2020-2021学年27.2.1 相似三角形的判定一等奖ppt课件

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人教版 九年级数学下册第27章 相似27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例定理
学习目标1. 了解相似三角形的概念及表示方法.2. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理.3. 会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
1. 相似图形的定义: 我们把这些形状相同的图形，叫做相似图形.
2.（1）相似多边形的定义: 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫相似多边形.
（2）相似多边形的性质: 相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似图形
相似多边形
相似三角形
____________________________，
相似三角形的定义：
在两个三角形中，如果这两个三角形的___________、____________，则这两个______叫做相似三角形.
三个角相等
三条边成比例
三角形
即如图，在△ABC 和△A'B'C'中，如果
∠A =∠A'，
∠B =∠B'，
∠C =∠C'
则__________________.
且__________________，
△ABC ∽ △A'B'C'
一、相似三角形的概念
反之，如果△ABC ∽ △A'B'C'，则_____________________________
∠A =∠A'，
∠B =∠B'，
∠C =∠C'
= k
即△ABC 与△A'B'C'的______为 k . 或△A'B'C'与△ABC 的相似比为___ .
相似比
想一想:如果k=1，这两个三角形有怎样的关系 ？
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
且______________________
全等
1. 相似三角形的定义: 在两个三角形中，如果这两个三角形的三个角相等，三条边成比例，则两个三角形叫做相似三角形.
2. 相似三角形的性质: 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似？
∠A =∠A'，
∠B =∠B'，
∠C =∠C'
①
②
目前掌握的判定三角形相似的方法只有一个，即根据相似三角形的定义.
（定义法）
即若想判定△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足：
在△ABC中，DE∥BC
A
B
C
D
E
我们要证明这个结论．
你能 画出两个相似三角形吗？
直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似．
只添一笔
A
B
C
D
E
在△ABC中，DE∥BC
△ADE∽△ABC
先证明两个三角形的对应角相等．
∵在△ABC中，DE∥BC
∴∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠C
即△ADE和△ABC的所有对应角相等.
证明:
在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A
已知：
求证：
A
B
C
D
E
在△ABC中，DE∥BC
△ADE∽△ABC
已知：
求证：
再证明两个三角形的对应边成比例（比相等）．
要想解决这个问题，先来学习一个预备定理.
（ ）
任画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1 ， l2都相交的平行线l3 ， l4 ， l5 ，分别与l1，l2交于点A、B、C、D、E、F
DE，EF的长度
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5

l1
l2
请度量AB，BC，
5
6
10
12
①
（ ）
（ ）
②
（ ）
二、平行线分线段成比例定理
任画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1 ， l2都相交的平行线l3 ， l4 ， l5 ，分别与l1，l2交于点A、B、C、D、E、F
DE，EF的长度
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5

l1
l2
请度量AB，BC，
5
6
10
12
（ ）
（ ）
③
（ ）
（ ）
（ ）
①
③
②
？
？
？
？
？
？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5

l1
l2
5
6
10
12
DE，EF的长度
请度量AB，BC，
任画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1 ， l2都相交的平行线l3 ， l4 ， l5 ，分别与l1，l2交于点A、B、C、D、E、F
利用等积法证明平行线分线段成比例定理.
被 平行线所截，
线段成比例.
平行线分线段成比例定理：
一组
三条
只要
就有
l3 //l4 // l5
∴
∵
或
或
两条直线
所得的对应
符号语言：
…
1. 已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是（ ） A. B. C. D.
D
∴AE=6.
解：∵AD∥BC，EF∥BC ∴AD∥BC∥EF
又∵AE=FC
∴AE2=EB×DF=36，
D
E
B
F
C
A
B
C
l4
l5
l1
l3
把直线l2向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
（使D与A重合）
把此图形抽取出来.
三、平行于三角形一边的直线的性质定理
图中有哪些成比例的线段？
B
C
E
F
A
B
C
l4
l5
l1
l3
D
（使B和E重合）
把直线l2向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
把此图形抽取出来.
图中有哪些成比例的线段？
D
边的延长线），所得的
平行线分线段成比例定理的推论：
B
C
E
F
D
对应线段成比例.
平行于
三角形一边的直线
截其他两边
（或两
在三角形中只要具备平行条件就可以直接得到对应线段成比例.
平行于三角形一边的直线的性质定理:
“A ”型
“X ”型
在△ABC中，DE∥BC，
∴
∵
符号语言：（以“A”型为例）
边的延长线），所得的
对应线段成比例.
平行于
三角形一边的直线
截其他两边
（或两
…
平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组______所截，所得的对应线段______
平行线
成比例
平行于三角形一边的直线的性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的______线段______.
对应
成比例
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC.
（1）如果AB = 10，AD=6，AE= 5，那么 EC 的长是多少？
（2）如果AC=3 ，AB=4，EC=1，那么 AD和BD的长是多少？.
〖方法一〗解：∵在△ABC中，DE∥BC
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC.
（1）如果AB = 10，AD=6，AE= 5，那么 EC 的长是多少？
〖方法二〗解：∵在△ABC中，DE∥BC
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC.
（1）如果AB = 10，AD=6，AE= 5，那么 EC 的长是多少？
4
3
1
解：∵在△ABC中，DE∥BC
？
本题还有其他方法，大家不妨试试吧
数形结合
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC.
（2）如果AC=3 ，AB=4，EC=1，那么 AD和BD的长是多少？.
证明： DF∥AC
EF∥BC，
2. 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD∶OA＝OE∶OB

