2020年广西桂林市高考数学一模试卷（理科）_(带答案解析).docx

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2020年广西桂林市高考数学一模试卷（理科）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上

评卷人
得分



一、 选择题（共12题）
1. 已知集合A={y|y=-1}，B={x|2x≤4}，则A∩B=（　　）
A.[0，2] B.[-1，2] C.[-1，+∞） D.（-∞，2]
2. 若复数z满足=1+i，则|z|=（　　）
A.
B.2
C.2
D.
3. 人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI=体重÷身高2（体重单位为kg，身高单位为m）．其判定标准如表：
BMI
18.5以下
18.5～23.9
24～29.9
30以上
等级
偏瘦
正常
超标
重度超标

某小学生的身高为1.4m，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是（　　）
A.35.6 B.36.1 C.42.4 D.48.2
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α⊥β的一个充分不必要条件是（　　）
A.m⊥α，m⊥β B.m⊂α，n⊂β，m⊥n C.m∥n，m⊥α，n⊥β D.m∥α，m⊥β
5. 设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
6. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得（　　）钱？
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式可能为（　　）

A.f（x）=cosx•ln
B.f（x）=cosx•ln
C.f（x）=sinx•ln
D.f（x）=sinx•ln
8. 已知是锐角向量=（sinα，），=（1，cosα），满足||||=|•|，则a为（　　）
A.
B.
C.
D.
9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（　　）

A.27π B.36π C.12π D.18π
10. 已知函数f（x）=2sin2x-1+sin2x，将函数f（x）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得图象向上平移2个单位长度得到函数y=g（x）的图象，若g（x1）g（x2）=16，则|x1-x2|的值可能为（　　）
A.
B.π
C.2π
D.3π
11. 已知双曲线C：-=1（a＞0），F1，F2是C的左右焦点，P是双曲线C右支上任意一点，若的最小值为8，则双曲线C的离心率为（　　）
A.
B.3
C.2
D.
12. 已知函数f（x）=ex（lnx-1），x∈[，+∞），若存在a∈[-2，1]，使得f（2-）≤a2+2a-3-e成立，则实数m的取值范围为（　　）
A.[，1]
B.[1，+∞）
C.[，+∞）
D.[1，]

评卷人
得分



二、 填空题（共4题）
13. 二项式（x-）6展开式中的常数项为240，则实数a的值为______．
14. 已知等比数列{an}中，a1=3，a32=a4，则a5=______．
15. 已知F1为椭圆C：+y2=1的左焦点，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若=3，则直线l的斜率为______．
16. 已知函数f（x）=-x2+6x-5，若函数g（x）=|f（x）|-kx有4个零点，则实数k的取值范围为______．

评卷人
得分



三、 解答题（共7题）
17. 在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知（2c-2b）cosA=acosB-c．
（1）求证：b=2c；
（2）若sinA=，a=2，求△ABC的面积．
18. 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
作物产量（kg）
400
500
概率
0.6
0.4

作物市场价格（元/kg）
5
6
概率
0.5
0.5

（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列（利润=产量×市场价格-成本）；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中的利润都在区间（1200，1600）的概率．
19. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，E为BB1的中点，F为AC1的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求平面AB1D1与平面AEC1所成二面角的正弦值．

20. 已知函数f（x）=x-alnx+b（a，b∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a、b，且b≤，使得函数f（x）在区间[1，e]的值域为[2，e]？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0），抛物线C与圆D：（x-1）2+y2=4的相交弦长为4．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）点F为抛物线C的焦点，A、B为抛物线C上两点，∠AFB=90°，若△AFB的面积为，且直线AB的斜率存在，求直线AB的方程．
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2=．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P在直线l上，点Q在曲线C上，求|PQ|的最小值．
23. 设a，b，c∈R，且a+b+c=3．
（1）求证：a2+（b+1）2+（c-1）2≥3；
（2）若t≥1，求证：（a-1）2+（b-t）2+（c+2t）2≥3．

