C．4 D．8

【答案】B

【分析】

由题意可知，AD=BD，根据三角函数得到AD与CD的关系，求出CD、BD，再勾股定理求BC即可．

【详解】

解：∵MN是线段AB的垂直平分线，

∴AD＝BD．

在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝，

∴．

∵AC＝AD+CD＝32，

∴CD＝14，AD＝BD＝18．

在Rt△BCD中，

BC＝

＝

＝．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角函数、勾股定理、垂直平分线的性质，解题关键是把已知条件整合，建立线段之间的联系，准确进行计算．

素质提升

12．（2021·山东河口·九年级期末）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是_____m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．

【答案】0.8

【分析】

首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD=BC-BD即可求解．

【详解】

解：，

，

，

在中， ，
则 ，
则 ，

（m），
故答案为：0.8．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，正确利用三角函数解得BC的长是解题关键．

13．（海南省2021年中考数学真题试卷）如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．

【答案】

【分析】

根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标．

【详解】

的坐标分别是

轴

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键．

14．（2021·北京·九年级单元测试）如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据∠A＝120°，得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，得出AD＝1，CD=，再根据，利用解直角三角形求出．

【详解】

解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵  ∠BAC＝120°，∴  ∠CAD＝60°，

又∵  AC＝2，∴  AD＝1，CD＝，

∴  BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，

∴  ．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°是解决问题的关键．

15．（2021·全国·九年级课时练习）在锐角中，，，则底边BC的长为（    ）．

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】D

【分析】

过点作于点，根据，，可得，设，则，勾股定理求得的长，进而可得的长．

【详解】

如图，过点作于点，

中，，，

，，

设，则，

，

解得，

，

．

故选D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握解直角三角形是解题的关键．

16．（2021·广东·九年级专题练习）下图由直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺的交点，点B为光盘与直尺的唯一交点．若AB=3，则光盘的直径是（   ）

A．6 B．3 C．6 D．3

【答案】A

【分析】

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．

【详解】

设光盘的圆心为O，三角板与光盘的切点为C，连接OA、OB、OC.

由切线长定理知AC=AB=3，

又∵OB⊥AB，OC⊥AC，OA=OA，

∴Rt△OAB≌Rt△OAC，

∴∠OAB=∠OAC=∠BAC=×(180°-60°)=60°，

在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，

∴光盘的直径为6，

故选A

【点睛】

本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．

17．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）如图，中，，点D为AB上一点，过点D作，垂足为E，且，若，，则线段__________．

【答案】1

【分析】

作，由，得，设，证明可得，在中，由勾股定理得：，解得，，，即可解决问题．

【详解】

解：作于H，

在中，，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，设，则，

在中，由勾股定理得：，

∴，

整理得：，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

在中，由勾股定理得：，

∴，

∴．

故答案为：1．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程的求解，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．

18．（2016·江苏·九年级单元测试）已知：在△ABC中，AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 (即cosC＝)，则BC边的长是_________．

【答案】或

【详解】

①AD⊥BC交BC于点D，

由题意得，∠ABC=45°，cosC=，

∵AC=1，cosC=，∴CD=AC·cosC=，

∴AD=，∴BD=AD=，

∴BC=；

②作AD⊥CB交CB延长线于点D，

由题意得，∠ABD=45°，cos∠ACD =，

∵AC=1，cos∠ACD=，∴CD=AC·cos∠ACD=，

∴AD=，∴BD=AD=，

∴BC=.

故答案为或.

点睛：本题关键在于考虑到两种情况，不能漏解.

19．（上海·中考真题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．

（1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

【答案】（1）sinB＝；（2）DE＝5．

【分析】

（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；

（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得,求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；

【详解】

（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6，

∴AB==3，∴sinB==．

（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴，∴，∴EF=4，BF=6，

∴DF=3，在Rt△DEF中，DE==5．

考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.

20．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的周长为24，sinB=，点D为BC的中点．

（1）求BC的长；

（2）求∠BAD的正弦值．

【答案】（1）BC=8；（2）sin∠BAD=

【分析】

（1）根据三角函数的定义设AB=5k，AC=3k，则BC=4k，再由三角形的周长得出k的值，即可得出三角形的三边；

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据S△ABD=S△ABC，再由正弦函数的定义得出答案即可．

【详解】

解：（1）∵sinB=，

∴，

设AB=5k，AC=3k，则BC=4k，

∵△ABC的周长为24，

∴3k+4k+5k=24，

∴12k=24，

∴k=2，

∴AB=10，AC=6，BC=8；

（2）如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，

∵AD为中线，

∴=12，

∴×10DE=12，

∴DE=，

在Rt△ACD中，AD2=CD2+AC2，

∴AD=2，

∴sin∠BAD=

=．

【点评】

本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理以及三角函数的定义是解题的关键．

21．（2019·广东广东·模拟预测）如图，在四边形中，的延长线与的延长线交于点．

（1）若，求的长；

（2）若，求的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）根据三角函数的定义求出BE和CE的长即可求解；

（2）根据三角函数的性质求出AE,DE即可求解.

【详解】

（1），

又

，.

（2），

，解得，

【点睛】

此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法.