再证明两个三角形的对应边成比例
A
B
C
D
E
在△ABC中，DE∥BC
△ADE∽△ABC
已知：
求证：
F
即证明
〖分析〗
DE∥BC
只需证
过点E做EF∥AB，交BC于点F
EF∥AB
DE∥BC
DEFB
BF=DE
或
四、相似三角形的判定
∴ ，
A
B
C
D
E
在△ABC中，DE∥BC
△ADE∽△ABC
已知：
求证：
F
即证明
证明：
过点E做EF∥AB，交BC于点F
∵ DE∥BC，EF∥AB
∵四边形DEFB是平行四边形
∴DE=BF
∴
∴
在△ABC中，DE∥BC，
△ADE∽△ABC
已知：
求证：
∴
∵
A
B
C
D
E
与原三角形相似.
相似三角形的判定定理(预备定理)：
符号语言：
平行于
三角形一边的直线
和其它
两边
所构成的三角形
相交，
D
E
D
E
先证明两个三角形的对应角相等．
再证明两个三角形的对应边成比例.
的延
在△ABC中，
△ADE∽△ABC
∴
∵
A
B
C
D
E
相似三角形的判定定理(预备定理)
符号语言：
平行于
三角形一边的直线
和其它
两边
所构成的三角形与原三角形相似.
相交，
自行证明
拓展
DE∥BC，
相交，
?

的推论：
?
长线
与原三角形相似.
相似三角形的判定定理(推论)：
平行于
三角形一边的直线
和其它
两边
所构成的三角形
相交，
边的延长线）
DE∥BC
△ADE∽△ABC
∴
∵
符号语言：
（或两
1. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，则下列比例式不成立的是（ ）
C
DE∥BC
△ADE∽△ABC
相似三角形的对应边成比例
DE所截出的对应线段成比例
【解析】
2. 如图，已知，在 △ABC 中，DE∥BC，
DB=3，
BC = 5，
求
DE
AD=2，
的值.
解：
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
，而AB=AD+DB=2+3=5.
∴就有
，解得DE=2.
3. 如图，已知，在 △ABC 中，DE∥BC，
DB=3，
BC = 5，
求
DE
AD=2，
的值
DE : BC= 2 : 5
DB
解：
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
，而AB=AD+DB=2+DB
∴就有
，解得DB=3
5DE =2BC
DE : BC= 2 : 5
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1，则 EF 的长为 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2 cm，BE=6 cm， BC = 4 cm，则EF 的长为 （ ）
A
A. 1 cm B. cm C. 3 cm D. 2 cm
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，则△____∽△____， 对应边的比例式为 ＝ ＝
ADE
ABC
——
——．
4. 已知 △ABC ∽ △A1B1C1，相似比是 1:4，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 .
1:20
5. 若 △ABC 的三条边长的比为3 cm，5 cm，6 cm，与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm，那么 A′B′C′ 的最大边长是______.
24 cm
6. 已知 ∠A =∠E=60°， 求：BD的长.
CB = 4，
BE
AB
=
——
解：∵∠A =∠E=60° ∴AC∥DE
1. 如图，在 □ABCD 中，EF∥AB， DE : EA = 2 : 3，EF = 4，求 CD 的长．
解：∵ EF∥AB，DE : EA = 2 : 3，
∴ △DEF ∽ △DAB，
解得 AB = 10.又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ CD = AB = 10.
2. 已知AC∥FG∥DE，BF=4，FD=3， ， ， 求CB的值.
F
G
解：∵FG∥DE
4
3
又∵FG∥AC
3. 如图，已知菱形 ABCD 在△AEF的内部，AE=5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴CD∥AB，
设菱形的边长为 x cm，则CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
x
4-x
4
5
1.（3分）（2021•云南12/23）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF=6，则BE的长是 ．
2.（3分）（2020•吉林12/26）如图，AB∥CD∥EF．若 ，BD =5，则DF = ．
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
相似三角形判定的预备定理
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.（“A”“X”）
基本事实
平行线分线段成比例
P42：习题27.2：第4、5题.