参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】B
【解析】解：∵集合A={y|y=-1}={y|y≥-1}，
B={x|2x≤4}={x|x≤2}，
∴A∩B={x|-1≤x≤2}=[-1，2]．
故选：B．
求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2. 【答案】A
【解析】解：由=1+i，得z=，
∴|z|=．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3. 【答案】C
【解析】解：∵人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI=体重÷身高2，
BMI∈（18.5，23.9）为正常，
身高为1.4，
∴体重正常值为：（18.5×1.42，23.9×1.42）=（36.26，46.844），
∴她的体重可能是42.4．
故选：C．
由BMI∈（18.5，23.9），身高为1.4，利用BMI=体重÷身高2求出体重正常值，由此能求出她的体重可能是42.4．
本题考查学生体积的判断，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4. 【答案】D
【解析】解：对于A，由m⊥α，m⊥β⇒α∥β，故A错误，
对于B，m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α，β可以平行，故B错误，
对于C，m∥n，m⊥α，n⊥β，可以求出α∥β，故C错误，
对于D，由m∥α，m⊥β，得α⊥β，是充分条件，
反之，由α⊥β，不一定得到m∥α，m⊥β，不必要条件，
故选：D．
根据线面，面面的位置关系以及充分必要条件判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查线面，面面的位置关系，是一道常规题．
5. 【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，
平移直线y=-x+z，
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（2，3），
代入目标函数z=x+y得z=2+3=5．
即目标函数z=x+y的最大值为5．
故选：D．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．

6. 【答案】A
【解析】解：设甲、乙、丙、丁、戊五人分五得的钱数分别为a1，a2，a3，a4，a5，公差为d，
则由题意可得，S5=5，a1+a2=a3+a4+a5，
，解可得a1=，d=-a1-a5=-4d=，
故选：A．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础试题．
7. 【答案】C
【解析】解：根据题意，由所给的图象可得：f（x）为偶函数，
据此分析选项：
对于A，f（x）=cosx•ln，其定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），f（-x）=cos（-x）•ln=-f（x），为奇函数，不符合题意；
对于B，f（x）=cosx•ln，同理可得其为奇函数，不符合题意；
对于C，f（x）=sinx•ln，其定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），f（-x）=sin（-x）•ln=f（x），为偶函数，
在区间（1，π）上，ln＜0，而sinx＞0，则有f（x）＜0，符合题意；
对于D，f（x）=sinx•ln，同理可得其为偶函数，在区间（1，2）上，f（x）＞0，不符合题意；
故选：C．
根据题意，结合函数的图象可得函数的奇偶性，据此分析4个选项，综合可得答案．
本题考查函数的图象变换，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．
8. 【答案】D
【解析】解：∵向量=（sinα，），=（1，cosα），满足||||=|•|，
∴∥；
∴sinαcosα=⇒sin2α=1；
∵α是锐角；
∴α=；
故选：D．
由||||=|•|，得∥；再结合向量的坐标以及特殊角的三角函数值即可求解
本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
9. 【答案】B
【解析】解：由题意几何体是圆台，上底半径为1，下底半径为，圆台的高为3，设圆台的外接球的半径为R，则，解得R=3，
所以外接球的体积为：=36π．
故选：B．
判断几何体的形状，利用已知条件转化求解外接球的半径，然后求解体积即可．
本题考查三视图求解几何体的外接球的体积，判断几何体的形状是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．

10. 【答案】C
【解析】解：f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），
将函数f（x）的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin（x-），
再把所得图象向上平移2个单位长度得到函数y=g（x）=2sin（x-）+2，
则g（x）的值域为[0，4]，周期T=2π，
∵g（x1）g（x2）=16，∴必有g（x1）=4，g（x2）=4，
即|x1-x2|=nT=2nπ，
则当n=1时，|x1-x2|=2π，
故选：C．
利用辅助角公式进行化简，根据平移变换求出函数的解析式，结合函数的最值进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式结合三角函数的图象关系求出函数的解析式，利用最值性质是解决本题的关键．难度中等．
11. 【答案】B
【解析】解：设|PF2|=n，根据双曲线的定义：|PF1|=n+2a，
则=，
∵的最小值为8，∴a=1．
则双曲线C的离心率为e=．
故选：B．
首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，由的最小值为8，求出a即可，．
本题考查了双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．
12. 【答案】A
【解析】解：，令，则，
故当＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，从而当时，f'（x）≥0，f（x）在区间上单调递增．
设h（a）=a2+2a-3-e=（a+1）2-4-e，开口向上，对称轴为a=-1，
∴h（a）max=h（1）=-e，
∴存在a∈[-2，1]，使得成立，等价于，
∴，解得．．
故选：A．
对函数f（x）求导，令，利用导数判断函数g（x）在[，+∞）上的正负性，从而确定f'（x）的正负性，进而得出函数f（x）的单调性．设h（a）=a2+2a-3-e=（a+1）2-4-e，原存在性问题转化为f（2-）≤h（a）max，而h（a）是一个关于a的二次函数，易求得其在[-2，1]上的最大值，然后结合f（x）的单调性，列出关于m的不等式组，解之即可得解．
本题考查函数的存在性问题，解题的关键是将原问题转化为函数的最值问题，考查学生转化与化归的能力和运算能力，属于中档题．
二、 填空题
13. 【答案】±2
【解析】解：Tr+1=x6-r（-）r=（-a），由6-r=0，得r=4，∴（-a）4=240，解得a=±2．
故答案为：±2．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项．再根据展开式中的常数项为240，求得a的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14. 【答案】
【解析】
由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，进而可求答案．
本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．

解：∵a1=3，a32=a4，
∴（3q2）2=3q3，解可得q=，
∴=．
故答案为：．

15. 【答案】
【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由F1（-，0）可知=（-x2，-y2），=（x1+，y1），
则-=3x1+3，-y2=3y1，∴x2=-43x1，y2=-3y1，
又，，解得x1=，y1=±，
∴直线l的斜率为：=±．
故答案为：．
设出A，B坐标，求出焦点坐标，利用向量关系列出关系式，利用平方差公式求出A、B坐标，即可得到直线的斜率．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
16. 【答案】（0，6）
【解析】解：|f（x）|=|-x2+6x-5|，则函数g（x）=|f（x）|-kx
有4个零点等价于|f（x）|的图象与直线y=kx有4个交点，
作出图象如图：
由图可知k＞0，
当1＜x＜5时，|f（x）|=-x2+6x-5，
设直线y=kx与y=-x2+6x-5的切点为（a，-a2+6a-5），
由y=-x2+6x-5求导得y′=-2x+6，所以k=-2a+6，
又因为ka=-a2+6a-5，即a（-2a+6）=-a2+6a-5，
解得a=，所以k=6-2，
故实数k的取值范围为（0，6-2），
故答案为（0，6-2）．
作出函数|f（x）|的图象与直线y=kx，数形结合即可．
本题考查了函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属中档题．

三、 解答题
17. 【答案】（1）证明：∵（2c-2b）cosA=acosB-c．
由正弦定理可得，2sinCcosA-2sinBcosA=sinAcosB-sinC=sinAcosB-sinAcosB-sinBcosA，
即2sinCcosA-sinBcosA=0，
∵A为锐角，则cosA≠0，
∴2sinC=sinB，
由正弦定理可得b=2c，
（2）由题意可得cosA==，
由余弦定理可得，，
因为b=2c，解可得，b=2，c=1，
故△ABC的面积=
【解析】
（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求得2sinC=sinB，然后结合正弦定理即可证明；
（2）结合（1）可求cosA，然后结合余弦定理可求b，c，代入三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
18. 【答案】解：（1）设A表示事件“作物产量为400kg”，B表示事件“作物市场价格为5元/kg”，
由题设知，P（A）=0.6，P（B）=0.5，
∵利润=产量×市场价格-成本，
∴X的所有可能取值为：400×5-1000=1000，400×6-1000=1400，
500×5-1000=1500，500×6-1000=2000．
P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.6=0.3，
P（X=1400）=P（A）P（）=（1-0.5）×0.6=0.3，
P（X=1500）=P（）P（B）=0.5×0.4=0.2，
P（X=2000）=P（）P（）=0.4×0.5=0.2．
∴X的分布列为：

 X
 1000
 1400
 1500
 2000
 P
 0.3
 0.3
 0.3
 0.2

（2）每一季利润在区间（1200，1600）的概率为0.3+0.2=0.5．
故3季中的利润都在（1200，1600）的概率为．
【解析】
（1）设A表示事件“作物产量为400kg”，B表示事件“作物市场价格为5元/kg”，由题设知，P（A）=0.6，P（B）=0.5，然后利用利润=产量×市场价格-成本求得X的所有可能取值，再求出概率，可得分布列；
（2）求出每一季利润在区间（1200，1600）的概率，再由相互独立事件的概率计算公式求解．
本题考查离散型随机变量的分布列，训练了相互独立事件概率的求法，是中档题．
19. 【答案】解：（1）证明：如图，连结AC，BD，交于点O，连结OF，
∵FO∥BB1，2FO=BB1，∴FO∥BE，FO=BE，
∴四边形BEFO为平行四边形，∴EF∥OB，
∵OB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），E（1，1，1），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2），
=（-1，1，2），=（0，1，1），=（1，1，0），=（-1，0，2），
设平面AEC1的法向量=（x，y，z），
则，取x=-1，得=（-1，1，-1），
设平面AB1D1的法向量=（a，b，c），
则，取a=2，得=（2，-2，1），
设平面AB1D1与平面AEC1所成二面角为θ，
则cosθ==，
sinθ=．
∴平面AB1D1与平面AEC1所成二面角的正弦值为．

【解析】
（1）连结AC，BD，交于点O，连结OF，推导出四边形BEFO为平行四边形，EF∥OB，由此能证明EF∥平面ABCD．
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB1D1与平面AEC1所成二面角的正弦值．
本题考查线面垂平行证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20. 【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
，
①当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）的增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，令f'（x）＞0，则x＞a，故函数f（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a）．
（2）①当a≤0时，由（1）可知f（x）在[1，e]上单调递增，
所以，解得a=1，b=1，舍去；
②当0＜a≤1时，由（1）可知f（x）在[1，e]上单调递增，
所以，解得a=1，b=1，符合题意；
③当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]上单调递减，在（a，e]上单调递增，
由f（1）=1+b≤，不合题意，
所以必有，可得，
令g（x）=2x-xlnx-2（1≤x＜e），g'（x）=1-lnx＞0，故函数g（x）在[1，e）上单调递增．
又由g（1）=0，故当1＜a＜e时，2a-alna＞2，不存在a使得2a-alna=2．
④当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减，，得a=2e-3，b=e-1，舍去；
综上所述，满足条件a、b的值为a=1，b=1．
【解析】
（1）求导，然后分a≤0和a＞0两类讨论函数的单调性；
（2）根据a与0、1和e的大小，分四类a≤0、0＜a≤1、1＜a＜e和a≥e，讨论函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而确定f（x）的最大值和最小值，列出关于a、b的方程组，并解出a和b的值，然后判断是否符合题意即可．
本题考查利用导数处理含参函数的单调性，最值问题，解题的关键是弄清楚含参函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21. 【答案】解：（1）由抛物线和圆的的对称性可得两条曲线的交点关于x轴对称，由弦长为4可得，交点的纵坐标为±2，设交点P（a，2），
由题意可得，解得a=1，p=2，
所以抛物线的标准方程为：y2=4x．
（2）设直线AB的方程为：y=kx+b（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB与抛物线的方程：，整理可得：k2x2+（2kb-4）x+b2=0，△=（2kb-4）2-4k2b2＞0，可得kb＜1，
x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=b2++b2=
由∠AFB=90°可得：=0，即（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=0，
整理可得：x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0，即-++1=0，
可得b2+6kb+k2=4，
S△AFB==（x1+1）（x2+1）=（x1x2+x1+x2+1）=（++1）=（）2=，
所以=，可得：k=-6b或k=-，
所以由可得k=12，b=-2，或k=-12，b=2，所以直线方程为：y=12x-2或y=-12x+2；
所以由，可得方程组无解，
综上所述：直线AB的方程为：y=12x-2或y=-12x+2．
【解析】
（1）由抛物线和的对称性可得两条曲线的交点坐标关于x轴对称，由相交弦长可得交点的纵坐标，分别代入两个方程可得参数p，及交点的横坐标，即可求出抛物线的方程；
（2）由题意设过焦点的直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，及判别式大于0，再由90°角可得数量积为0，求出参数的关系，再由面积求出参数的值，进而求出直线AB的方程．
考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中难题．
22. 【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为y=4-2x．
曲线C的极坐标方程为ρ2=．转换为直角坐标方程为．
（2）设曲线上任一点的坐标为（cos）到直线2x+y-4=0的距离d==，
当且仅当sin（θ+α）=1时，最小值为．
【解析】
（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23. 【答案】证明：（1）由9=（a+b+c）2=[a+（b+1）+（c-1）]2=a2+（b+1）2+（c-1）2+2a（b+1）+2（b+1）（c-1）+2a（c-1）
≤a2+（b+1）2+（c-1）2+[a2+（b+1）2]+{（b+1）2+（c-1）2]+[a2+（c-1）2]=3[a2+（b+1）2+（c-1）2]（当且仅当a=1，b=0，c=2时等号成立）．
故有a2+（b+1）2+（c-1）2≥3；
（2）由a+b+c=3，
可得（t+2）2=（a+b+c-1+t）2=[（a-1）+（b-t）+（c+2t）]2
=（a-1）2+（b-t）2+（c+2t）2+2（a-1）（b-t）+2（b-t）（c+2t）+2（a-1）（c+2t）
≤（a-1）2+（b-t）2+（c+2t）2+[（a-1）2+（b-t）2]+{（b-t）2+（c+2t）2]+[
（a-1）2+（c+2t）2]=3[（a-1）2+（b-t）2+（c+2t）2]，
由t≥1，有（t+2）2≥9，
则t≥1时（a-1）2+（b-t）2+（c+2t）2≥3．
【解析】
（1）由a+b+c=a+（b+1）+（c-1），运用三个数的和的完全平方公式，以及重要不等式，注意等号成立的条件，即可得证；
（2）由t+2=a+b+c-1+t=（a-1）+（b-t）+（c+2t），应用三个数的和的完全平方公式，以及重要不等式，即可得证．
本题考查不等式的证明，注意运用变形和重要不等式，以及等号成立的条件，考查运算能力和推理能力，属于中档题．